典型相关分析及其应用实例

摘要

典型相关分析是多元统计分析的一个重要探讨课题.它是探讨两

组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间

的相互线性依靠关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综

合变量来反映两组变量间的线性相关性质•目前它已经在众多领域的

相关分析和预料分析中得到广泛应用.

本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关

变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深化对样

本典型相关分析的凡种算法做了比较全面的论述,依据典型相关分析

的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典

型相关系数的显著性检验.最终通过理论及实例分析两个层面论证了

典型相关分析的应用于实际生活中的可行性及优越性.

【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用

ABSTRACT

TheCanonicalCorrelationAnalysisisanimportant

studyingtopicoftheMultivariateStatisticalAnalysis.Itis

thestatisticalanalysismethodwhichstudiesthecorrelation

betweentwosetsofvariables.Itcanworktorevealthemutual

linedependencerelationavailablybetweentwosetsof

variables.WiththehelpofthethoughtaboutthePrincipal

Components,wecanuseafewcomprehensivevariablestoreflect

thelinearrelationshipbetweentwosetsofvariables.Nowadays

Ithasalreadybeenusedwidelyinthecorrelationanalysisand

forecastedanalysis.

Thistextdescribesthestatisticalthoughtofthe

CanonicalCorrelationAnalysisfirstly,andthendefinesthe

totalcanonicalcorrelationvariablesandcanonical

correlationcoefficient,andsumuptheirsolutionmethod

briefly.AfteritIgodeepintodiscusssomealgorithmofthe

samplecanonicalcorrelationanalysisthoroughly.Accordingto

thereasoningoftheCanonicalCorrelationAnalysis,sumup

someofitsimportantpropertiesandgivetheidentification,

followingit,Iinferthesignificancetestingaboutthe

canonicalcorrelationcoefficient.Accordingtotheanalysis

fromthetheoriesandtheapplication,wecanachievethe

possibilityandthesuperiorityfromcanonicalcorrelation

analysisinthereallife.

[Keywords]CanonicalCorrelationAnalysis,Samplecanonical

correlation,Character,Practicalapplications

目录

刖s.......................................................................................................1

第1章典型相关分析的数学描述............................2

第2章典型变量与典型相关系数............................3

2.1总体典型相关.......................................3

2.2样本典型相关.......................................4

2.2.1第一对典型相关变量的解法.....................4

2.2.2典型相关变量的一般解法.....................8

2.2.3从相关矩阵动身计算典型相关.................9

第3章典型相关变量的性质...............................10

第4章典型相关系数的显著性检验.........................13

第5章典型相关分析的计算步骤及应用实例.................15

5.1典型相关分析的计算步骤............................15

5.2实例分析..........................................16

结语....................................................23

致谢....................................................24

参考文献.................................................24

附录....................................................26

前言

典型相关分析(CanonicalCorrelationAnalysis,CCA)作为多

元统计学的一个重要部分，是相关分析探讨的一个主要内容.典型相

关分析不仅其方法本身具有重要的理论意义，而且它还可以作为其他

分析方法，如多重回来、判别分析和相应分析的工具，因此在多元分

析方法中占有特别的地位.

典型相关的概念是在两个变量相关的基础上发展起来的•我们知

道，两个随机变量的相关关系可以用它们的简洁相关系数来衡量；-

个随机变量及一组随机变量之间的相关关系可以用复相关系数来衡

量.但考虑一组随机变量及另一组随机变量的关系时，假如运用两个

变量的相关关系，分别考虑第一组每个变量和其次组中每个变量的相

关，或者运用复相关关系，考虑一组变量中的每个变量和另一组变量

的相关，这样做比较繁琐，抓不住要领.因此，为了用比较少的变量

来反映两组变量之间的相关关系，一种考虑的思路就是类似主成分分

析，考虑两组变量的线性组合，从这两个线性组合中找出最相关的综

合变量，通过少数几个综合变量来反映两组变量的相关性质，这样便

引出J'典型相关分析.

典型相关分析的基本思想是首先在每组变量中找出变量的线性

组合，使其具有最大相关性，然后再在每组变量中找出其次对线性组

合，使其分别及第一对线性组合不相关，而其次对本身具有最大的相

关性，如此接着下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止.

有了这样线性组合的最大相关，则探讨两组变量之间的相关，就转化

为只探讨这些线性组合的最大相关，从而削减探讨变量的个数.

