《平面》教学课件

8.4.1平面【知识小结一】【知识小结二】【知识小结三】1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一·山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是(

)A.三个点 B.圆心和圆上两点C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线C解析

根据题意,依次分析选项:对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确;对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C.12345678910111213141516172.[探究点二]空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中(

)A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线B解析

如图1和图2所示,A,C,D均不正确,只有B正确.图1图212345678910111213141516173.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是(

)A.l⊂α B.l∈αC.l∩α=A D.l∩α=BA解析

由基本事实2或画图可知:l⊂α.12345678910111213141516174.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(

)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合C解析

两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.12345678910111213141516175.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=(

)A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对C解析

根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.12345678910111213141516176.[探究点一](多选题)下列说法错误的是(

)A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共面BC解析

由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.12345678910111213141516177.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定

个平面.

3解析

当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.12345678910111213141516178.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.1234567891011121314151617证明

∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.12345678910111213141516179.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.1234567891011121314151617证明

(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.1234567891011121314151617B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(

)A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上A解析

由题意得EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上.123456789101112131415161711.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(

)A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条D解析

当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.123456789101112131415161712.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(

)A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面ABC解析

因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.123456789101112131415161713.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α:

;

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:

;

(3)a⊄α,a∩α=A:

;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:

.

③

④

①

②

解析

根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,(1)A∉α,a⊂α:对应③;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.1234567891011121314151617123456789101112131415161714.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的

条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)

必要不充分

解析

空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可能两两平行,所以充分性不成立;当三条直线l,m,n两两相交时,直线l,m,n一定共面,所以必要性成立.故“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的必要不充分条件.123456789101112131415161715.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且

=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.1234567891011121314151617证明

∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,且EF=BD.∴GH∥BD,且GH=BD,∴EF∥GH,且EF>GH,∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.123456789101112131415161716.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线.1234567891011121314151617证明

(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证点Q,R也在平面A