7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（提升练）解析版

复数7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.2．计算的结果是（）A．-9 B．9 C．-1 D．1【答案】B【解析】．故选：B3．复数是方程的一个根，那么的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得,.故选：B4．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是故选：A5.把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．， B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数，则不可能为()A． B．1 C． D．【答案】ABD【解析】由题意得，,所以，故选：ABD7．设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的()A．α＋β B．α＋β－2πC．2π－(α＋β) D．π＋α＋β【答案】ABC【解析】因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选:ABC.8．任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【解析】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．__________（用代数形式表示）．【答案】【解析】．故答案为:．10．如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是_____________（用代数形式表示）.【答案】【解析】.所求复数为.故答案为：.11．一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）【答案】【解析】．故答案为：．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．计算下列各式，并作出几何解释：（1）（2）（3）.【答案】（1），几何解释见解析（2），几何解释见解析（3），几何解释见解析【解析】（1）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的向量，则即为积所对应的向量.（2）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.（3）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，则即为所对应的向量.13．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.【解析】由复数乘法的几何意义得,又的辐角主值为14．已知复数，，复数，在复平面上所对应的点分别为P，Q，求证：是等腰直角三角形（其中O为原点）.【答案】证明见解析【解析】∵，，∴，∴.∴，∴的夹角为.∴.又，，∴，∴Q为等腰直角三角形.A级必备知识基础练1.[探究点一]复数-12+3A.cos60°+isin60° B.-cos60°+isin60°C.cos120°+isin60° D.cos120°+isin120°2.[探究点一]已知z=cosπ3+isinπ3,则下列结论正确的是(A.z2的实部为1 B.z2=z-1C.z2=z D.|z2|=23.[探究点一]复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是(A.π4 B.3π4 C.54.[探究点二]复数cosπ3+isinπ3经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(A.3 B.12C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)5.[探究点二][2(cos60°+isin60°)]3=.

6.[探究点三]计算(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=.

7.[探究点一]已知复数z1=-3+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为.

8.[探究点二]已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6cosπ6+isinπ69.[探究点一、三]已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式B级关键能力提升练10.若复数cosπ4+isinπ4A.1 B.2 C.3 D.411.复数z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0的一个根,那么α的值为(A.32+12iC.-32−12i 12.计算:z=2÷12cosπ6+isinπ6=,则|z|=.

13.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b(2)试求复数eπ314.计算下列各式的值:(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).15.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(16.设z1=3+i,z2=1-i,z3=sinπ12+icosπ12,求zC级学科素养创新练17.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)÷(cosB+isinB)·(cosC+isinC)是一个实数,则△ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.形状不能确定18.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+k(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.参考答案1.D令z=-12+32i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-12,b=32,cosθ=ar=-12,sinθ2.Bz=cosπ3+isinπ3=12+32i.z2=12+32i2=14−34+32i=-12+32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+32i=z2,故B正确;z=12−3.D复数cosπ4-isinπ4=22−22所以复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是7π44.C由题意,得cosπ3+isinπ3n=cosnπ3+isinnπ3=cosπ3-isinπ3,由复数相等的定义,得cosnπ3=cosπ3=12,sinnπ3=-sin5.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.6.-12+32i(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=cos2π3+7.π3因为z1=-3+i,2iz=z1所以z=-3+i2i=(-3+i)(-所以复数z的辐角主值为π38.解z1z2=12×6×cosπ3+π6+isinπ3+π6=首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z9.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)10.B因为cosπ4+isinπ4cosπ4-isinπ411.D因为z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0所以α=-x5=-cosπ15+isinπ155=-cosπ3-isinπ3=-112.23-2i4z=2÷12cosπ6+isinπ6=2(cos0+isin0)÷12cosπ6+isinπ6=4cos-π6+isin-π6=23-2i,则|z|=|23-2i|=(23)13.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+(2)由题意可知eπ3i+12=1因此,eπ14.解(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cosπ+isinπ(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.15.证明左边=(=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ=cosθ-isinθ=右边.16.解∵z1=3+i=2cosπ6+isinπ6,z2=1-i=2cos7π4+isin7π∴z=4=42cosπ6+21π4−π12+=42cos5π+π3+isin5π+π3=-22-26i.17.C由题意知复数z的一个辐角是A-B+C=π-2B,由于z是实数,所以sin(π-2B)=0,即sin2B=0,