安徽省蚌埠市2025-2026学年高二数学上学期期末学业水平监测试题含解析

安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测

高二数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（）

11

A．B．sinxcosx

xx2

1

C．3x3xD．lnx

x

1

2．顶点在坐标原点，焦点坐标为0,的抛物线的标准方程为（）

2

A．y22xB．y2xC．x22yD．x2y

3．如下图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空

间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（）

DB14,3,2AC1

A．4,3,2B．4,2,3C．0,3,2D．4,3,2

4．若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（）

A．lB．l//C．l//或lD．以上说法都不对

a1a2

5．若1,a1,a2,4成等差数列；1,b1,b2,b3,9成等比数列，则等于（）

b2

1111

A．B．C．D．

3335

6．直线xy10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x3)2y22上，则ABP面积的取值范

围是（）

A．[2,32]B．[1，2]C．[2，3]D．[1，3]

7．在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这

些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容

积最大时，底面边长为（）

101520

A．B．C．D．5

323

x2y2x2y2

8．已知椭圆C1:221a1b10与双曲线C2:221a20,b20有相同的焦点F1,F2.椭圆C1的

a1b1a2b2

π

离心率为e，双曲线C2的离心率为e，点P为椭圆C与双曲线C2的交点，且FPF，则ee的最小值

12112412

为（）

2

A．22B．C．1D．2

2

二、多选题

9．已知M(1,2),N(4,5)，则下列说法正确的是（）

A．直线MN的倾斜角为45B．点M到直线3x4y0的距离为1

C．点N在直线x2y130上D．直线xy10与直线MN平行

10．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为2，且

DABDAA1BAA160，则下列说法中正确的有（）

A．BD1BABB1BCB．BD18

C．异面直线BA与CC1所成的角为120D．BDCC1

11．英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作曲线yf(x)的切线，

切线与x轴交点的横坐标为x2，用x2代替x1重复上面的过程得到x3,，一直下去，得到数列xn，叫做牛

顿数列.若函数f(x)x33x1，则下列说法正确的是（）

A．函数f(x)有三个零点B．若x10，则x21

fxn

C．xn1xnD．若x12，则数列xn是递增数列

fxn

三、填空题

x2y2

12．已知双曲线C:1，则其渐近线方程为．

22

13．已知函数f(x)1xx2xn，其中nN且n2，则f(2)．

14．蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠

所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球O内

切于正四面体ABCD，线段MN是球O的一条动直径，点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则PMPN

的取值范围是．

四、解答题

15．在平面直角坐标系中，已知直线l:x2y40.

(1)求过点A(4,0)且和l垂直的直线的方程；

(2)若圆C经过A(4,0),B(2,2)两点，且圆心在直线xy0上，求圆C的标准方程.

2

16．已知数列an的前n项和为Sn，其中Snn．

(1)求数列an的通项公式；

1

11

(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求证：Tn．

anan132

17．如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB1,E为PC中点.

(1)求证：DE平面PCB；

(2)求点C到平面DEB的距离；

(3)求平面EDB与平面PBD夹角的余弦值.

18．已知f(x)aexx.

(1)当a1时，求f(x)在x0处的切线方程；

(2)若f(x)的最小值为2，求实数a的值；

(3)当a0时，若fx00，求证：(1a)x0a.

19．有一个半径为22的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为2，将纸片折叠，使圆周上

一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点O，建立平面直角坐标系.

(1)记折痕与ME的交点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程.

(2)若直线l:ykxm(m0)与曲线C交于A，B两点.

22

（i）当k为何值时，OAOB为常数d，并求出d的值.

2

（ii）以A，B为切点，作曲线C的两条切线，设其交点为Q，当OQd时，证明：QAQB.

参考答案

1．D

111

【详解】x，故A错

xx2

sinxcosx，故B错

3x3xln3，故C错

1

lnx，故D正确

x

故选：D

2．C

12

【详解】焦点坐标为0,在y轴正半轴上，可设抛物线方程为x2pyp0，

2

p1

又，则p1，故抛物线的标准方程为x22y.

22

故选：C

3．A

【详解】因为DB14,3,2，D为坐标原点，所以B14,3,2，

又因为ABCDA1B1C1D1为长方体，所以A4,0,0,C10,3,2，

所以AC14,3,2.

故选：A.

4．C

【分析】分别根据直线l在平面内和在平面外两种情况判断可得.

