全国中考真题分类解析-21全等三角形

全等三角形

一选择题

1.（2014•年山东东营，第4题3分）下列命题中是真命题的是（）

A.如果a2=b2,那么a=b

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等

D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

考点：命题与定理.

分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到

正确的选项.

解答：解：A、错误，如3与-3；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；

C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；

D、正确，是真命题，

故选D.

点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直

平分线的性质.

2.（2014•四川遂宁，第9题，4分）如图，AO是△ABC中N8AC的角平分线，DE1AB

于点E,SAABC=1，DE=2,4B=4,则AC长是（）

考点：角平分线的性质.

分析：过点。作OF,AC于凡根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得QE=DF,

再根据S^ABC^S&ABD+S&ACD列出方程求解即可.

解答：解：如图，过点。作OF,AC于凡

：AQ是△ABC中的角平分线，DE1AB,

：.DE=DF,

由图可知，S&ABC-S&ABD+S&ACD，

x4x2+x4Cx2=7,

解得AC=3.

故选A.

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

一个动点，点E在射线BM上，BE=DB,作EF_LDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射

线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是（)

2xC.y=-3xD.y=-8x

x-1x-1x-4

考点:全等三角形的判定与性质；函数关系式；相似三角形的判定与性质.

分析:作FGJ_BC于G,依据已知条件求得ADBEW/XEGF,得出FG=BE=x,EG=DB=2x,

然后根据平行线的性质即可求得.

解答:

解：作FG_LBC于G,

VZDEB+ZFEC=90°,ZDEB+ZDBE=90°；

Z./BDE=NFEG,

在ADBE与aEGF中

'NB=NFGE

<ZBDE=ZFEG

,DE=EF

.".△DBE^AEGF,

；.EG=DB,FG=BE=x,

；.EG=DB=2BE=2x,

GC=y-3x,

VFG1BC,AB_LBC,

，FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

y-3x

即=：

y

12x

y——x-47

故应选A.

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的

关键.

2.（2014•贵州黔西南州，第5题4分）如图，已知AB=A。，那么添加下列一个条件后，仍

无法判定△4BC之ZVIOC的是（）

第1题图

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

考点：全等三角形的判定.

分析：本题要判定△ABC之△ADC,已知AB=AO,AC是公共边，具备了两组边对应相等,

故添加C2=C£）、ZBAC=ZDAC./3=/£>=90。后可分别根据SSS、SAS,HL能判定

△48<7丝/\4。（7,而添力口/8。1=/£^4后则不能.

解答：解：A、添加CB=C£>,根据SSS,能判定故A选项不符合题意；

B、添加/8AC=ND4C,根据SAS,能判定△ABCgZXAQC,故B选项不符合题意；

C、添加NBCA=N。。时，不能判定△ABC之△AQC,故C选项符合题意；

D、添力口/8=/。=90。，根据HL,能判定AABC丝△ADC,故。选项不符合题意；

故选：C.

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.

ASA.AAS、HL.

注意：444SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若

有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

3.（2014•四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，。是

原点，A的坐标为（1,A/3）,则点C的坐标为（）

A.(-V3，1)B.(-1,V3)C.(V3-I)D.(-V3，-1)

分析：过点A作AOJLx轴于£>,过点C作CELx轴于E,根据同角的余角相等求出

ZOAD=ZCOE,再利用“角角边”证明△AO。和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等

可得OE=AD,CE=OD,然后根据点C在第二象限写出坐标即可.

解：如图，过点A作AQLx轴于。，过点C作CELx轴于E,

,四边形0ABe是正方形，AOA=OC,ZAOC=90°,：,ZCOE+ZAOD=90°,

又Z0AD+ZAOD=90°,；.Z0AD=ZCOE,

"ZOAD=ZCOE

在△A。。和△OCE中，，NADO=NOEC=90°，CAAS）,

,OA=OC

，0E=">=仃，CE=OD=1,I•点C在第二象限，，点C的坐标为（-代，1）.故选A.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线

构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

1.（2014•广东深圳，第8题3分）如图，ZXABC和△OEF中，AB=DE、角NB=NDEF,添

加下列哪一个条件无法证明△ABC0△QEF（）

A.AC//DFB.ZA=ZDC.AC=DFD.ZACB=ZF

考点全等三角形的判定.

