6.4.3 （第2课时）正弦定理（教案）

第六章平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理一、教学目标1.了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2.正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。三、教学过程：1、创设情境：某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?学生活动1探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？CACABbca探究2：在中，如何求边BC的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）如右图，中的边角关系：________；________；____=1____；∴____c____；____c____；____c____；∴__________________________________那么，上述结论，如何证明？（学生小组活动探究）探究3：这个关系式对任意也成立吗二.建构数学 探究4：如何证明这个等式？（教师点拨）(作高法)在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，1.在RtΔABC中，∠C=900,csinA=a,csinB=b，即=。2.在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即，同理得，故有。3.在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即，故有。（学生小组活动探究）（向量法）过作单位向量垂直于，由+，两边同乘以单位向量得•(+•，则•+••∴||•||cos90+||•||cos(90)=||•||cos(90)∴∴=同理，若过作垂直于得：=∴探究5：还有其它的证明方法吗？课后尝试用其它方法来证明!正弦定理：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：==它适合于任何三角形。探究6：正弦定理结构的最大特点是什么？____结构和谐、对称体现了数学的和谐美与对称美_____________________探究7：正弦定理里面包含了几个等式？生答：3个，=，每个等式中有几个量？生答：4个解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程。学生活动3如图下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？归纳使用正弦定理解三角形的条件:_____（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角______________________________________（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）______三.数学应用例1.某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?解：由正弦定理得，，所以答：变题:在△ABC中，已知b=10,A=60,C=45,求角B,a和c答案：B=1050,a=;c=总结:此问题归为已知两角和任一边求其他两边和一角例2.在△ABC中，已知a=16，b=，A=，求角B，C和边c解：由正弦定理得解得所以变题:在△ABC中，已知a=16，b=，B=45°.求角A，C和边c解：由正弦定理得解得法一、法二、总结:此问题归为已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）四、小结：正弦定理：应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)作高法证明正弦定理；(3)向量法证明正弦定理。五、作业：习题6.4.3A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=45°,C=60°,b=2,则c等于()A.32 B.3 C.2 D.2.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=3,A=π4,则B=(A.π6 B.C.π6或53.[探究点四]在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.35 B.±C.-35 D.±4.[探究点二]在△ABC中,若3asinB=c-bcosA,则B=()A.π6 B.C.π3或25.[探究点二]在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则此三角形(A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定6.[探究点三]在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形7.[探究点一]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于.

8.[探究点一]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=9.[探究点二、四]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37(1)求sinC的值;(2)当a=7时,求△ABC的面积.B级关键能力提升练10.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=2π3,AC=23,CD=32,则BC= (A.33 B.4C.42 D.611.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+A.833 C.2633 12.在△ABC中,若sinC=2sinBcosB,且B∈π6,π4,则cbA.(2,3) B.(C.(0,2) D.(2,2)13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sinB=sin2A,S△ABC是△ABC的面积,则()A.sinB=429 B.cosC.c=3 D.S△ABC=2214.在△ABC中,B=π4,BC边上的高AD等于13BC,且AD=1,则AC=,sin∠BAC=15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,△ABC的面积为3154,则cosA=,16.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B.(1)求角C的大小;(2)若b=1,c=7,求cos(B-C)的值.C级学科素养创新练19.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是()A.sinA>sinB B.cosA<cosBC.sinA>cosB D.sinB>cosA20.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sinB(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长参考答案1.B在△ABC中,∵B=45°,C=60°,b=2,∴由正弦定理bsinB=csinC,得2sin45°2.D在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,因为a=2,b=3,A=π4,所以bsinA<a<b又0<B<π,所以B=π3或B=2π3.3.B由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=4.A因为3asinB=c-bcosA,由正弦定理得3sinAsinB=sinC-sinBcosA.因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinAsinB=sinAcosB.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以tanB=33,而B为三角形的内角,故B=π6.故选5.B在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则bsinA=12×12=6,可得bsinA<a<b,可得此三角形有两解.故选6.B由已知,得asinA=b=bsinB,所以sinB=1,所以B=90°,故7.63由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=c8.2113在△ABC中,由cosA=45,cosC=513,可得sinA=35,sinsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365又a=1,故由正弦定理得b=asin9.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sinC=c(2)因为a=7,所以c=37×7=3由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍)所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=10.D在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC=AC·因为∠ADC<A,所以∠ADC=π4所以∠ACD=π-2π所以∠ACB=π6,则∠B=π6,所以AB=AC=2在△ABC中,由余弦定理得BC2=(23)2+(23)2-2×23×23×-12=36,所以BC=6.故选D.11.B由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得a+b+csin12.A由正弦定理及已知得cb=sinCsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.又π6<B<π4,余弦函数在此范围内是减函数,13.ACD因为sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,即b=2acosA.又a=3,b=2,所以cosA=13,sinA=223,sin又b<a,所以cosB=79cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=13=cosA,所以c=a=3S△ABC=12bcsinA=12×2×3×223=2214.531010如图,由AD=1,B=π又AD=13BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=1由正弦定理知,sin∠BAC=BC·15.-144在△ABC中,∵2sinB=3sinC∴2b=3c,又b-c=14a,∴a=2c,b=3∴由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=9c24+又△ABC的面积为315∴12bcsinA=3154,即12×32c×c×154=16.解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2A·sinBcosB=sin所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.17.解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.由余弦定理,得cosC=a2∵C∈(0,π),∴C=π4∴S=12absinC=12×2RsinA·2RsinB=2R2sinAsinB=2R2sinA2=R2(sinAcosA+sin2A)=R21=R222∵A∈0,3π4,∴∴sin2A-π4∈-∴△ABC面积的最大值为2+12R18.解(1)由(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B化简,得sin2A+sin2B-sin2C=3sinAsinB,由正弦定理,得a2+b2-c2=3ab,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=3(2)因为b=1,c=7,所以由正弦定理bsinB=csinC,得sinB=bsinCc=714,因为b<c,所以B<C,所以cosB=1-sin2B=321所以cos(B-C)=5719.ABCD设内角A,B,C的对边分别是a,b,c.A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,故A成立.函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数,∵A>B,∴cosA<cosB,故B成立.在锐角三角形中,∵A+B>π2,∴A>π2-B,函数y=sinx在区间0,π2上是增函数,则有sinA>sinπ2-