典型相关分析是由Hotelling于1936年提出的.就目前而言，它

的理论己经比较完善，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中计

算方面的困难，成为普遍应用的进行两组变量之间相关性分析技术.

如在生态环境方面，用典型相关理论对预报场及因子场进行分析，实

现了短期气象预料；借助典型相关，分析了植被及环境的关系；在社

会生活领域，应用典型相关分析了物价指标和影响物价因素的相关关

不寸寸•

第1章典型相关分析的数学描述

一般地，假设有一组变量X'X?,…,X,及另一组变量匕,八,…，匕，我

们要探讨这两组变量之间的相关关系，如何给两组变量之间的相关性

以数量的描述.

当P=q=l时，就是我们常见的探讨两个变量X及y之间的简洁

相关关系，其相关系数是最常见的度量，定义为：

当.Nl,q=l(或qNl,p=l)时,p维随机向量X=(X1,X2・・・Xj,

设|"：］~心(〃,£),其中，兄是第一组变量的协方差阵,

|_丫」|_，21、22_

立是第一组及其次组变量的协方差阵是其次组变量的协方差阵•

则称公乓叵I为y及XrX?,…,X,的全相关系数，全相关系数用于

V222

度量一个随机变量丫及另一组随机变量X1,X2，・、X0的相关系数.

当时，利用主成分分析的思想，可以把多个变量及多个变

量之间的相关化为两个新的综合变量之间的相关,也就是做两组变量

的线性组合即

其中，和尸为随意非零向量，于是我们

把探讨两组变量之间的问题化为探讨两个变量u与V之间的相关问

题，希望寻求a,夕使U,V之间最大可能的相关，我们称这种相关

为典型相关，基于这种原则的分析方法就是典型相关分析.

第2章典型变量及典型相关系数

2.1总体典型相关

设有两组随机变量x=(x「X2,…,x〃)，r=(ypy2,•••,)；),分别为

〃维和维随机向量，依据典型相关分析的思想，我们用x和y的线性

组合和"丫之间的相关性来探讨两组随机变量x和丫之间的相关

性.我们希望找到a和夕，使得「(aX,"y)最大.由相关系数的定义

易得出对随意常数eJed,均有

这说明使得相关系数最大的aX,"y并不唯一.因此，为避开不必要的

结果重复，我们在求综合变量时经常限定

于是，我们就有了下面的定义：设有两组随机变量

X=(X］,X2…,XJ,丫=(匕%-,匕)'，P+夕维随机向量［:］的均值向量

为零，协方差阵Z>()(不妨设〃工夕).假如存在%=(a”,和

4=(%”•••,⑸)’，使得在约束条件M"(aX)=l,Va"夕丫)=1下，

则称qx,〃y是x,y的典型相关变量，它们之间的相关系数称为典型

相关系数；其他典型相关变量定义如下：定义了前对典型相关变

量之后，第z对典型相关变量定义为：假如存在4=（q£,…Q/J和

凤=（/"••，4。，使得

⑴%x,瓦y和前面的k-1对典型相关变量都不相关；

（3）和4y的相关系数最大，

则称4x和&y是x,y的第4对（组）典型相关变量，它们之间的相关

系数称为第女个典型相关系数（％=2,.

2.2样本典型相关

以上是依据总体状况已知的情形进行，而实际探讨中，总体均值

向量〃和协方差阵2通常是未知的，因而无法求得总体的典型相关变

量和典型相关系数，首先须要依据观测到的样本数据阵对Z进行估

计.

第一对典型相关变量的解法

设总体z=（x，…,X",…《）’，已知总体的〃次观测数据为：

于是样本数据阵为

若假定z~N…则由参考文献【2】中定理知协方差阵E的最大似

然估计为

其中Z二4Z4），样本协方差矩阵s=2为：

"/=!

