2026年高考数学终极冲刺：专题03 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题（抢分专练6大热点题型）（解析版）

③函数类型的一切函数．④常数函数2、奇偶性技巧（1）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.（3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.（5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由对称性知函数定义域关于点对称，即可得解.【详解】设，因为函数，所以，解得，即函数定义域为，因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，此时，,的图象关于直线对称，故符合.故选：C2．（2026高三·全国·专题练习）设函数，则的图象（

）A．关于对称B．关于对称C．关于直线对称D．关于对称【答案】D【分析】A根据判断；B根据判断；C根据判断；D根据判断.【详解】对于A，因为，所以的图像不关于对称，故A错误；对于B，因为，所以的图像不关于对称，故B错误；对于C，因为，所以的图像不关于直线对称，故C错误；对于D，因为，所以的图像关于对称，故D正确.答案：D3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】A【分析】利用奇偶性的定义求解的奇偶性，求出在范围内的表达式，利用导数法得到在范围内的单调性.【详解】，的定义域为，，是偶函数，当时，，当时，，，，，，，，在上是单调递增函数.4．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案.【详解】由题意，，,令函数，则，所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称，因函数在对称区间上的值域为，故．5．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.【详解】，即，，令，解得：，当时，，，则在区间单调递增；当时，，在区间单调递减；，即，关于对称，，，即，两边平方得，解得，则实数的取值范围是.6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】由题意可得，根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，进而可得，再利用基本不等式求解即得.【详解】由，可知定义域为，又，即，则，所以，因为在单调递减，在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，在单调递减，显然在上单调递减，所以函数在单调递减．令，因为，所以函数是定义在上的奇函数，故函数在也单调递减，所以函数在定义域上单调递减．正实数a，b满足，所以故，即，所以，当且仅当时，取等号，即的最小值为6．7．（多选题）（2027高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在区间上单调递减，在区间上单调递增D．没有最小值【答案】AC【分析】先化简判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断的单调区间与最值．【详解】为偶函数，A正确，B错误；作出的图象如图所示，可知在上单调递减，在上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．故选：AC．8．（多选题）（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（

）A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为【答案】AD【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D.【详解】对于A，，为奇函数，故A正确.对于B，，，，不是图象的一条对称轴，故B错误；对于C，，，不是的周期，故C错误，对于D，，令，即，解得或，当时，，，当时，，，故函数极值为.的值域为，故D正确.9．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数，则关于的不等式的解集是__________．【答案】【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】因为，定义域为R，所以，所以为奇函数，又，因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，又在R上单调递减，所以在R上单调递减，因为，所以，则，即，解得，即解集为.故答案为：10．已知函数，______；的最小值是______．【答案】【分析】求得，直接运算可得，所以，由基本不等式求得其最小值，结合的最小值为，可得的最小值.【详解】由，得，解得，或.所以函数的定义域为..所以.所以，.所以.因为与同号，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.因为，所以当且仅当时，取得最小值，最小值是.故答案为：①；②.11．（25-26高三上·河南濮阳·月考）已知函数存在对称中心，求的最小值________【答案】【分析】设函数存在对称中心，由列式可得，，进而结合二次函数的性质求解即可.【详解】设函数存在对称中心，由，则，