分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出答.

解答：解：'：AB=DE,NB=NDEF,

，添力口AC〃。凡得出NACB=NF,即可证明△ABC丝△£>£：£故A、。都正确；

当添加NA=/£>时，根据ASA,也可证明△A3C四△QM,故8都正确；

但添加AC=QF时、没有SSA定理，不能证明aABC丝△£）£下,故C都不正确；

故选C.

点评：本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,

AAS,还有直角三角形的HL定理.

2.（2014•福建厦门，第6题3分）如图，在aABC和△BQE中，点C在边8。上，边AC

交边BE于点F.若AC=B。，AB=ED,BC=BE,则/ACB等于（）

A.NEDBB./BEDC.l^AFBD.2NABF

2

考点：全等三角形的判定与性质..

分析：根据全等三角形的判定与性质，可得/ACB与NQBE的关系，根据三角形外角

的性质，可得答案.

解答：在△ABC和△。破中，

M=BD

<AB=ED>

BC=BE

:.△ABC9/XDEB（SSS）,

：.ZACB=ZDEB.

'：ZAFB是△BCF的外角，

ZACB+ZDBE=ZAFB,

NACB=L/AFB,

2

故选：c.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形

外角的性质.

1.（2014年四川资阳，第6题3分）下列命题中，真命题是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

C.对角线垂直的梯形是等腰梯形

D.对角线相等的菱形是正方形

考点：命题与定理.

分析：利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

解答：解：A、有可能是等腰梯形，故错误；

反对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；

C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；

D、正确，

故选D.

点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不

大.

2.（2014•毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（）

A.方差越大，说明数据就越稳定

B.在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变

C.不在同一直线上的三点确定一个圆

D.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

考点：方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件

分析：利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每

个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

解答：解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；

8、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；

C、正确；

。、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误.

故选C.

点评：本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条

件，属于基本定理的应用，较为简单.

3.（2014.台湾，第9题3分）如图，坐标平面上，△ABC与全等，其中A、B、C

的对应顶点分别为。、E、F,且43=3。=5.若4点的坐标为（-3,1）,B、。两点在方程

式丁=-3的图形上，D、E两点在y轴上，则尸点到y轴的距离为何？（）

分析：如图，作A”、。长、尸尸分另1」垂直8。、人8、。七于”、K、P.由AB=8C,△ABgXDEF,

就可以得出△AKCgZXCHAgZXQPF,就可以得出结论.

解：如图，作AH、CK、尸尸分别垂直8C、AB、DE于H、K、P.

：.ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

•：AB=BC,

:・/BAC=/BCA.

在△AKC和△€?"从中。

NAKC=NCHA,

<AC=CAf

、/B4C=N8C4.

/.△AKg△CHA（ASA）,

：.KC=HA.

・・・8、C两点在方程式y=-3的图形上，且4点的坐标为（-3,1）,

：.AH=4.

，KC=4.

:△ABC部/XDEF,

:・/BAC=NEDF,AC=DF.

在△AKC和AOP”中，

NAKC=NDPF,

<NBAC=/EDF,

AC=DF.

ZXAKC①△DPF(AAS),

；.KC=PF=4.

故选C.

点评：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质

的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

4.(2014•益阳，第7题，4分)如图，平行四边形ABC。中，E,F是对角线上的两点,

如果添加一个条件使AABE丝△CDF,则添加的条件不能是()

A.AE^CFB.BE=FDC.BF=DED.N1=N2

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定.

分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可.

解答：解：A、当AE=CF无法得出AABEg/\CDF,故此选项符合题意；

B、当BE=FD,

•平行四边形ABCD中，

：.AB=CD,ZABE=ZCDF,

在△A8E和△C。尸中

'ABXD

<NABE=NCDF，

LBE=DF

.♦.△ABE咨ACDF(SAS),故此选项错误；

C、当BF=ED,

：.BE=DF,

・••平行四边形ABCD中，

：.AB=CD,NABE=NCDF,

在△ABE和△<?£)尸中

'AB=CD

<NABE=NCDF，

BE=DF

...△48E四△COF(SAS),故此选项错误;

。、当/1=/2,

•••平行四边形ABCC中，

：.AB=CD,NABE=NCDF,

在△ABE和△CDF中

'/1=/2

<AB=CD，

NABE=NCDF

.,.△ABE部△CDF(ASA),故此选项错误;

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三

角形的判定方法是解题关键.