式中

令Uj=aXj匕=£'匕，则样本的相关系数为

又因为：U=Xj=a)=aX

〃耳〃尸〃普

所以

由于％,匕乘以随意常数并不变更他们之间的相关系数，即不妨

限定取标准化的s及匕，即限定4及匕的样本方差为1,故有：

Su'%=S4,=1

()

贝IJr(UrVj)=a'S^

()

于是我们要求的问题就是在O的约束条件下，求awRJem

使得式(2.2.2)达到最大.这是条件极值的问题，由拉格朗日乘子法,

此问题等价于求a,0,使

AA

a

叭a、B)=S[2〃一日(。S“a—1)一々(/?S22P-\)()

达到最大.式中，K〃为拉格朗日乘数因子.对上式分别关于。，夕求

偏导并令其为0,得方程组：

手二512夕-2S]g=。

da

^=S2ia-pS22/3=O

()分别用a,"左乘方程(2.2.4)得

又(aS>/)=S2\a

所以N=。S2Xa=(aSl2/3)=k

也就是说，4正好等于线性组合U及V之间的相关系数，于是()式

可写为：

S、?。-入=0一Is”S12a

或=0()

P

S2la—XS22p=0S21~^^22

而式()有非零解的充要条件是:

-SI2

=0

S2i-AS22

()

该方程左端是4的〃+q次多项式，因此有〃+“个根.求解2的高次

方程()，把求得的最大的2代回方程组(2.2.5),再求得a和4，从

而得出第一对典型相关变量.

详细计算时，因1的高次方程()不易解，将其代入方程组(2.2.5)

后还需求解〃+4阶方程组.为了计算上的便利，我们做如下变换：

用52sz左乘方程组()的其次式，则有

即S12s2；S21a二九S12。

又由()的第一式，得

1

代入上式：S|2s[S21a-AS]]a=0

S|2s2；S2]_矛SyI)Q—0

()

再用S；左乘式()，得

(5-'Sl2S；lS2l-ArIp)a=o()

因此，对外有〃个解，设为片之一；之…之方，对a也有〃个解.

类似地，用SN；左乘式()中的第一式,则有

SM、ISI1I5I$/，_2SX”IS：II!S.I1.a=O()

又由()中的其次式，得

代入到()式，有

再以S1左乘上式，得

层S?用储，>二0

()

因此对外有4个解，对夕也有q个解，因此Q为s[S12sMs21的特征根,

。是对应于Q的特征向量.同时小也是鼠%S.52的特征根，。为相应

特征向量.而式()和(2.2.10)有非零解的充分必要条件为：

()

对于(2.2.11)式的第一式，由于S“>0,S22>0,所以3>0,S-l>0,

故有：

而S/s/s/$S$S2i及sys^s^s黄2s2用2有相同的特征根.假如记

则S；r52s才S/s?।S^2=TT

类似的对式()的其次式，可得

而及亍亍有相同的非零特征根，从而推出()和(2.2.10)的非

零特征根是相同的.设己求得下亍的〃个特征根依次为：

则了了的4个特征根中，除了上面的〃个外，其余的4—〃个都为零.

故〃个特征根排列是2,>^>...>2„>0，

•••,0>>-A2>-A,,因此，只要取最大的4,代入方程组

()即可求得相应的。=四，/=/.令U=ax及v=为第一对典型

相关变量，而r(U,V)=a$g=4为第一典型相关系数.可见求典型相

关系数及典型相关变量的问题，就等价于求解方方的最大特征值及相

应的特征向量.

典型相关变量的一般解法

从样本典型相关变量的解法中，我们知道求典型相关变量和典型

相关系数的问题，就是求解亍个的最大特征值及相应的特征向量.

不仅如此，求解第〃对典型相关变量和典型相关系数，类似的也

是求方彳的第攵大的特征值和相应的特征向量.下面引用参考文献【2】

中定理来得出样本典型相关的一般求法.

设总体的〃次观测数据为：

不妨设〃＜夕，样本均值为0,协方差矩阵S为：

记方=S/SI2s铲，并设p阶方阵打的特征值依次为*“；N…J；〉0

(4=…,p);而//,••・，/”为相应的单位正交特征向量.令

则火工《x,匕=//为X,y第攵对典型相关变量，公为第z典型相关

系数.

由上述分析不难看出，典型相关系数工越大说明相应的典型变量

之间的关系越亲密，因此一般在实际中忽视典型相关系数很小的那些

典型变量，按力的大小只取前〃个典型变量及典型相关系数进行分

析.

从相关矩阵动身计算典型相关

以上我们从样本协方差阵S动身，导出了样本典型相关变量和样

本典型相关系数,下面我们从样本相关阵R动身来求解样本典型相关

变量和样本典型相关系数.

设样本相关阵为R=(%),其中.为样本协方差阵S

的i行/列元素.把H相应剖分为

有时，x和y的各重量的单位不全相同，我们希望在对各重量作标准

化变换之后再做典型相关.