即，即则，解得，，则，所以时，取得最小值.故答案为：.题型4函数f(f1．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解.【详解】⑴当，时，，对称轴为，所以在单调递增，函数图象如下：令，，解得或，即或，根据图象有2个解，有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意；当，时，，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：令，，解得或或，根据图象有2个解，有3个解，又有8个零点，所以要有3个解，即，解得，故选：D.2．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.【详解】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根，令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.作出函数的图象，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意；当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意；当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于，则有三个实根，必有，所以.又，所以，此时的5个实根互不相等，即恰有5个零点；当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.所以实数的取值范围为.故选：C3．（多选题）设函数，若函数恰有4个不同的零点，，，，且，则实数可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】令，则，由选项可知实数均满足，可得，分类讨论和两种情况，结合图象分析交点以及零点的性质，进而求解即可.【详解】作出函数的图象，如图所示，令，即，令，则，由选项可知实数均满足，则与有且仅有一个交点，即.且，，即，.对于选项AB：若，则，可知与至多有3个交点，不合题意，故AB错误；对于选项CD：若，则，可知与有4个交点，不妨设，则，，因为，即，可得，则，即，可得，，令，可知在内单调递增，且，，可得在内的值域为，即，符合题意，故CD正确；故选：CD.4．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】根据时的解析式，结合条件，可得为符合条件的解，则时，没有实数解，分别讨论、和三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案.【详解】令，由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解，当时，令，解得，所以有且仅有一个实数解，当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意，所以当时，没有实数解，当时，，符合题意；当时，，在上恒成立，所以在上有无数个解，不符合题意；当时，单调递增，只需即可，综上，实数的取值范围是.5．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________.【答案】或.【分析】令，考虑方程的解，根据题设条件可得，且有两个不同的解，结合换元法和根分布可求的取值范围.【详解】令，考虑方程的解即，即，若，此时无解，故无解，故的实数根的个数为零.若，则的解为，下面考虑的解即方程的解，若的实数根的个数最多，则有两个不同的解，令，故在上有两个不同的解，故，故或.题型5函数f(g对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．1．已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案.【详解】令，则，根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，结合图象，当与相切时满足要求，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，故，又，，其在定义域内单调递减，令，解得，故时，有两个整数根，分别为2和，由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求，此时，故，令，解得另一个根为4，又，解得，故五个整数根分别为，，1，2，4，所以最大整数解和最小整数解之积为．故选：A．2．已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解.【详解】令，则，如图，由图像可知，和均最多有2个不同的根，所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是.故选：B3．（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解.【详解】由题意有：当时，，由，所以在单调递减，当时，，所以，由，所以在单调递增，在单调递减，作出的图像：令，由有，由图可知，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，由有，令，所以，当时，，当或时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，作出的图像：由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或，所以实数的取值范围为.故选：A.4．已知函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为___________．【答案】【分析】根据二次不等式的解法，求出函数值域的范围，根据分段函数性质，对函数值进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可.【详解】函数在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，，，，有且只有一个整数解可知解集非空，则，因为，可知当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为；当时，即，即，有且只有一个整数解则只有时才能成立，即，此时整数解为，综上．的取值范围为．5．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，所以为定值，设，可得，又由可得，即，解得或（舍去），所以，故，方程即，即，依题意，关于的方程恰有两个实数根，则函数和有两个交点，设，则，即且，则函数即，该函数的对称轴为直线，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，且，当时，，要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.题型6函数af(1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】由题可得出函数的相关性质并作出图像，令，方程转化为，根据原方程解得个数可确定转化后方程根的分布情况，由根的分布即可解题.【详解】函数的性质，在和［0，2］上是减函数，在和上是增函数，时，函数取极大值时，，函数取极小值，当时，，因此方程有且只有7个不同实数根，设则方程必有两个根，其中，由此可得，所以.