5.（2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2,1）,

A.(23)、(-Z4)B.(23)、(-1,4)

2322

C.(I,1)、(-2,4)D.(I,工)、(-X4)

423422

考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

分析：首先过点A作AOLx轴于点£>,过点B作轴于点E,过点C作C/〃y轴，过

点A作AF〃x轴，交点为凡易得△CAP丝△BOE,/\AOD^/\OBE,然后由相似三角形的

对应边成比例，求得答案.

解答：过点A作AQLx轴于点£>,过点B作轴于点E,过点C作CF〃y轴，过点A

作A尸〃x轴，交点为F,

:四边形AOBC是矩形，：.AC//OB,AC=OB,：.ZCAF=ZBOE,

'/F=NBEO=90°

在ZiACF和△0B£中，.NCAF=/B0E，•・.△CAF四△BOE(A4S),

AC=OB

：.BE=CF=4-1=3,VZAOD+ZBOE=ZBOE+ZOBE=90°,

：.ZAOD=ZOBE,VZADO=ZOEB=90°,：.^AOD^^OBE,；.蚂必，即比二,

OE-BE0E-3

：.OE=1,即点8(/3),：.AF=OE=1,

222

.•.点C的横坐标为：-(2-2)=-1，.•.点。(-［，4).故选B.

222

点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此

题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

6.(2014•扬州，第8题，3分)如图，在四边形A8C。中，AB=AD=6,ABVBC,ADLCD,

ZBAD=60°,点M、N分别在AB、AO边上，若AW：MB=AN：ND=l：2,则

D

(第3题图)

A.B.&®C.28D.V5-2

13119

考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三

角形：勾股定理

专题：计算题.

分析：连接AC,通过三角形全等，求得/B4C=30。，从而求得BC的长，然后根据勾股

定理求得C例的长，

连接MN,过M点作MELLON于E,则是等边三角形求得“22,设NF二x,表示出

CF,根据勾股定理即可求得MF,然后求得

解答：解：'：AB=AD=6,AM；MB=AN：ND=l：2,

：.AM=AN=2,BM=DN=4,

连接MN,连接AC,

'：ABLBC,ADVCD,ZBAD=60°

在Rt/XABC与Rt/\ADC中，

[AB=AD,

1AC=AC，

：.Rt/\ABC^Rt^ADC(LH)

：./BAC=NDAC=lz8A£)=30。，MC=NC,

2

：.BC=^AC,

2

：.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

：.BC=2-/j,

在RNMC中，CM飞研示序一砺尸2行.

•；AN=AM,NMAN=6。。,

・・・△MAN是等边三角形,

:.MN=AM=AN=2,

过M点作MEX.ON千E,设NE=x,则CE=2救-x,

：.MN2-NP=MC-EC2,即4-/=(277)2-(2-S/T-x)2,

解得：x巫,

7_

EC=2y[j-

77_

ME=UN2

：.tanZMCN=^=^J^

EC13

故选A.

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全

等三角形的判定与性质是解本题的关键.

7.（2014年山东泰安，第16题3分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中

ZACB=ZCED=90°,ZA=45°,ZD=30°.把△QCE绕点C顺时针旋转15。得到△AC©,

如图②，连接£>iB,则/EIQIB的度数为（）

分析：根据直角三角形两锐角互余求出NOCE=60。，旋转的性质可得NBCEi=15。，然后

求出/BC£>i=45。，从而得到/BCG=/A,利用“边角边”证明△ABC和△2C8全等，根据

全等三角形对应角相等可得NBD|C=NABC=45。，再根据NEi£）iB=N8£）iC-/CAEi计算

即可得解.