记内=E(X),%=E(y)

则S”=£)内[£)],S22=D2R22D2

对x和y的各重量作标准化变换，即令

现在来求X•和丫”的典型相关变量"X”,B：Y"，i=l,2,…

于是

因为S”52s[Siai=r：at

所以此氏a；=Ya；

式中a；=。臼,有a：R“a；=%力晶。臼=a\S^ai=1

同理：七应氏风0；="；

式中笈=。血，有0；R26=BQRzD血==1,由此可见a；,P\

为广，片的第，对典型系数，其第，•个典型相关系数为小在标准化变换

下具有不变性.

第3章典型相关变量的性质

依据典型相关分析的统计思想及推导，我们归纳总结了典型相关

变量的一些重要性质并对总体及样本分别给出证明.

性质1同一组的典型变量互不相关

i总体典型相关

设x与丫的第，对典型变量为

则有0（4，4）=02（匕匕）=0

证明详见参考文献【5】.

ii样本典型相关

设x与丫的第，对典型变量为

因为S〃必=1%=1,S1化=0iS22pi=1,i=1,2,…,

表明由X组成的第一组典型变量■，/，•・・，4”互不相关，且均有相同的

方差1；同样，由丫组成的其次组典型变量匕，匕，…，匕,也互不相关，且

也有相同的方差1.

性质2不同组的典型变量之间的相关性

i总体典型相关

证明详见参考文献【5】.

ii样本典型相关

表明不同组的随意两个典型变量，当i=4寸，相关系数为不当谆/时

是彼此不相关的.

记。=（幼,。2「・4）'，丫=（匕，匕，,、匕“）’，则上述性质可用矩阵表示为

其中A=diag（4，Q,...,j）

性质3原始变量及典型变量之间的关系

求出典型变量后，进一步计算原始变量及典型变量之间的相关系

数矩阵，也称为典型结构.下面我们分别对总体及样本进行探讨.

i总体典型相关的原始变量及典型变量的相关性详见参考文献

【2】.

ii样本典型相关

记

则

所以利用协方差进一步可以计算原始变量及典型变量之间的相

关关系.若假定原始变量均为标准化变量，则通过以上计算所得到的

原始变量及典型变量的协方差阵就是相关系数矩阵.

性质4设x和y分别为p维和4维随机向量，令x*=c'x+d,

r=GY^h,其中。为〃X〃阶非退化矩阵，d为〃维常数向量，G为

力“阶非退化矩阵，力为q维常数向量.则：

i对于总体典型相关有：

（1）x*和①的典型相关变量为q）'x'和s：）y,其中〃；=04,

b；=G-。（1=1,2,…,p）;而内和a是X和y的第i对典型相关变量的系数.

9

（2）p[（a；）X\（b；）Y]=p[aiX,blY]f即线性变换不变更相关性.

证明详见参考文献【2】.

ii对于样本典型相关有；

（1）x*和片的典型相关变量为⑷和s；）y,其中〃：=「4,

b；=G"（i=l,2,…,p）;而4和4是X和y的第i对典型相关变量的系数.

⑵r[（a；）'X*,（6）y]=r["X,bM，即线性变换不变更相关性.

证明：⑴设X”和片的典型相关变量分别为

x

由于a；=C-&,b；=G-bt

所以

u=（。-&）’（CX+d）=《（L）'CX+d）=a：X+《（L）2

V=（G-吻）'（G'y+h）=b\（G-1）（GK+h）=b\Y+b\（G-'）'h

即有火和片是x和y的第7•对典型相关变量的系数.

（2）由⑴的证明可知

由于a；（C""及4（G」）R都是常数，所以

即有线性变换不变更相关性.

性质5简洁相关、复相关和典型相关之间的关系

当P=q=i,X与y之间的（惟一）典型相关就是它们之间的简洁

相关；当〃=1或乡=1时,X与y之间的（惟一）典型相关就是它们的复相

关.复相关是典型相关的一个特例，而简洁相关又是复相关的一个特

例.从第一个典型相关的定义可以看出，第一个典型相关系数至少同

x（或丫）的任一重量及丫（或X）的复相关系数一样大，即使全部这些复相

关系数都很小，第一个典型相关系数仍可能很大；同样，从复相关的

定义也可以看出，当〃=1（或9=1）时，x（或丫）与y（或X）之间的复相

关系数也不会小于x（或丫）与y（或X）的任一重量之间的相关系数，即使

全部这些相关系数都很小，复相关系数仍可能很大.