故选：B．2．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解.【详解】画出函数的图像如图所示，函数有6个零点，等价于有6个解，即或共有6个解，等价于的图像与直线和直线，共有6个交点，由图得的图像与直线有4个交点，所以的图像与直线有2个交点，所以或，解得或，即实数的取值范围是.故选：A.3．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果.【详解】由函数，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下：令，由函数的图象及性质可知，当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；函数有且仅有5个不同零点，就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在.当时，只有一个零点，不符合题意；所以，此时二次函数，且恒成立.当时，对称轴，，，解得；当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意.综上可知，常数a的取值范围为.故选：C.4．（多选题）已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（）A． B． C．8 D．16【答案】CD【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可.【详解】如图，作出函数的大致图象，由，可得.由图可知，与有且两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，而方程有三个不等的实根得到方程有且只有一个实根，即与有且只有一个交点，故或，解得或.故选：CD.5．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为_______________.【答案】【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得.【详解】共有6个不同的实根，由，则有4个不同实根，且有2个不同实根，根据正弦函数的图象知，可得.故答案为：6．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围.【详解】的图像为：设，则转化为，关于的函数恰好有6个零点，有两个不同的根，且，则对应的值有个，对应的值有个，，，，，，实数的取值范围是.故答案为：.1．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.【详解】由且，得，即或，所以函数的定义域为，因为在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数的单调递增区间为.故选：B.2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解.【详解】令，，易知是减函数，因为，又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又当时，，当时，，则函数的最大值是，故选：C.3．（2025·江西·二模）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.【详解】根据函数在区间上单调递增，且单调递增，可得在区间上单调递增，所以.故选:D.4．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】的定义域为，则的定义域为，，故为偶函数；选项A：的定义域为，是偶函数，构造，则，，满足条件，故A可能；选项B：的定义域为，是偶函数，构造，则，满足条件，故B可能；选项C：的定义域为，，故是奇函数，故C不可能；选项D：是定义域为的偶函数，构造，则，，满足条件，故D可能．5．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【答案】C【分析】根据对称性定义计算判断各个选项．【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误；对于B选项，若的图象关于点对称，则，而，故B错误”而，所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误．故选：C．6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，由，得，两边平方后化简即可.【详解】函数的定义域为，且，因为，所以函数的图象关于直线对称，令在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当，即时等号成立，函数在上单调递增，由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增；因为，所以，两边平方得，即，又，所以，即.故选：B.7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数不可能为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】令得，令，则，画出的图象，分和两种情况，结合的解的个数和各个解的范围，以及的图象，求出零点个数，得到答案【详解】令得，令，则，其中，当时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，且，当时，为单调递增函数，，令得，令得，故当时，有三个解，分别为，，，其中，画出图象如下：令，若，则有0个零点，若，则有1个零点，若，则有两个零点，观察图象，与均有两个零点，综上，的零点个数可能为，可能为，可能为，当时，有2个解，分别为，，观察图象，与均有两个零点，此时共有4个零点，综上，不可能为3个零点.故选：A8．已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得转化为，进而解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数设，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数，故在区间上为增函数，又为增函数，所以在区间上为增函数，不等式即为，也即，所以，解得.故选：A.9．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可.【详解】作出函数的图象：函数的零点等价于方程，当时，此时方程化为可得，由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故；当时，此时方程化为可得或，由可得方程有一个解为，由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故；所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足，由于所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根，则满足或，解得，综上的取值范围为，故选：D10．（25-26高三上·福建泉州·期中）函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可.【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，即与或的图象交点的横坐标，当时，，则，所以时，，所以在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，且；作出函数的大致图象如下图所示：所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；与有两个不同的交点，即有两个实数解；当时，，令，则，则，作出大致图象如下图所示：因为当时，与有两个不同的交点，所以与及共有四个交点，所以，解得，即可得正实数的取值范围.故选：B11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，且）在R上为单调函数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】由在时的单调性，结合复合函数单调性，求出的取值范围，进而求得的最小值.【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，单调递增，又且在R上为单调函数，所以在时单调递增．因为函数在时单调递减，所以在单调递减；所以解得，又，则，所以，故的最小值为2．故选：B.12．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围.【详解】原方程可化为，而的解为或或，若，则或或，由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解，当时，，此时有3个实数解，不合题意．当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然．当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足，故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时，注意到，且，故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.故选：B13．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围．【详解】已知，其定义域为，则，令，即，则，解得．当或时，，，单调递减；当时，，，单调递增．所以在处取得极小值，也是最小值，．令，则，函数恰有个不同的零点，即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根．则，解得.实数的取值范围是．故选：A．14．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析函数的单调性，换元简化，分析的根对零点的影响，进行分类讨论得到结果；【详解】对于函数根据二次函数和对数函数可知

，在上单调递减，在和上单调递增，令，则，，函数恰有3个零点等价于方程的正根对应的的解的个数之和为3.当有两个相等的正根时，，即，（舍），方程解得，，分段函数计算可得，此时有两个零点，不符合题意；当有两个不相等的正根时，，所以①当时，，方程无实数解，且，解得；②当时，，由于，可知时，，因为在上单调递增，所以有1个解，；时，，可知有2个解，恰有3个零点，要求和的解的总个数为3个.通过图象分析可知要求，即.是方程的较大的根，由，可得综上，的取值范围为.故选：A.15．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．为偶函数B．的值域为C．不存在，使得D．在区间上单调递减【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D.【详解】对于A，函数的定义域为R，，因此为偶函数，A正确；对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，因此的值域为，B正确；对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，且，因此存在，使得，C错误；对于D，函数在上单调递增，，而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.故选：ABD16．（多选题）已知函数，则（

