7.1.1 数系的扩充和复数的概念（教案）

第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.了解数系的扩展过程以及虚数单位i的引入；2.理解复数的基本概念、表示法及相关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)；3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件；4.通过对数系的扩充和复数的概念的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.对虚数单位i的规定以及复数的有关概念；2.虚数单位i的引入以及复数概念的理解。三、教学过程：1、创设情境：（阅读）数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，数集是否完整？问题1.对于实系数一元二次方程，在实数集中我们无法解决．通过以上阅读我大胆地想象一下，能否再次将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个问题能得到圆满解决？2、建构数学 1.复数的相关概念：(1)．虚数单位（两个规定）引入新数，并规定：①；②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．叫做虚数单位。(2).复数的定义：形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.(3).复数的表示（代数）形式：复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a、bR）其中a叫复数z的实部，b叫复数z的虚部.练习1.将下列式子化为a+bi（a、bR）的形式，并分别指出它们的实部和虚部(1)2-i；(2)2i+3;(3)-2i；(4)0.生答:(1)2-i=2+(-1)i，实部2，虚部-1；(2)2i+3=3+2i,实部3，虚部2；(3)-2i=0+（-2）i，实部0，虚部-2；（4）0=0+0i，实部0，虚部0。问题2.复数z=a+bi（a、bR）满足什么条件是实数？生答:当b=0时，则复数为实数。(4).复数的分类：z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))练习2.写出复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，那些是纯虚数。生答:的实部是2,虚部是-3,它是虚数;4的实部是4,虚部是0,它是实数;的实部是,虚部是,它是虚数;的实部是0,虚部是6,它是纯虚数;练习3.设，“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选:B两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a=c,b＝d注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。数学应用例1.已知复数.（1）取什么值时，为实数；（2）取什么值时，为纯虚数.解:（1）复数，若为实数，则，即（2）若为纯虚数，则，解得变式训练1.在复平面内，复数（其中）.（1）若复数为实数，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值；解:（1）因为复数为实数，所以，所以或4；（2）因为复数为纯虚数，所以，所以变式训练2.已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解:（1）当z为实数时，有a2－5a－6＝0，①且有意义，②解①得a＝－1或a＝6，解②得a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数.（2）当z为虚数时，有a2－5a－6≠0，③且有意义，④解③得a≠－1且a≠6，解④得a≠±1，∴a≠±1且a≠6，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1,1）∪（1,6）∪（6，＋∞）时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，无解，∴不存在实数a使z为纯虚数.例2.根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.解:(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))变式训练1.设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝______.解:因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.小结：（1）复数的相关概念：（2）两个复数相等的定义：A级必备知识基础练1.[探究点一]若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是()A.-2i B.6iC.1 D.62.[探究点一]若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()A.-1 B.2C.1 D.-1或23.[探究点一]若sin2θ-1+i(2cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为()A.2kπ-π4(k∈Z)B.2kπ+π4(k∈ZC.2kπ±π4(k∈Z)D.kπ2+π44.[探究点一]若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选题)[探究点二]对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是()A.若b≠0,则a+bi为虚数B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1C.若a+bi为实数,则b=0D.i的平方等于16.[探究点三]若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为.

7.[探究点一]已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为.

8.[探究点二]当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+m2B级关键能力提升练9.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是()A.若x是实数,则x可能不是复数B.若z是虚数,则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.-1没有平方根10.以3i-2的虚部为实部,以3i2+2i的实部为虚部的复数是()A.3-3i B.3+iC.-2+2i D.11.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若z12+z22=0,则D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数12.(多选题)已知复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为()A.π3 B.C.π D.513.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=,n=.

14.下列说法:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.其中说法正确的序号是.

15.已知复数z=3x-1-x+(x2-4x+3)i>0,求实数16.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i,λ,m∈R,θ∈0,π2,若z1=z2,求λ的取值范围.C级学科素养创新练17.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i

参考答案1.Dz=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6.故选D.2.D因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.3.B由题意,得sin2θ-1=0,2cosθ+1≠0,解得θ=kπ+π4,θ≠24.B根据复数的概念,当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数.反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.5.ABC对于选项A,当b≠0时,a+bi为虚数,故选项A正确;对于选项B,若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b-1=-对于选项C,若a+bi为实数,则b=0,故选项C正确;对于选项D,i的平方为-1,故选项D错误.故选ABC.6.-12,-74依题意得27.{0}由z1>z2,得2a2+3a=0,a28.解(1)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是实数(2)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是虚数,则m2+(3)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是纯虚数,则m9.ACD因为实数是复数,故A错;B正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故C错;因为i2=-1,故D错.10.A3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3,故选A.11.BD取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1=z2=0当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.12.BC∵复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,∴3cosα+cos2α=-2,即2cos2α+3cosα+1=0,解得cosα=-12或cosα=-1∵0<α<2π,∴α=2π3或4π313.2±2由复数相等的充要条件有n2-14.③当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)