解：VZC£D=90°,ND=30°,AZDCE=60°,

：绕点C顺时针旋转15°,：.ABCE\=\50,

二ZBCD,=60°-15°=45°,ZBCD^ZA,

'AC=CB

在△ABC和△DiCB中，，/BCD]=NA,.•.△ABC四△O|C8（SAS）,

AB=CDj

...NBDiC=/ABC=45°,，N£|O5=NBD|C-NCD|£|=45°-30°=15°.故选D.

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性

质并求出aABC和△OCB全等是解题的关键.

二填空题

1.（2014•广东广州，第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形

的面积相等.“写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，

该逆命题是假命题（填“真”或"假"）.

考点：命题与定理.

分析：交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题.

解答：解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写成它的逆命题：如

果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，

故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，假.

点评：本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质.

2.（2014•江苏淮安，第17题3分）如图，4ABD乌LCBD,若乙4=80。，NABC=70°,则

ZADC的度数为130。

考点：全等三角形的性质.

分析：根据全等三角形对应角相等可得/C=/A,再根据四边形的内角和定理列式计算即

可得解.

解答：解：■:XABD迫XCBD,

；./C=/A=80°,

二ZADC=360°-ZA-ZABC-NC=360°-80°-70°-80°=130°.

故答案为：130。.

点评：本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对

应位置上确定出NC=NA是解题的关键.

1.（2014•新疆，第14题5分）如图，K/aABC中，NABC=90。，OE垂直平分AC,垂足为

O,AD//BC,且AB=3,BC=4,则A。的长为.

考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.

分析：先根据勾股定理求出AC的长，再根据OE垂直平分AC得出OA的长，根据相似

三角形的判定定理得出△AO£»s△C8A,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

解答：解：•.,&ZXABC中，NABC=90。，AB=3,BC=4,

AC=VAB2+BCW32+4^5，

「DE垂直平分AC,垂足为。，

OA=1AC=^,ZAOD=ZB=90°,

22

'：AD//BC,

：.ZA=ZC,

...△AODS^.CBA,

AATLOAt即延解得AO=至.

ACBC548

故答案为：25.

8

点评：本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形

中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

1.（2014•福建福州，第15题4分）如图，在RdABC中，/4CB=90。，点力，E分别是边

AB,AC的中点，延长到点F,使CF=，BC..若AB=10,则EF的长是__________.

2

【答案】5.

【解析】

试题分析：\.在KXABC中，ZAC^-PO:,<J,是边A3,AC的中点，A3=1C>,

：.AD=:,AZ=EC,DE=1BC,N»9Q=.

2

•JCF=1BC,/.DE-FC.

2

在Rt&ADE和Rt&EFC中，TAF-二C,DE=-S,二二gRt^EFC（SAS）.，EF=AD=5.

考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.

2.（2014•广州，第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面

积相等.”写出它的逆命题：,该逆命题是命题（填“真”或“假”）.

【考点】命题的考察以及全等三角形的判定

【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断

【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.假命题.

2.（2014•毕节地区，第20题5分）如图，在R/^ABC中，NA8C=90。，AB=3,AC=5,点

3

E在BC上，将AABC沿AE折叠，使点3落在AC边上的点夕处，则8E的长为_5_.

考点：翻折变换（折叠问题）

分析：利用勾股定理求出BC=4,设BE=x,则CE=4-x,在RfAB'EC中,利用勾

股定理解出x的值即可.

解答：解：BC=JAC2-AB2=4,

由折叠的性质得：BE=BE',AB=AB',

设BE=x,贝CE=4-x,B'C=AC-AB'=AC-AB=2,

在Rt/\B'EC中，B'E2+B'C2=EC2,

即?+22=(4-x)2,

解得：x=a

2

故答案为：心.

2

点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾

股定理的表达式.

3.(2014•武汉，第16题3分)如图，在四边形A8CZ)中，AD=4,CD=3,

ZABC=ZACB=ZADC=45°,则8。的长为

考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形

分析：根据等式的性质，可得NBA。与NC4。的关系，根据SAS,可得△BAO与

△CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得8。与C。的关系，根据勾股定理，可得答

案.

解答：解：作47_LAO,AD'=AD,连接CO,DD',如图：，

ZBAC+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,

在△BAD与△CA。中，

'BA=CA

<NBAD二NCAD'，

.AD=AD'

：./\BAD^ACAD'(SAS),

：.BD=CD'.