【详解】因为直线l的方向向量与平面的法向量垂直，若l平面，则符合题意；

若l平面，则存在直线m//l，且直线m，所以l//.

故选：C

5．A

【详解】设等差数列的公差为d，则413d，所以d1a2a1，

2

又由等比中项性质，19b1b3b2，所以b23，

q2

又设公比为，b21q0，所以b23

aaaa1

所以1221.

b2b23

故选：A.

6．D

【详解】由题得A1,0,B0,1,圆心坐标为3,0，半径r2.

3014

∴AB2，圆心到直线AB的距离为22.

12122

所以点P到直线AB的最小距离为2222，最大距离为22232，

11

所以ABP的面积的最小值为221，最大值为2323.

22

所以ABP的面积的取值范围为1,3.

故选：D.

7．C

3

【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x，则正六棱柱容器的高为10x，0x10，

2

1339

所以正六棱柱容器的容积为Vx6xx10xx310x2，

2224

2722720

由Vxx45xxx知，

443

2020

当x0,时，Vx0；x,10时，Vx0，

33

2020

所以Vx在0,上单调递增，在,10上单调递减，

33

20

所以当x时，Vx取得最大值，

3

故选：C

8．B

【详解】不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：PF1PF22a1，PF1PF22a2，

所以PF1a1a2,PF2a1a2.

222

πa1a2a1a24c

在PF1F2中，由余弦定理可得cos，

42a1a2a1a2

22

22222a22a

化简得，所以12，

22a122a24c4

c2c2

22222222222222

则，等号成立时，

22=422222

e1e2e1e2e1e2e1e2

22

则ee，则e1e2的最小值为.

1222

故选：B

9．AB

52

【详解】由题意得，直线MN的斜率为1，

41

设直线MN的倾斜角为0,180，则tan1，得45，故A正确；

38

1

点M到直线3x4y0的距离为2，故B正确；

324

因为4251310，所以点N不在直线x2y130上，故C错误；

直线xy10的斜率为1，与直线MN的斜率相等，

将点M(1,2)代入直线xy10，有1210，说明点M在该直线上，

因此，直线MN与直线xy10为同一条直线（重合），而非平行，故D错误.

故选：AB

10．AD

【详解】对于A：BD1BAAA1A1D1BABB1BC，故A正确；

对于B：因为BD1BABB1BCABAA1AD，

22

所以

BD1ABAA1AD

222

AB2ABAA12ABADAA12ADAA1AD

111

2222222222222228，

222

所以BD122，即BD122，故B错误；

对于C：因为CC1//BB1，AA1//BB1，所以CC1//AA1，

所以A1AB为异面直线BA与CC1所成的角，即异面直线BA与CC1所成的角为60，故C错误；

对于D：因为BDADAB，CC1AA1，

11

所以，

BDCC1ADABCC1ADCC1ABCC122220

22

所以BDCC1，即BDCC1，故D正确.

故选：AD

11．ACD

【详解】对A：由f(x)x33x1，f(x)3x233x1x1，

令f(x)0，得x1或x1，

当x1或x1时，fx0，当1x1时，fx0，

所以fx在,1，1,上递增，在1,1上递减，

3

f(1)133110，f(1)131130.

且当x时，f(x)；当x时，f(x)，

所以由零点存在性定理及函数的单调性可得：

函数f(x)在(,1),(1,1),(1,)各有一个零点，共3个零点，故A正确；

对于C，因为横坐标为xn的点处作曲线yf(x)的切线为yf(xn)f(xn)(xxn)，

fxnfxn

令y0，得xxn，即xn1xn，故C正确；

fxnfxn

f011

对于B，若x0，则f01,f03，所以x0，故B错误；

12f033

32

对于D，若x12，则f223211,f23239，

f(2)117

所以x22()，显然xx.

2f(2)9912

2

又因为当xn(,1)时，f(xn)3xn30，且f(2)10，所以f(xn)0.

fxn

所以xn1xn0，即xn1xn，所以数列xn是递增数列，故D正确.

fxn

故选：ACD

12．yx

x2y2

【详解】由双曲线C:1得a2b22,

22

ab2,

b

渐近线方程为yxx.

a

故答案为：yx.

13．2n11

n

2n212

【详解】f(x)1xxx，f2121222n1122n12n11

12

故答案为：2n11.