第4章典型相关系数的显著性检验

设总体z的两组变量x=(xpx2,---,xp)1,y=(x，L…,匕)’，且

Z=(X,Y)'~Np：,在做两组变量X,Y的典型相关分析之前，首

先应当检验两组变量是否相关，假如不相关，则探讨两组变量的典型

相关就毫无意义.

1.考虑假设检验问题：

出：外,金,…,。,”至少有一个不为零

其中〃7=nin{〃"/}.若检验接受”0,则认为探讨两组变量之间的相关性

没有意义；若检验拒绝小,则认为第一对典型变量是显著的.上式事

实上等价于假设检验问题

用似然比方法可导出检验儿的似然比统计量

其中〃+4阶样本离差阵5是X的最大似然估计，且s“，S22

分别是的最大似然估计.

该似然比统计量A的精确分布已由霍特林(1936),Girshik(1939)

和Anderson(1958)给出，但表达方式很困难，又不易找到该分布

的临界值表，下面我们采纳A的近似分布.

利用矩阵行列式及其分块行列式的关系，可得出：

所以

其中》是方宁的特征值(下=5产55才)，按大小次序排列为

2)>..->/；>0,当〃>>1时，在/成立下Q0=-mlnA近似听从

分布，这里/二〃q,-g(〃+q+l),因此在给定检验水平。之下,

若由样本算出的0°>N临界值，则否定〃。，也就是说第一对典型变

量也具有相关性，其相关系数为即至少可以认为第一个典

型相关系数肃为显著的.将它除去之后，再检验其余〃-1个典型相关

系数的显著性，这时用反加防〃提出的大样本/检验计算统计量：

则统计量

近似地听从(p_i)(9一1)个自由度的/分布，假如则认

为K显著，即其次对典型变量应，匕相关，以下逐个进行检验，直

到某一个相关系数人检验为不显著时截止.这时我们就找出了反映两

组变量相互关系的欠-1对典型变量.

2.检验"俨：”0(%=2,…,p)

当否定”。时，表明x,y相关，进而可以得出至少第一个典型相关

系数4工0,相应的第一对典型相关变量q,乂可能已经提取了两组变

量相关关系的绝大部分信息.两组变量余下的部分可认为不相关，这

时4B0伙=2,…,P),故在否定“0后，有必要再检验H俨(2=2,…,p),

即第攵个及以后的全部典型相关系数均为0(&=2,3,…,p).

为了削减计算量，下面我们采纳二分法来削减检验次数，取检验

统计量为

它近似听从(pM+l)(g-〃+1)个自由度的犬分布.在检验水平。

下，若看KpT+l)①—2+1)],则拒绝“。，即认为第攵对典型相关

系数在显著性水平。下是显著的，否则不显著.

从第2个典型相关系数到第〃个典型相关系数，共〃-1个数，所

以依据二分法的原理，将它们分为一个区间[2,“，然后先检验第

与4个典型相关系数即中位数，当［叁「0时，即认为第个典

型相关系数不相关，否定原假设，接着检验［2,［心］］；若当

一J21一

［叁广0时，则检验［［,］,〃.如此划分区间依次检验下去，由数

学分析上的区间套定理，肯定存在第％个数(&=2,3,…,p),使得4_产0,

而4=0.

以上的一系列检验事实上是一个序贯检验，检验直到对某个出值

”。未被拒绝为止.事实上，检验的总显著性水平已不是a了，且难以

确定.还有，检验的结果易受样本容量大小的影响.因此，检验的结果

只宜作为确定典型变量个数的重要参考依据，而不宜作为惟一的依

据.

第5章典型相关分析的计算步骤及应用实例

5.1典型相关分析的计算步骤

设Xe…,X®为取自正态总体的样本(事实上，相当广泛的状况

下也对)，每个样品测量两组指标，分别记为x=(x°..,xj,

丫=(升,…原始资料矩阵为：

第一步计算相关矩阵并将R剖分为

其中跖，心分别为第一组变量和其次组变量之间的相关系数矩阵，

&=R.为第一组及其次组变量之间的相关系数.

