正弦定理课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章解三角形9.1.1正弦定理《人教B版2019高中数学必修第四册》为了方便起见，本书中，将ΔABC3个内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c.在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a,B，C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，更一般地，可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解.如图9-1-2所示，在ΔABC中，过点A作BC边上的高AD，在RtΔADC中，由正弦的定义可知

AD=bsinC,

探究新知

可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立；而当C为钝角时，如图9-1-3所示，仍设ΔABC的BC边上的高为AD，则可知AD=bsin∠ACD=bsin(π-C)=bsinC

一般地，若记ΔABC的面积为S，则探究新知

这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等.探究新知例1已知ΔABC中，B=75∘,C=60∘,a=10，求c.

利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题．而且，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点.

构造直角三角形法把原理吃透，搞清楚正弦定理是怎么来的；熟练之后，考试和做题就直接用正弦定理法，效率高还不容易错。探究新知

另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了.事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.探究新知

探究新知

根据例2的解答可知，图9-1-4中的（1)(2）都满足例2的条件．事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致.探究新知

探究新知例4

判断满足条件A=30∘,a=1,c=4的ΔABC是否存在，并说明理由

探究新知例5

在ΔABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求证：

ΔABC是直角三角形.

探究新知

练习A①在ΔABC中，已知c=10,C=45∘,B=60∘，通过构造直角三角形求出b的值.

ACBabcH练习A②已知ΔABC中，A=60∘,B=30∘,a=3，求b.

练习A④为了方便起见，有时可对三角形的边和角作一些标记，以表示其中的相等关系．如图（1）中，AB与AC上的标记相同，这表示AB=AC.类似地，有BC=CD,∠ABC=∠ACB,∠CBD=∠CDB,而且A=70∘,BD=10.图（2)(3)(4）中使用了类似的标记，判断这些图中是否存在矛盾.如果有，请指出矛盾所在.解析

图(2)：AB=AC则应该∠B=∠C，但图中∠B=70∘，∠C=71∘，矛盾。图(3)：∠AOB=∠EOF则应该AB=EF,但图中AB=6.3，EF=6.5，矛盾。图(4)：∠C=180∘-∠A-∠B=91∘,根据大角对大边，则应该AB>AC,矛盾。练习A⑤已知ΔABC中，A=45∘，B=75∘,b=8，求a.

练习B①在ΔABC中,已知a=3,b=4,A=30∘,求sinC.

练习B②在ΔABC中,已知b=