ZDAD'=90°

由勾股定理得DD'YhD2+(AD‘)2=屈=4&，7DC2+(DD?)2=V9+32=V41

ZD,£>A+ZADC=90°

由勾股定理得CD，FDC2+(DD‘)2=7痂;而

：.BD=CD'=-/^i，

故答案为：V41-

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾

股定理，作出全等图形是解题关键.

4.（2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向A8CD的边长为3c/n,E为C£>边上一点，

ND4E=30。，M为4E的中点，过点何作直线分别与A。、BC相交于点P、Q.PQ=AE,

（第1题图）

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形

分析：根据题意画出图形，过尸作PNJ_8C,交BC于点N,由ABC。为正方形，得到

AD=DC=PN,在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股

定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用“L得到三角形AOE与三角形

PQN全等,利用全等三角形对应边，对应角相等得至lj£）E=NQ,ZDAE=ZNPQ=30°,再由

PN与DC平行,得至ijNP"=/£>EA=60。，进而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中,

根据的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出的长即可.

解答：解：根据题意画出图形，过P作PNLBC,交BC于点、N,

•.•四边形ABC。为正方形，

：.AD=DC=PN,

在心△AOE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

.•.S"30°=理，即。E=@m,

AD

根据勾股定理得：心正_(与”N&m,

为AE的中点，

/.AM=^AE-\/y：m,

在Rt/\ADE和RtAPNQ中，

(AD=PN>

IAE=PQ'

；.RtAADE注RtLPNQ(HL),

：.DE=NQ,NZME=/NPQ=30。，

'：PN//DC,

：.ZPFA=ZDEA=60°,

：.ZPMF=90°,即PMLAF,

在心△AMP中，ZMAP=30°,cos30°=理，

_AP

AP=—我~~^2cm；

cos30°V?

~2

由对称性得至【JAP'=DP=AD-AP=3-2=1cvn,

综上，AP等于lc/n或2c，".

故答案为：1或2.

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定

与性质是解本题的关键.

3.(2014•湖北鄂州，第16题3分)如图，正方形ABCQ的边长是1,点、M,3分别在3C,

CD上，使得△CMN的周长为2,则△%一的面积最小值为历-1

考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质.

分析：如图，延长C3至3使BL=DN,则R3ABL丝R3AND,故AL=ANf进而求证△4WN

名△AML,即可求得NMAN二NM4L=45。设CM=x,CN=y,MN=z,根据『十产N?，和x+y+z=2,

整理根据4=4(z-2)2-32(1-z)K)可以解题.

解答：解：延长CB至L,使BL=DN,

则R小ABLBR出AND,

故AL=AN,

：.△AMN"AAML,

：./MAN=/MAL二45。，

设CM=x,CN=y,MN=z

x^+^z2^

*/x+y+z=2,

则x=2-y-z

・•・(2-y-z)2+/=z2,

整理得29+(2z-4)y+(4-4z)=0,

AA=4(z-2)2-32(1-z)>0,

即(z+2+2&)(z+2-2扬>0,

又；z>0,

；.zN2&-2,当且仅当产产2-时等号成立

此时S^AMN=S^AML=^ML-AB=^Z

22

因此，当z=2a-2,广产2-J刃寸，SAAMN取到最小值为V2-1.

故答案为1.

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直

角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键.

4.（2014•常德，第15题3分）如图，已知AABC三个内角的平分线交于点。，点。在C4

的延长线上，KDC=BC,AD=AO,若NBAC=80。，则的度数为60。.

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

分析：可证明ACO。之△CO8,得出ND=NCB。，再根据/8AC=80。，得N8AO=100。，

由角平分线可得NBAO=40。，从而得出ND4O=140。，根据AO=A。，可得出N£>=20。，即可

得出/CBO=20。，则/ABC=40。，最后算出NBC4=60。

解答：解：•.'△ABC三个内角的平分线交于点O,

二NACO=/BCO,

在AC。。和ACOB中，

'CD=CB

<ZOCD=ZOCB>

co=co

：./\COD^/\COH,

：.ZD=ZCBO,

'：ZBAC=80°,

840=100°,

NBA040。，

：.ZDAO=140°,

,：AD=AO,：.ZD=20°,

，NCBO=20。，

ZABC=40°,

：.ZBCA=60°,

故答案为60°.