其次步求典型相关系数及典型变量

首先求A=的特征根/，特征向量D,«（0;

百=咫%阀犀的特征根/，特征向量。2%叫

写出样本的典型变量为

第三步典型相关系数的显著性检验

首先，检验第一对典型变量的相关系数，即

它的似然比统计量为

则统计量

给定显著性水平。，查表得正，若。＞力3则否定〃。，认为第一对

典型变量相关，否则不相关.假如相关则依次逐个检验其余典型相关

系数，直到某一个相关系数心伏=2,…,P）检验为不显著时截止.

5.2实例分析

例1：某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标：体重

区）、腰围（々）、脉搏（.）和三个训练指标：引体向上（%）、起

坐次数（内）、跳动次数（%）.数据如附录1：

解：记X=J,通心'，丫=（%，%。3）'，其中样本容量〃=20.

附录1中的数据用SPSS统计软件计算得六个变量之间的相关矩

阵如下：

Correlations

XIX2X3Y1Y2Y3

XIPearson.870(*493(

1366390226

Correlat*)*)

ion

Sig.

(2-taile•.000.113.089.027.337

d)

N202020202020

X2Pearson

.870(*552(646(

Correlat1353-191

*)*)**)

ion

Sig.

(2-taile.000■.127.012.002.419

d)

N202020202020

X3Pearson

Correlat3663531.151.225.035

ion

Sig.

(2-taile.113.127*.526.340.884

d)

N202020202020

Y1Pearson

552(.696(*.496(*

Correlat390.1511

*)*))

ion

Sig.

(2-taile.089.012.526■.00：.026

d)

N202020202020

Y2Pearson

493(646(.696(*.669(*

Correlat.2251

*)**)*)*)

ion

Sig.

(2-taile.027.002.340.001..001

d)

N202020202020

Y3Pearson

.496(*.669(*

Correlat226191.0351

)*)

ion

Sig.

(2-taile.337.419.884.026.001•

d)

N202020202020

**Correlationissignificantatthe0.01level(2-tailed).

*Correlationissignificantatthe0.05level(2-tailed).

即样本相关矩阵为：

于是特征方程间心氏22&-万|=。

用MM"求得矩阵厮见咫鸟的特征值分别为66630、0.0402和

0.0053,于是

下面我们进行典型相关系数的显著性检验，先检验第一对典型变

量的相关系数，欲检验：

它的似然比统计量为

查/分布表得，总。[⑼=1699,因此在a=O.()5的显著性水平下，

QT/.。式9)，所以拒绝原假设%,也即认为第一对典型相关变量是显

著相关的.

然后检验其次对典型变量的相关系数，即进一步检验：

它的似然比统计量为

=(1-0.0402)(1-0.0053)=0.9547

Q2=-[20-1一，(3+3+3)+否&=-16.08xIn0.9547=0.745<9,488=%嬴(4)

所以无法否定原假设“。，故接受“。：22=0,即认为其次对典型相关

变量不是显著相关的.由以上检验可知只需求第一对典型变量即可.

于是求4=0.797的特征向量—，而方;=；W以。；，解得

因此，第一对样本典型变量为

X与y第一对典型变量的相关系数为4=0.797,可见两者的相关性较为

亲密，即可认为生理指标及训练指标之间存在显著相关性.

例2：为了探讨某企业不同部门人员工作时间的关系，随机选取

25个企业进行入户调查，达到25个被访企业业务部门和技术部门经

理每月工作时间和员工每月工作时间(单位为小时)，详细数据如附

表2

分析：设业务部门经理和员工每月工作时间为（X”X?）,技术部门

经理和员工每月工作时间为（匕上），利用典型相关分析探讨企业业

务部门和技术部门人员工作时间的关系.

解：样本容量为〃=25,〃=2,夕=2分别为随机变量X与丫的维数.

⑴标准化随机变量X=（xiyx2）,及y=%,%）’.

依据样本均值T及标准差心;依照公式月=当芦，对数据标准化.

⑵求解阴的相关矩阵R,并将其分块

I'7yx

将数据输入SPSS软件求得相关系数矩阵如下:

Correlations

XIX2Y1Y2

XIPearson

.735(*.711(*.705(*

Correlat1

兴）*)*)

ion

Sig.

(2-taile*.000.000.000

d)

N25252525

X2Pearson

.735(*.693(*.705(*

Correlat1

*)*)*)

ion

Sig.

(2-taile.000*.000.000

d)

N25252525

Y1Pearson

.711(*.693(*.834(*

Correlat1

*)次)*)

ion

Sig.

