7.3.1复数的三角表示（提升练）解析版

第七章复数7.3.1复数的三角表示式(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．复数表示成三角形式正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，，又，∴，∴．故选：．2．下列各角不是复数的辐角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，，∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.∴当时，；当时，；当时，；故选：C．3．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵，，，∴辐角主值为，∴，故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选：B．4．复数，则把这种形式叫做复数的三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若一个复数的模为2，辐角为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复数的模为2，辐角为，可得.所以.故选:D.5.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由欧拉公式，可得，表示的复数位于复平面中的第三象限．故选：C．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列复数不是三角形式的是（）A.；B.；C.；D.；【答案】ABC【解析】A中间是“-“号，不是三角形式.；B括号前面是负数，不是三角形式，C括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，；D是三角形式．故选：ABC7．下列各角是复数的辐角的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】∵，，，∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.∴当时，；当时，；当时，.故选：ABD8．已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（）A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．可能为实数 C． D．的实部为【答案】BCD【解析】，．，．则复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限；可能为实数；；，的实部为．故选：．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．复数，则_______.【答案】【解析】复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.10．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第___________象限【答案】二【解析】由，得，，，，复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故答案为：二．11．若复数,则=_____________;若，则的三角形式为_____________，【答案】【解析】若,则,设，则，∴，故答案为：四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．(1)把下列复数的代数形式化成三角形式.①；②.(2)把下列复数的三角形式化成代数形式.①；②.【答案】（1）①;②(2)①;②.【解析】（1）①∵，，，又，∴，∴；②∵，，，又，∴，∴．(2)①；②.13.求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．【答案】argz＝π＋eq\f(θ,2)【解析】z＝1＋cosθ＋isinθ＝2cos2eq\f(θ,2)＋2i·sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2coseq\f(θ,2)(coseq\f(θ,2)＋isineq\f(θ,2))①∵π<θ<2π∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴coseq\f(θ,2)<0.∴①式＝－2coseq\f(θ,2)(－coseq\f(θ,2)－isineq\f(θ,2))＝－2coseq\f(θ,2)[cos(π＋eq\f(θ,2))＋isin(π＋eq\f(θ,2))]∴r＝－2coseq\f(θ,2)，∵eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π∴eq\f(3,2)π<π＋eq\f(θ,2)<2π，∴argz＝π＋eq\f(θ,2).14．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若，求的值.【答案】(1)第二象限;(2)-1【解析】（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下：在复平面内对应的点的坐标为，由于，因此，，点在第二象限，故复数在复平面内对应的点位于第二象限；（2），为负实数（虚数无法比较大小），解得.A级必备知识基础练1.[探究点一]复数-12+3A.cos60°+isin60° B.-cos60°+isin60°C.cos120°+isin60° D.cos120°+isin120°2.[探究点一]已知z=cosπ3+isinπ3,则下列结论正确的是(A.z2的实部为1 B.z2=z-1C.z2=z D.|z2|=23.[探究点一]复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是(A.π4 B.3π4 C.54.[探究点二]复数cosπ3+isinπ3经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(A.3 B.12C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)5.[探究点二][2(cos60°+isin60°)]3=.

6.[探究点三]计算(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=.

7.[探究点一]已知复数z1=-3+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为.

8.[探究点二]已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6cosπ6+isinπ69.[探究点一、三]已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式B级关键能力提升练10.若复数cosπ4+isinπ4A.1 B.2 C.3 D.411.复数z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0的一个根,那么α的值为(A.32+12iC.-32−12i 12.计算:z=2÷12cosπ6+isinπ6=,则|z|=.

13.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b(2)试求复数eπ314.计算下列各式的值:(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).15.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(16.设z1=3+i,z2=1-i,z3=sinπ12+icosπ12,求zC级学科素养创新练17.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)÷(cosB+isinB)·(cosC+isinC)是一个实数,则△ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.形状不能确定18.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+k(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.参考答案1.D令z=-12+32i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-12,b=32,cosθ=ar=-12,sinθ2.Bz=cosπ3+isinπ3=12+32i.z2=12+32i2=14−34+32i=-12+32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+32i=z2,故B正确;z=12−3.D复数cosπ4-isinπ4=22−22所以复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是7π44.C由题意,得cosπ3+isinπ3n=cosnπ3+isinnπ3=cosπ3-isinπ3,由复数相等的定义,得cosnπ3=cosπ3=12,sinnπ3=-sin5.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.6.-12+32i(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=cos2π3+7.π3因为z1=-3+i,2iz=z1所以z=-3+i2i=(-3+i)(-所以复数z的辐角主值为π38.解z1z2=12×6×cosπ3+π6+isinπ3+π6=首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z9.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)10.B因为cosπ4+isinπ4cosπ4-isinπ411.D因为z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0所以α=-x5=-cosπ15+isinπ155=-cosπ3-isinπ3=-112.23-2i4z=2÷12cosπ6+isinπ6=2(cos0+isin0)÷12cosπ6+isinπ6=4cos-π6+isin-π6=23-2i,则|z|=|23-2i|=(23)13.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+(2)由题意可知eπ3i+12=1因此,eπ14.解(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cosπ+isinπ(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.15.证明左边=(=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ=cosθ-isinθ=右边.16.解∵z1=3+i=2cosπ6+isinπ6,z2=1-i=2cos7π4+isin7π∴z=4=42cosπ6+21π4−π12+=42cos5π+π3+isin5π+π3=-22-26i.17.C由题意知复数z的一个辐角是A-B+C=π-2B,由于z是实数,所以sin(π-2B)=0,