）A．为偶函数B．的单调递增区间为C．当时，D．的最小值为【答案】ABD【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可．【详解】解：定义域为，，则为偶函数，故A正确；当时，，令，为增函数，在单调递减，在单调递增，时，的单调递增区间为，又为偶函数，则函数在和单调递减，在和单调递增，所以的单调递增区间为，故B正确；当时，，且函数在单调递减，，故C错误；函数在和单调递减，在和单调递增，，故D正确．17．（多选题）定义在上的函数，则（）A．函数是奇函数B．函数的值域为C．函数关于直线对称D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，利用换元法，结合函数的单调性即可得解；对于C，验证与的关系即可判断；对于D，利用复合函数的单调性即可得解.【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，且，故函数是奇函数，故A正确；对于B：令，则可转化为关于的函数，易知在上单调递增，因此易知在上单调递增，因此在上单调递增，又因为，因此的值域为，即的值域为，故B正确；对于C：，即，即函数关于中心对称，不关于直线对称，故C错误；对于D：由B可知，令，则可转化为关于的函数，且在上单调递增，又因为在上的值域为，且在该区间上单调递减，根据复合函数单调性遵循“同增异减”，因此函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.18．（多选题）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．与的值域相同 B．与的奇偶性相同C．与有相同的零点 D．与在上的单调性相同【答案】BD【详解】对于A选项，，，于是的值域为，的值域为，故A选项不正确；对于B选项，，所以为偶函数，，所以为偶函数，故B选项正确；对于C选项，由于的值域为，所以没有零点，令，得，所以，．故C选项不正确；对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知在单调递减，因为在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确．19．（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解.【详解】由，所以，所以或，由有，，解得，即，故A正确；所以有3个不等的实根，作出的函数图像：由图可知：，故B正确；，故C正确；由，，所以，由，所以，故D错误，故选：ABC.20．（多选题）（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（

）A．方程有两个不同的实根B．C．是方程的一个根D．【答案】ACD【分析】画出函数的图象，结合图像可得有两个不同的解且，，从而可判断A的正误，同样结合图形求出的范围后可判断B的正误，将代入计算后可判断C的正误，根据方程的解的传递性可用表示后根据单调性可求范围，从而可判断D的正误.【详解】令，考虑的解.的图象如图所示：对于A，因为有3个不同的解，故有两个不同的解，且，，故A正确.对于B，由A的分析可得，故B错误.对于C，由A的分析结合图象可得：有两个不同的解，故且，故，故是方程的一个根，故C正确.对于D，由A的分析可得有两个不同的解，不妨设为，有唯一解，不妨设为，则，，故，故，而即，所以，记，则，故在上单调递增，故，D正确.故选：ACD.21．（多选题）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（

）A． B．C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是【答案】BCD【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解.【详解】因为当时，，当且仅当时取等号，当时，，因为在单调递减，而单调递增，所以在定义域内单调递减，结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下：令，则，即，根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，当且仅当时，有两个整数根或．要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2，显然只有符合题意，当时，，则．即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确．解方程得或，解方程得，此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确．故选：BCD．22．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．【答案】【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解.【详解】函数，令，解得，故函数的定义域为，，故函数是奇函数.而函数在上单调递减，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减.不等式，所以所求不等式的解集为．故答案为:.23．已知，且，若是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】首先保证各段单调，再保证衔接点处函数值满足单调.【详解】当时，，因为，所以在上单调递增，又是上的单调函数，当时，，所以在上单调递增，且.由在上单调递增可知（1）因为函数的图象开口向上，所以需要在上单调递增，且，即，解得；（2）需要在定义域上单调递增，所以.由上知，.由得，结合得，解得.综上，，即实数的取值范围是.24．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是_______．【答案】【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】当时，在单调递增，所以无最小值，不满足题意；当时，令，则，根据双钩函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，所以要想在上有最小值，只需满足即可；当时，令，解得，，解得，所以，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，单调递减，即函数在上单调递增，在上单调递减，且在处连续，所以在出取得最小值，所以要想在有最小值，只需满足即可；综上所述：满足题意的的取值范围是.故答案为：25．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．【答案】2【分析】由题意得到，代入解析式即可求解.【详解】由可得:，即恒成立，得到恒成立，即，即，恒成立，因为在定义域内不恒为0，所以，即恒成立，展开可得，即或，当时，定义域为空集，舍去，所以，所以．故答案为：226．（25-26高三下·北京