圆锥曲线中的切线方程解题方法及习题试卷

圆锥曲线中的切线方程解题方法及习题试卷考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率为k的直线，该直线与抛物线相切，则切线方程为（）A．y=kx+（p/2）B．y=kx-pC．y=kx+pD．y=kx+（p/2k）²2.椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，若过F₁的直线与椭圆相切，则切线方程为（）A．bx-ay+b√（a²-b²）=0B．ax-by-a√（a²-b²）=0C．ax+by-a√（a²-b²）=0D．bx+ay+b√（a²-b²）=03.双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=（b/a）x，若过点（a，0）的直线与双曲线相切，则切线方程为（）A．y=（b/a）xB．y=-（b/a）xC．y=（a/b）xD．y=-（a/b）x4.抛物线y²=4ax（a＞0）的切线方程为y=mx+b，若该切线与直线x-y=0垂直，则b的值为（）A．2aB．-2aC．4aD．-4a5.椭圆x²/9+y²/4=1的切线方程为y=mx+n，若该切线过点（1，2），则m的值为（）A．5/6B．6/5C．-5/6D．-6/56.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为y=kx+c，若该切线与直线y=x平行，则c的值为（）A．5B．-5C．10D．-107.抛物线y²=8x的切线方程为y=3x+d，则d的值为（）A．6B．-6C．12D．-128.椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程为y=mx+4，若该切线与x轴平行，则m的值为（）A．0B．±4/5C．±5/4D．不存在9.双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程为y=2x+t，若该切线与y轴相交于点（0，3），则t的值为（）A．3B．-3C．6D．-610.抛物线y²=12x的切线方程为y=4x+c，则c的值为（）A．6B．-6C．24D．-24二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.过点（1，2）的抛物线y²=4x的切线方程为__________。2.椭圆x²/16+y²/9=1的右焦点为F（c，0），若过F的直线与椭圆相切，则切线方程为__________。3.双曲线x²/25-y²/16=1的一条渐近线方程为y=（4/5）x，若过点（5，0）的直线与双曲线相切，则切线方程为__________。4.抛物线y²=6x的切线方程为y=2x+b，若该切线与直线y=x垂直，则b的值为__________。5.椭圆x²/9+y²/4=1的切线方程为y=mx+1，若该切线与y轴相交于点（0，2），则m的值为__________。6.双曲线x²/36-y²/25=1的切线方程为y=3x+c，若该切线与直线x-y=0平行，则c的值为__________。7.抛物线y²=10x的切线方程为y=5x+d，则d的值为__________。8.椭圆x²/49+y²/36=1的切线方程为y=mx-3，若该切线与x轴平行，则m的值为__________。9.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为y=（3/4）x+t，若该切线过点（4，3），则t的值为__________。10.抛物线y²=14x的切线方程为y=7x+c，则c的值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.抛物线y²=4x的切线方程为y=2x+1，该切线与抛物线相切。（）2.椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程为y=mx+4，若该切线与y轴平行，则m=0。（）3.双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程为y=（2/3）x+t，若该切线过点（3，2），则t=0。（）4.抛物线y²=8x的切线方程为y=4x+2，该切线与抛物线相切。（）5.椭圆x²/16+y²/9=1的切线方程为y=mx+3，若该切线与直线y=x平行，则m=1。（）6.双曲线x²/36-y²/25=1的切线方程为y=3x+5，若该切线与x轴相交于点（-5/3，0），则该切线与双曲线相切。（）7.抛物线y²=12x的切线方程为y=6x+3，该切线与抛物线相切。（）8.椭圆x²/49+y²/36=1的切线方程为y=mx-2，若该切线与y轴平行，则m不存在。（）9.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为y=（3/4）x+2，若该切线过点（4，5），则该切线与双曲线相切。（）10.抛物线y²=10x的切线方程为y=5x+1，该切线与抛物线相切。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.求抛物线y²=8x的切线方程，使其过点（2，3）。2.求椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程，使其与直线y=2x平行。3.求双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程，使其过点（3，2）。4.求抛物线y²=4x的切线方程，使其与直线x+y=1垂直。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.抛物线y²=4x的切线方程为y=mx+b，若该切线与直线y=x垂直，求m和b的值。2.椭圆x²/16+y²/9=1的切线方程为y=mx+3，若该切线过点（2，1），求m的值。3.双曲线x²/25-y²/16=1的切线方程为y=（3/4）x+t，若该切线与直线y=2x平行，求t的值。4.抛物线y²=10x的切线方程为y=5x+c，若该切线与直线x-y=0垂直，求c的值。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.A3.B4.A5.A6.B7.C8.B9.A10.C解析：1.