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解

决此题的关键.

5.（2014•柳州,第18题3分）如图，在A（BC中,分别以4C,8c为边作等边AACD和等

边4BCE.设“以）、4BCE、AABC的面积分别是$、S2、S3,现有如下结论：

22

①Si：S2=AC：BC；

②连接AE,BD,则△BC£）gAiEC4；

③若4c_LBC,则SI・S2=S32.

其中结论正确的序号是①②⑶.

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

分析：①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断;

②根据SAS即可求得全等；

③根据面积公式即可判断.

解答：①S：S2=AC2：SC?正确，

解：♦.•△AOC与ABCE是等边三角形，

XADCs4BCE,

21

；.S|：S2=AC：BC.

②XBCD在4ECA正确，

证明：•.•△4OC与ZkBCE是等边三角形，

ZACD=ZBC£=60°

ZACD+ZACB=ZBCE+ZACD,

即NACE=NDCB,

在4ACE与4DCB中，

'AC=BD

<NACE=/DCB，

CE=BC

.♦.△88丝△ECA(SAS).

③若ACJ_BC,则SI・S2=S32正确，

解：设等边三角形AZ)C的边长=a,等边三角形BCE边长=4则4人。。的高=叵，4BCE

_2

的高=西，

2_

•'•S]=a.返=金,8斗.返=返2,

2424

.•.S1・S2=®2•返2=42b2,

4416

Si-ab,

S^-crb1,

2

.•.s,«s2=s3.

点评：本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积

的比等于相似比的平方.

6.(2014•青海西宁，第20题，2分)如图，点G是正方形ABC。对角线CA的延长线上任

意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.若A8=&,AG=1,

贝U

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

分析：首先连接8。交AC于。，由四边形ABC。、4GFE是正方形，即可得4B=AD,

AE=AG,NDAB=NEAG,然后利用SAS即可证得AEAB附△GAD,则可得EB=GQ,然后在

&AODG中，利用勾股定理即可求得GO的长，继而可得EB的长.

解答：解：连接8。交AC于。,

:四边形ABC。、AGFE是正方形,

：.AB=AD,AE=AG,NDAB=/EAG,

：.NEAB=NGAD,

在A4EB和A4GO中，

(AE=AG

{/EAB=NGAD，

IAB=AD

：./\EAB^/\GAD(SAS),

：.EB=GD,

:四边形ABC。是正方形，AB=y[2>

：.BD1.AC,AC=BD^[^B=2,

：.NOOG=90°,OA=OD=BD=1,

VAG=1,

0G=0A+AG=2,

•'-G£>=7OD2+OG

；.EB=依.

故答案为：

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适

中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

1.（2014•黑龙江绥化，第3题3分）如图，AC、BD相交于点0,ZA=ZD,请补充一个条

件，使AAOB丝△DOC,你补充的条件是AB=CD（填出一个即可）.

考点：全等三角形的判定.

专题：开放型.

分析：添加条件是AB=CD,根据SAS推出两三角形全等即可.

解答：解：AB=CD,

理由是：：在AAOB和ADOC中

'/AOB=NDOC

<ZA=ZD

AB=CD

.♦.△AOB丝△DOC,

故答案为：AB=CD.

点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,

AAS,SSS,题目是一道开放型的题目，答案不唯一.

2.(2014•攀枝花，第16题4分)如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,BE平分/ABC交

CD于E,且BE_LCD,CE：ED=2：1.如果aBEC的面积为2,那么四边形ABED的面积

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质：梯形.

分析：首先延长BA,CD交于点F,易证得4BEF也△BEC,则可得DF：FC=1：4,又

由△ADFs/XBCF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得4ADF的面积，

继而求得答案.

解答：解：延长BA,CD交于点F,

：BE平分NABC,

.•.ZEBF=ZEBC,

VBE±CD,

ZBEF=ZBEC=90°,

在4BEF和4BEC中，

，ZEBF=ZEBC

<BE=BE

NBEF=NBEC,

/.△BEF^ABEC(ASA),

，EC=EF,SABEF=SABEC=2,

-,.SABCF=SABEF+SABEC=4,

VCE：ED=2：I

ADF：FC=1：4,

：AD〃BC,

.".△ADF^ABCF,

,△&FpF1

SABCF=(CF)2=16,

1

.".SAADF=16X4=,

AS四边形ABCD=SABEF-SAADF=2-=.

