8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知圆锥的高，体积，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图设圆锥底面半径为，母线长为，所以圆锥的体积为，所以，又，所以该圆锥的侧面积为.故选：B2．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，故球的表面积为，而正方体的表面积为，故正方体与这个球的表面积之比为．故选：C．3．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（）A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V2【答案】A【解析】如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为，由,所以,故选：B4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）A．18 B．6 C．3 D．2【答案】C【解析】因为“牟合方盖”的体积为18，所以该正方体的内切球的体积为，设正方体的棱长为，则该正方体的内切球半径为，所以，解得.故选：C.5.把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体棱长为，所以正方体底面正方形的内切圆半径为，面积为，以此内切圆为底、高为的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为.故选：C二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，所以球的体积：.故选：AB7．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的值可能是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，因此，内接圆柱的高；圆柱的侧面积为，令，当时，；所以当时，，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.故选：ABD.8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为()A. B.C. D.【答案】AC【解析】设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,所以πRh=-πR2,所以V=πR3+πR2h=πR3+（-）R=-R3+R≤πR3,解得R≥.又h>0,所以-πR2>0,解得R<.所以≤R<.故选：AC.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】【解析】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为，故答案为：10．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于________厘米（精确到厘米）．【答案】【解析】使用卷纸的过程中，卷纸的高不变，用之前卷纸的底面积，设用后纸的半径为厘米，当小明用掉的纸后卷纸的底面积，解得厘米，所以剩下的这卷纸的直径为厘米，最接近于厘米.故答案为：11．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______________,此时=___________.【答案】1【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为，圆柱的底面半径为，则由，可得，所以圆柱的侧面积，所以时，该圆柱的侧面职取最大值.故答案为：1．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,则易知，即13．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积【答案】【解析】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：

则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.14．如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？【答案】（1）；（2）25cm；（3）2cm.【解析】（1）作出圆锥的轴截面和沿剪开的侧面展开图，如下图由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，AB的长为10cm，可得：cm，所以，圆锥的高为：＝，小圆锥的高为．因此圆台的体积为：，侧面积为：．（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，所以，侧面展开图的圆心角为，在直角三角形中，可得，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是到直线的距离减OB长：．A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一、二]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶22.[探究点三]若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.42 B.8 C.82 D.833.[探究点一、二]若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为2π3,则此圆锥的侧面积为(A.5π B.3π C.2π D.25π4.[探究点二]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛5.[探究点一、二]已知一个圆锥的体积为3π,其侧面积是底面积的2倍,则其底面半径为()A.23 B.3 C.3 D.36.[探究点一]已知圆柱的底面半径为1,若圆柱的侧面展开图的面积为8π,则圆柱的高为.

7.[探究点四]如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.

8.[探究点三]某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.9.[探究点一、二]如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.B级关键能力提升练10.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是()A.10π B.12π C.15π D.20π11.已知圆锥的顶点为点S,高是底面半径的2倍,点A,B是底面圆周上的两点,当△SAB是等边三角形时面积为33,则圆锥的侧面积为()A.3π B.23π C.33π D.43π12.(多选题)已知圆锥底面半径为3,高为4,则下列说法正确的是()A.圆锥的体积是36πB.圆锥的侧面积是15πC.圆锥的内切球体积是27D.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为613.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的()A.母线长是20 B.表面积是1100πC.高是102 D.体积是714.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)()A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸15.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为22的“标准圆锥”的体积为.

16.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面面积相等,则这个正方体和圆柱的体积的比值为.

17.把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为,表面积等于.

18.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为32的正方形,且各侧棱长均为23.求该四棱锥外接球的表面积.C级学科素养创新练19.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.20.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.参考答案1.CD依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2,∴B错误;球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43π∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∴D正确.2.B设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴3x=2R=2,∴x=23,∴S正=6x2=6×2323.A如图所示,设圆锥的底面半径为r,则高为h=2r,所以圆锥的体积为V圆锥=13π·r2·2r=2π3,∴r=1,h=2,l=ℎ2+r2=4+1=5,则此圆锥的侧面积为S侧面积4.B设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16∴体积V=14×13·πR2h=112×∵π≈3,∴V≈3209(立方尺)∴堆放的米约为3209×1.62≈22(5.C设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,如图所示:则圆锥的体积V=13πr2h=3π,所以r2h=9,因为S侧=12·2πrl=2πr2,所以l=2又h=l2-r2=3r,所以3r3=9,故6.4设圆柱的高为h,又圆柱的底面半径为1,有2π×1×h=8π,得h=4.7.259π作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=π3(32+3×4+42)×7=2598.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=9.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h=42-22=23.又h'=3,∴h'=12h,∴r2=ℎ-ℎ'ℎ=12,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=3π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=10.A圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).由已知可得上底半径O1A=2,下底半径OB=3.又腰长为2,∴高AM=22∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x,则由△SAO1∽△SBO可得23=x-∴截得此圆台的圆锥的母线长为6,可得大圆锥的底面周长为2×3π=6π,小圆锥的底面周长为2×2π=4π,这个圆台的侧面积=大圆锥的侧面积-小圆锥的侧面积=12×6π×6-12×4π×(6-2)=10π.故选11.D设圆锥的高为h,母线为l,底面半径为r,则由题意得h=2r,12l2sin60°=33所以l=23,又l2=h2+r2,则r=2,所以圆锥的侧面积为S=πrl=43π.故选D.12.BD由题意圆锥体积为V=13π×32×4=12π,选项A错误圆锥母线长为l=32+42=5,侧面积为S=π×3×5=15π,设圆锥内切球半径为r,则12r(5+5+6)=12×6×4,解得r=32,圆锥内切球的体积V=43πr3=4π3×323=9圆锥侧面展开图扇形的圆心角为θ=2π×35=6π5,13.ABD如图所示,设圆台两条母线的交点是S,其中一条母线是AB,圆台的上底面圆的周长为C,因为扇环的圆心角为180°,所以C=π·SA,又C=10×2π,所以SA=20,同理SB=40,故圆台的母线AB=SB-SA=20,圆台的高h=AB2-(20-10)2=103,体积V=13π×103×(102+10×20+202)=70003π3,表面积S=π(10+20)×20+14.A作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE=14+62=10(寸)即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为13π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸∴平均降雨量是588π196π=3(寸),即平均降雨量是15.8π3设圆锥底面半径为r,则r2+r2=所以圆锥的体积V=13×πr2×2=816.π4由于正方体和圆柱等高,故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a,圆柱的底面半径为r,则正方体的侧面面积为4a2,圆柱的侧面面积为2πra.又4a2=2πra,所以r=2aπ,所以正方体的体积为V正方体=a3,圆柱的体积为V圆柱=πr2a=4a3π,17.20cm224πcm2设圆锥的母线长为l,底面半径为r.以S为圆心,l为半径的圆的面积为πl2.圆锥的侧面积为πrl=8