(2-taile.000.000*.000

d)

N25252525

Y2Pearson

.705(*.705(*.834(*

Correlat1

*)4)*)

ion

Sig.

(2-taile.000.000.000•

d)

N25252525

**Correlationissignificantatthe0.01level

(2-tailed).

所以样本相关矩阵

分块后

小卡47?-1（0.5443096538840、人在下珀

（3）求解％=R；|R；&R；.二八“c八八八八八的两个非零特征根,

x…»"（0.5388400.534949J

解得两个非零特征根为若=06218,=0.0029.

（4）进行相关系数的显著性检验，取加工厂个显著性检验不为0的

特征根.

X与y第一对典型变量的相关系数为4=0.7885,x与y其次对典型变

量的相关系数为4=0.0537.

先检验第一对典型变量的相关系数，假设4=0（即第一对

典型变量不相关），由典型相关系数的值可得

计算统计量

对于给定的显著性水平a=0.05

所以否定零假设.

H0I：4=0,即第一对典型变量是显著相关的.

然后检验其次对典型变量的相关系数，假设“。2：人=（）（即其次

对典型变量不相关），由典型相关系数的道可得

计算统计量

对于给定的显著性水平a=0.05

所以无法否定假设.

”。2：4=0,即其次对典型变量不是显著相关的.由以上检验可知,

只需求第一对典型变量即可.

⑸求〃z=l个显著性检验不为0的特征根久；的特征向量而

m.=—/?；',/?J.，解得乙=（0.55216,0.521548）,,叫=（0.504018,0.538134）1.

(6)求出一对典型相关变量〃/=/；X,uj=凡丫,，=1,2,…，机

依据上面求得的特征向量/网犯,得第一对典型相关变量为

X与y第一对典型变量的相关系数为4=0.7885,可见其相关性较为

亲密.

(7)由于%=《X=0.55216X+0.521548X2,及业务部门经理和员工每

月工作时间都成正比，而且系数差不多，所以小可以说明为业务部门

人员工作时间.同理匕可以说明为技术部门人员的工作时间.可见一

个企业技术部门和业务部门人员月工作时间存在显著的相关性.

结语

典型相关分析是一种采纳类似主成分分析的做法，在每一组变量

中都选择若干个有代表性的综合指标(变量的线性组合)，通过探讨

两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系.在实际

中，只须着重探讨相关关系较大的那几对典型相关变量.本文首先依

据典型相关分析的统计理论，初步探讨了总体典型相关变量和典型相

关系数，然后重点探讨了样本典型相关分析，以及它们的一系列性质

及显著性检验，并做了相应的实例分析,通过实例分析，我们进一步

明确了典型相关分析是探讨两组变量之间相关性的一种降维技术的

统计分析方法.而复相关是典型相关的一个特例，简洁相关是复相关

的一个特例.第一对典型相关包含有最多的有关两组变量间相关的信

息，其次对其次，其他对依次递减.各对典型相关变量所含的信息互

不重复.并且经标准化的两组变量之间的典型相关系数及原始的两组

变量间的相应典型相关系数是相同的.

致谢

本文是在我的指导老师吴可法教授的细心指导和悉心关怀不完

成的，在我的学习生涯和论文工作中无不倾注着老师的辛勤汗水和殷

切关怀.吴老师宽厚的人格、灵敏的思维、严谨的治学看法、渊博的

学问、主动向上的人生看法、平易近人的师长风范和两年来的谆谆教

育，使我深受启迪，并恒久牢记在心,从吴老师身上，我不仅学到了

扎实的专业学问和技能，更学到了做人的道理，这些训诲必

将成为惠及一生的珍贵财宝.在此谨向吴老师致以最诚心的感谢和美

妙的祝福！

论文期间，我得到了很多老师和同学的帮助，本人在这里对他们

致以诚心的感谢.

我还要感谢我的家人，是他们的理解、支持和激励，使我的学习

能够顺当进行.

最终诚心感谢在百忙之中评审论文和参与答辩的各位专家、教

授！

参考文献

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StatisticalAnalysis(5thEd)[M].Beijing:ChinaStatistics

Press,2019.5

[13]刘顺忠.管理统计学和SAS软件应用[M].武汉:武汉高校出版

社，2019.1

附录

例1数据

某康复俱乐部的生理指标和训练指标数据

编号X4工3为%

11913650516260

21893752211060

3193385812101101

416235621210537

518935461315558

61823656410142

721138568