故答案为：.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性

质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

3.（2014•四川绵阳，第17题4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD±

的点，NEAF=45°,AECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为2.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.

分析：根据旋转的性质得出NEAF=45。，进而得出AFAE丝△EAF,即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF，=FC+BC+BF=4,得出正方形边长即可.

解答：解：将ADAF绕点A顺时针旋转90度到ABAF位置，

由题意可得出：ZkDAF丝△BAF,

.•.DF=BF',NDAF=NBAF',

NEAF，=45。，

在AFAE和AEAF中

'AF=AF'

<NFAE=NEAF'，

AE=AE

.,.△FAE^AEAF(SAS),

，EF=EF,

VAECF的周长为4,

.•.EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=4,

；.2BC=4,

；.BC=2.

故答案为：2.

点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AFAEga

EAF是解题关键.

4.(2014•重庆A,第18题4分)如图，正方形ABCD的边长为6,点。是对角线AC、BD

的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CFLBE,垂足为F,连接OF,则OF的长

D

E

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质.

分析：在BE上截取BG=CF,连接OG,证明AOBG四△OCF,则OG=OF,ZBOG=Z

COF,得出等腰直角三角形GOF,在RTABCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得

OF的长.

解答：解：如图，在BE上截取BG=CF,连接OG,

•.•RT/kBCE中，CF_LBE,

二ZEBC=ZECF,

ZOBC=ZOCD=45°,

.\ZOBG=ZOCF,

在AOBG与AOCF中

'OB=OC

<Z0BG=Z0CF

BG=CF

.,,△OBG^AOCF(SAS)

；.OG=OF,ZBOG=ZCOF,

.,.OG±OF,

在RTABCE中，BC=DC=6,DE=2EC,

，EC=2,

BE=JBC2+CE%62+2入伍，

：BC2=BF・BE,

则62=BF・2VT^,解得：BF=^fi2,

5

；.EF=BE-BF=2/IP,

5

VCF2=BF«EF,

ACF=SVTO(

5_

；.GF=BF-BG=BF-CF=^^,

5

在等腰直角AOGF中

OF2=GF2,

AOF=W5

5

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理

的应用.

7.（2014•齐齐哈尔，13题3分）如图，已知"BC中，AB=AC,点£＞、E在BC上，要使“8。

^ACE,则只需添加一个适当的条件是BD=CE.（只填一个即可）

考点：全等三角形的判定.

专题：开放型.

分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE,根据&4S推出即可；也可以/

BAD=ZCAE^.

解答：解：BD=CE,

理由是：'：AB=AC,

:./B=/C,

'AB=AC

在AAB。和"CE中，<NB=/C，

BD=CE

A/\ABD^/\ACE(SAS),

故答案为：BD=CE.

点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,

AAS,SSS,题目比较好，难度适中.

三解答题

1.(2014•辽宁本溪，第25题12分)

如图，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=\SO°,△ABC不动，&ADE

绕点A旋转，连接BE、CD,尸为BE的中点，连接AF.

(1)如图①，当NBAE=90。时，求证：CD=2AFx

(2)当NBA舁90。时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由.

考点：全等三角形的判定与性质：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；旋转的性

质.

分析：(1)因为AF是直角三角形A8E的中线，所以BE=2AF,然后通过

即可求得.

(2)延长EA交3c于G,在4G上截取A4=A£>,证出△ABH名△AC。从而证得2H=CD,

然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF,即可求得.

解答：(1)证明：如图①，ZBAC+ZEAD=180°,ZBAE=90°,

ND4c=90。，

在UBE与中

'AE=AD

-ZBAE=ZCAD=90°

AB=AC

/XABE^AACD(SAS),

：.CD=BE,

在RT4ABE中，F为BE的中点，

：.BE=2AF,

：.CD=2AF.