14．0,8

1122

【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则POPMPN，MOONMN，OMON1，

22

222

所以PMPNPOMOPOONPOOMPO1，

设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，

233

可知H为正三角形ABC的外心，则AHaa，

323

2

在Rt△AOH和Rt△APH中，AH2AO2OH2AP2OPOH，

66

解得RAOa，OHa，

412

6

设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，所以ra1，

12

解得R3，又PO的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r，

2

所以1rPOR3，进一步可得0PO18，即PMPN的取值范围为0,8．

故答案为：0,8．

15．(1)2xy80

(2)(x1)2(y1)210

1

【详解】（1）由题意，直线l的斜率k，

12

1

则所求直线的斜率k22，

k1

代入点斜式方程得y02(x4)，

∴过点A且和l垂直的直线的方程为2xy80.

（2）设圆心C为(a,b)，半径为r

∵圆心在直线xy0上，ab0，则点C为(a,a)，

由题意可得|AC||BC|r，

则(a4)2(a0)2(a2)2(a2)2，解得a1，

∴圆心C的坐标为(1,1)，半径r10，

圆C的标准方程为(x1)2(y1)210.

16．(1)an2n1

(2)证明见解析

【详解】（1）当n1时，a1S11，

22

当n2时，anSnSn1n(n1)2n1，

又a11满足an2n1，

an2n1nN，

数列an的通项公式为an2n1．

1111

（2）bn，

(2n1)(2n1)22n12n1

11111111

Tn11，

23352n12n122n1

1

Tn单调递增，TnT1，即T，

n3

11

又11，T

2n1n2

11

T．

3n2

17．(1)证明见解析

(2)3

3

(3)6.

3

【详解】（1）PD平面ABCD,BC平面ABCD，PDBC，

又∵正方形ABCD中，CDBC,PDCDD,PD,CD平面PCD，

BC平面PCD，

又DE平面PCD,BCDE，

PDCD,E是PC的中点，DEPC，

又PCBCC,PC,BC平面PCB，

DE平面PCB；

（2）由（1）知DE平面PCB，DE平面DEB，所以平面DEB平面PCB，

过点C作CMBE于点M，

因为平面DEB平面PCBBE，CM平面PCB，

所以CM平面DEB，则线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，

PDABCD1,PDC90，

2

PC2,EC,BC1，

2

由（1）可知BCPC，

6CEBC3

BEEC2BC2,CM，

2BE3

3

即点C到平面DEB的距离为.

3

（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

11

由题意知：D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，E0,,，C(0,1,0),A(1,0,0)，

22

11

则DB(1,1,0),DE0,,，CA(1,1,0)，

22

设平面EBD的法向量n(x,y,z)，

则nDB0,nDE0，

xy0

从而，令z1，得到y1,x1,n(1,1,1)，

yz0

由（1）与已知ACPD，ACBD，

又PDBDD，PD、BD平面PBD，

则AC平面PBD，则平面PBD的一个法向量为CA(1,1,0)，

设平面EBD与平面PBD夹角为，

CAn1106

则coscosCA,n.

CAn233

6

∴平面EBD与平面PBD夹角的余弦值为.

3

18．(1)y1

(2)ae

(3)证明见解析

【详解】（1）a1时，f(x)exx．因为f(0)1，所以切点为(0,1)，

因为f(x)ex1，所以f(0)0，

所以f(x)在x0处的切线方程为y10，即y1.

（2）因为f(x)aex1，

①若a0，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(,)单调递减，无最小值，不符合题意；

②若a0，令f(x)0得xlna，则x,f(x),f(x)的变化如下表所示，

x(,lna)lna(lna,)

f(x)-0+

f(x)极小值

lna

f(x)minf(lna)2，即aelna2解得ae.

即f(x)的最小值为2时，ae．

x0x0

（3）由题意知aex0，所以a，因为a0，所以x00.

ex0

x0x0

要证(1a)x0a，只需证1xe1，

e0

x0

即ex01．

令g(x)exx1,x0，则g(x)ex10，

所以g(x)在(0,)单调增，

x0

因为x00，所以gx0g(0)0，即ex01，

所以(1a)x0a成立．

x2

19．(1)y21

2

2

(2)（i）k，d3;（ii）证明见解析

2

【详解】（1）（1）由题意可知，

PFPEPMPEME22EF2，

所以P点轨迹是以E，F为焦点，22为长轴长的椭圆，

即c1,a2，所以ba2c21，

x2

所以曲线