8.4.1平面（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.4.1平面(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.用符号表示“点在直线上，在平面内”，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由定义：点A在直线l上，表示为，在平面内，表示为.故选：D2．如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（）直线B．直线C．直线D．以上均不正确【答案】C【解析】，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，.故选：C3．已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有()A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条【答案】D【解析】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选:D.4．如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.不共面 B.三点共线C.不共面 D.共面【答案】B【解析】如图所示：连接，因为平面，平面，所以是平面与平面的交线；又因为直线交平面于点，所以，所以三点共线，则B正确；因为平面，所以共面，故A错误，同理可知C错误；显然不是中点，所以不共面，故D错误，故选：B.5.在正方体中，和的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】B【解析】如图，延长相交于点，连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，连接，与相交于点，连接，则五边形即为截面.故选：B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在空间中，下列命题正确的是（）A．圆上三点可确定一个平面 B．四条平行线不能确定五个平面C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．空间四点中，若四点不共面，则任意三点不共线【答案】ABD【解析】对于选项A，因为圆上三点必不共线，所以可确定一个平面，故A正确；对于选项B，四条平行线最多可确定四个平面，故B正确；对于选项C，圆心和圆上两点不共线时可确定一个平面，若圆上两点连线经过圆心，则此三点可确定无数个平面，故C错误；对于选项D，它的逆否命题为“空间四点中，若任意三点共线，则四点共面”为真命题，所以原命题为真命题，D正确.故选：ABD7．下列命题中正确的有（）A．空间内三点确定一个平面B．棱柱的侧面一定是平行四边形C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内【答案】BC【解析】对于A选项，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；对于C选项，可用反证法证明，故C正确；对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误.故选：BC8．下列叙述中，正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则重合D．若，则【答案】AD【解析】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；故A正确；对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.故B错误；对于选项C：若，当三点共线时，则不一定重合.故C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故D正确.故选：AD.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的___________条件【答案】充分非必要条件【解析】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时,在同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立.故答案为：充分非必要条件10．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.【答案】【解析】∵a∩b＝M，所以，因为，所以，因为，所以.故答案为：11．空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面,空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.【答案】45【解析】可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定5个平面.故答案为：45.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面相交于一点P,且平面与平面相交于,平面与平面相交于,平面与平面相交于;(2)平面与平面相交于,平面与平面相交于.【解析】(1)符号语言表示:,,,,图形表示如图①所示.(2)符号语言表示:平面平面,平面平面,图形表示如图②所示.13．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．14．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.求证：（1）四点共面；（2）三线共点.【解析】（1）连接.∵分别是和的中点，∴.又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴与确定一个平面，∴四点共面．（2）由（1）知，，且，∴直线与必相交，设.∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面与平面的公共点，又平面平面，∴，∴三线共点．A级必备知识基础练1.[探究点一·山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是()A.三个点B.圆心和圆上两点C.梯形的两条边D.一个点和一条直线2.[探究点二]空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线3.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B4.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合5.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=()A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对6.[探究点一](多选题)下列说法错误的是()A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共面7.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定个平面.

8.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.9.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则()A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有()A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条12.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α:;

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:;

(3)a⊄α,a∩α=A:;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:.

14.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)

15.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且BGGC=DHHC=2.求证:直线EG,FH16.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线.C级学科素养创新练17.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.(1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.参考答案1.C根据题意,依次分析选项:对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确;对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C.2.B如图1和图2所示,A,C,D均不正确,只有B正确.图1图23.A由基本事实2或画图可知:l⊂α.4.C两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.5.C根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.6.BC由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.7.3当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.8.证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.9.证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.10.A由题意得EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上.11.D当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.12.ABC因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.13.(1)③(2)④(3)①(4)②根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,(1)A∉α,a⊂α:对应③;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.14.必要不充分空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可能两两平行,所以充分性不成立