抛物线y²=2px的焦点为（p/2，0），切线方程为yy₀=px+x₀y₀，代入（1，2）得4=2p+2x₀，即x₀=2-p/2，代入切线方程得y=（p/2）x+（p/2）²，选项C正确。2.椭圆x²/a²+y²/b²=1的左焦点为（-c，0），切线方程为（-c）x+ay=ab，选项A正确。3.双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线方程为y=（b/a）x，过（a，0）的切线方程为ax-by=a²，选项B正确。4.抛物线y²=4ax的切线方程为y=mx+b，代入焦点（a，2a）得4a=ma²+b，又y=mx+b与x-y=0垂直，即m=-1，解得b=2a，选项A正确。5.椭圆x²/9+y²/4=1的切线方程为（x₁x/9）+（y₁y/4）=1，代入（1，2）得（x₁/9）+（y₁/2）=1，又y=mx+1，联立解得m=5/6，选项A正确。6.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为（xx/16）-（yy/9）=1，与y=x平行即斜率k=1，代入得x²/16-y²/9=x²/16-y²/9，选项B正确。7.抛物线y²=8x的切线方程为y=3x+d，代入焦点（2，4）得4=6+d，解得d=-2，选项C正确。8.椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程为（x₁x/25）+（y₁y/16）=1，与x轴平行即y₁=0，代入得x=5，选项B正确。9.双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程为（xx/9）-（yy/4）=1，过（4，3）得（4x/9）-（3y/4）=1，选项A正确。10.抛物线y²=12x的切线方程为y=4x+c，代入焦点（3，6）得6=12+c，解得c=-6，选项B正确。二、填空题1.y=2x+12.（4/3）x-y=43.4x-5y=204.-35.2/36.107.58.±12/79.310.7解析：1.抛物线y²=4x的切线方程为yy₀=2（x+x₀），过（1，2）得2y₀=2（1+x₀），即x₀=y₀-1，代入切线方程得y=2x+1。2.椭圆x²/16+y²/9=1的右焦点为（√7，0），切线方程为（√7）x+3y=12，化简得（4/3）x-y=4。3.双曲线x²/25-y²/16=1的渐近线方程为y=（4/5）x，过（5，0）的切线方程为5x-4y=25，化简得4x-5y=20。4.抛物线y²=6x的切线方程为y=2x+b，与直线y=x垂直即斜率k=-1，代入焦点（3/2，3）得3=3+b，解得b=0，选项错误，应为-3。5.椭圆x²/9+y²/4=1的切线方程为（x₁x/9）+（y₁y/4）=1，过（0，2）得（y₁/4）=1，即y₁=4，代入得m=2/3。6.双曲线x²/36-y²/25=1的切线方程为（xx/36）-（yy/25）=1，与y=x平行即斜率k=1，代入得x²/36-x²/25=x²/36-x²/25，选项错误，应为10。7.抛物线y²=10x的切线方程为y=5x+d，代入焦点（5/2，5）得5=25/2+d，解得d=-15/2，选项错误，应为5。8.椭圆x²/49+y²/36=1的切线方程为（x₁x/49）+（y₁y/36）=1，与x轴平行即y₁=0，代入得x=7，选项错误，应为±12/7。9.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为（xx/16）-（yy/9）=1，过（4，3）得（4x/16）-（3y/9）=1，解得t=3。10.抛物线y²=14x的切线方程为y=7x+c，代入焦点（7/2，7）得7=49/2+c，解得c=-15/2，选项错误，应为7。三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.×9.×10.×解析：1.抛物线y²=4x的切线方程为y=2x+1，代入焦点（1，0）得0=2+1，不成立，错误。2.椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程为y=mx+4，与y轴平行即m不存在，错误。3.双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程为y=（2/3）x+t，过（3，2）得2=2+t，解得t=0，正确。4.抛物线y²=8x的切线方程为y=4x+2，代入焦点（2，4）得4=8+2，不成立，错误。5.椭圆x²/16+y²/9=1的切线方程为y=mx+3，与直线y=x平行即m=1，代入得x²/16+x²/9=3x，不成立，错误。6.双曲线x²/36-y²/25=1的切线方程为y=3x+5，与x轴相交于点（-5/3，0），代入得（-5/3）²/36-0²/25=1，不成立，错误。7.抛物线y²=12x的切线方程为y=6x+3，代入焦点（3，6）得6=18+3，不成立，错误。8.椭圆x²/49+y²/36=1的切线方程为y=mx-2，与y轴平行即m不存在，正确。9.双曲线x²/16-y²/9=1的切线方程为y=（3/4）x+2，过（4，5）得5=3+2，不成立，错误。10.抛物线y²=10x的切线方程为y=5x+1，代入焦点（5/2，5）得5=25/2+1，不成立，错误。四、简答题1.解：抛物线y²=8x的切线方程为yy₀=4（x+x₀），过（2，3）得3y₀=4（2+x₀），即x₀=3y₀/4-2，代入切线方程得y=（3/2）x+3/2。2.解：椭圆x²/25+y²/16=1的切线方程为（x₁x/25）+（y₁y/16）=1，与直线y=2x平行即斜率k=2，代入得x²/25+2xy/16=1，解得x₁=5/3，y₁=8/3，切线方程为y=2x±2√5/3。3.解：双曲线x²/9-y²/4=1的切线方程为（xx/9）-（yy/4）=1，过（3，2）得（3x/9）-（2y/4）=1，化简得x-3y=9，选项错误，应为x-3y=9。4.解：抛物线y²=4x的切线方程为y=2x+b，与直线x+y=1垂直即斜率k=-1，代入焦点（1，2）得2=2+b，解得b=0，切线方程为y=2x。五、应用题1.解：抛物线y²=4x的切线方程为y=mx+b，与直线y=x垂直即m=-1，代入焦点（1，2）得