7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（教案）

第七章复数7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义一、教学目标1.会进行复数三角形式的乘除运算； 2.了解复数乘、除运算的三角表示的几何意义;3.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养.二、教学重难点1.复数三角形式的乘除运算;2.复数三角形式的乘除运算的几何意义的理解．课前准备：阅读课本思考并完成以下问题1.复数三角形式的乘、除运算如何进行？2.复数三角形式的乘、除运算的三角表示的几何意义是什么？三、教学过程：1、创设情境：问题1：类比复数的乘法运算，试推导复数三角形式的乘法运算.生答:复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.所以设的三角形式分别是：简记为：模数相乘，幅角相加问题2：类比复数的乘法运算的几何意义，试推导复数三角形式的乘法运算的几何意义.生答:建立直角坐标系,以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角,r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角,引入向量,把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．建构数学 复数三角形式的乘法运算:设的三角形式分别是：简记为：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．问题3：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，试推导复数三角形式的除法及其几何意义.复数三角形式的除法设的三角形式分别是：简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．数学应用例1.已知i为虚数单位，，，求,请把结果化为代数形式,并作出几何解释.解:，.首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，绕点O按逆时针方向旋转这样得到一个长度为4，辐角为的向量,即为积所对应的向量.变式训练1.计算下列各式，并作出几何解释：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）解:（1）原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的向量，则即为积所对应的向量.(2)原式.几何解释：设，作与对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的向量，则即为积所对应的向量.例2计算下列各式：(1);(2).解:(1)，(2)变式训练1.计算下列各式（1）；（2）.【答案】（1）；（2）变式训练2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.【答案】【解析】由题意得.例3.把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.解:由复数乘法的几何意义得,又的辐角主值为小结：1.复数三角形式的乘法运算及其几何意义:简记为：模数相乘，幅角相加2.复数三角形式的除法及其几何意义简记为：模数相除，幅角相减A级必备知识基础练1.[探究点一]复数-12+3A.cos60°+isin60° B.-cos60°+isin60°C.cos120°+isin60° D.cos120°+isin120°2.[探究点一]已知z=cosπ3+isinπ3,则下列结论正确的是(A.z2的实部为1 B.z2=z-1C.z2=z D.|z2|=23.[探究点一]复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是(A.π4 B.3π4 C.54.[探究点二]复数cosπ3+isinπ3经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(A.3 B.12C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)5.[探究点二][2(cos60°+isin60°)]3=.

6.[探究点三]计算(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=.

7.[探究点一]已知复数z1=-3+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为.

8.[探究点二]已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6cosπ6+isinπ69.[探究点一、三]已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式B级关键能力提升练10.若复数cosπ4+isinπ4A.1 B.2 C.3 D.411.复数z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0的一个根,那么α的值为(A.32+12iC.-32−12i 12.计算:z=2÷12cosπ6+isinπ6=,则|z|=.

13.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b(2)试求复数eπ314.计算下列各式的值:(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).15.求证:(cos3θ+isin3θ)3·(16.设z1=3+i,z2=1-i,z3=sinπ12+icosπ12,求zC级学科素养创新练17.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)÷(cosB+isinB)·(cosC+isinC)是一个实数,则△ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.形状不能确定18.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=3π4,(1+ω)2+(1+i)2=1+k(1)求ω;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+2,求θ的值.参考答案1.D令z=-12+32i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-12,b=32,cosθ=ar=-12,sinθ2.Bz=cosπ3+isinπ3=12+32i.z2=12+32i2=14−34+32i=-12+32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+32i=z2,故B正确;z=12−3.D复数cosπ4-isinπ4=22−22所以复数cosπ4-isinπ4的辐角主值是7π44.C由题意,得cosπ3+isinπ3n=cosnπ3+isinnπ3=cosπ3-isinπ3,由复数相等的定义,得cosnπ3=cosπ3=12,sinnπ3=-sin5.-8原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.6.-12+32i(cosπ+isinπ)÷cosπ3+isinπ3=cos2π3+7.π3因为z1=-3+i,2iz=z1所以z=-3+i2i=(-3+i)(-所以复数z的辐角主值为π38.解z1z2=12×6×cosπ3+π6+isinπ3+π6=首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z9.解1z=(cos0°+isin0°)r(cosθ+isinθ)=1r[cos(0°-θ)10.B因为cosπ4+isinπ4cosπ4-isinπ411.D因为z=cosπ15+isinπ15是方程x5+α=0所以α=-x5=-cosπ15+isinπ155=-cosπ3-isinπ3=-112.23-2i4z=2÷12cosπ6+isinπ6=2(cos0+isin0)÷12cosπ6+isinπ6=4cos-π6+isin-π6=23-2i,则|z|=|23-2i|=(23)13.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+(2)由题意可知eπ3i+12=1因此,eπ14.解(1)-12+32i·2cosπ3+isinπ3=cos2π3+isin2π3·2cosπ3+isinπ3=2(cosπ+isinπ(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°)=30(cos270°+isin270°)=-30i.15.证明左边=(=(cos23θ+isin23θ)(cos24θ+isin24θ=cosθ-isinθ=右边.16.解∵z1=3+i=2cosπ6+isinπ6,z2=1-i=2cos7π4+isin7π∴z=4=42cosπ6+21π4−π12+=42cos5π+π3+isin5π+π3=-22-26i.17.C由题意知复数z的一个辐角是A-B+C=π-2B,由于z是实数,所以sin(π-2B)=0,即sin2B=0,因为0<B<π,所以0<2B<2π,所以2B=π