(2)成立，

证明：如图②，延长交BC于G,在AG上截取

'：ZBAC+ZEAD=\SO0,

：.ZEAB+ZDAC=ISO°,

"：ZEAB+ZBAH=]SO°,

在^ABH与"CQ中

'AH=AD

<ZBAH=ZCAD

AB=AC

.•.△AB*△AC。(SAS)

：.BH=DC,

"：AD=AE,AH=AD,

：.AE=AH,

•:EF=FB,

：.BH=2AF,

：.CD=2AF.

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性

质等.

2.（2014•广东广州，第18题9分）如图，的对角线AC、BZ）相交于点O,E尸过点

。且与AB,C。分别相交于点E、F,求证：XAOE9IXCOE.

A

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定.

专题：证明题.

分析：根据平行四边形的性质得出OA=OC,AB//CD,推出/E40=NFC。，证出

△AOE9XCOF即可.

解答：证明：I•四边形ABCQ是平行四边形，

：.OA=OC,AB//CD,

：.ZEAO=ZFCO,

在△AOE和△C。尸中，

rZEA0=ZFC0

-AO=CO，

ZE0A=ZF0C

.♦.△AOE丝△COF(ASA).

点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是

推出AO^CO.

3.(2014•湖北鄂州，第18题8分)在平面内正方形ABCC与正方形CEFH如图放置，连

DE,BH,两线交于求证：

(1)BH=DE.

(2)BHLDE.

E

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据正方形的性质可得BC=CQ,CE=CH,NBCD=NECH=90°,然后求出N

BCH=ZDCE,再利用“边角边”证明ABCH和AOCE全等，根据全等三角形对应边相等证明

即可；

(2)根据全等三角形对应角相等可得NC8H=NCDE,然后根据三角形的内角和定理求出

NDMB=NBCD=90。,再根据垂直的定义证明即可.

解答：证明：(1)在正方形ABCQ与正方形CEF”中，

BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90°,

：.NBCD+NDCH=NECH+NDCH,

即/BC”=NCCE,

在△BC77和AOCE中，

BC=CD

<ZBCH=ZDCE>

CE=CH

:.△BCgXDCE(SAS),

:.BH=DE；

(2)“：△BCgXDCE,

：.NCBH=NCDE,

：.NDMB=NBCM90°,

：.BH±DE.

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角

形是解题的关键，也是本题的难点.

4.(2014•湖北潜江仙桃，第19题6分)如图，四边形ABC。是平行四边形，E,尸为对角

线AC上两点，连接ED,EB,FD,FB.给出以下结论：①BE〃DF；②BE=DF；③AE=CF请

你从中选取一个条件，使/1=/2成立，并给出证明.

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

分析：欲证明N1=N2,只需证得四边形EQFB是平行四边形或AABF丝即可.

解答：解：方法一：

补充条件①BE〃。区

证明：如图，'.,BE//DF,

：.ZBEC=ZDFA,

：./BEA=NDFC,

•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZBAE=ZDCF,

在ZkABE与AC£)尸中，

'NBEA=/DFC

-AB=CE，

,ZBAE=ZDCF

.♦.△ABE丝△CDF(ASA),

:.BE=DF,

...四边形BFQE是平行四边形,

J.ED//BF,

.".Z1=Z2；

方法二：

补充条件③4E=C尸.

证明：'：AE=CF,：,AF=CE.

,：四边形ABCD是平行四边形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.NBAF=NDCE,

在AABF与△«)£■中，

'AF=CE

-ZBAF=ZDCE

,AB=CD

/.AABF^ACDE(SAS),

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.全等三角形的判

定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选

择恰当的判定条件.

5.（2014•吉林，第18题5分）如图，/XABC和中，ZBAC=ZDAE,AB=AE,AC=AD,

连接BQ,CE,

求证：

考点：全等三角形的判定.

专题：证明题.

分析：根据/BAC=ND4E,可得/18Ao=/C4E,再根据全等的条件可得出结论.

解答：证明：VZBAC=ZDAE,

：.NBAC-BAE=ZDAE-ZBAE,

即N8AQ=NCAE,

'AD=AC

在△A3。和△4EC中，ZBAD=ZEAC-

AB=AE

A（SAS）.

点评：本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：S