华师大版七年级数学上册期末复习知识点及复习题含答案

华师大版七年级数学（上）期末复习提纲

一一知识点总结与单章练习题

第一章略

第二章有理数

1.负数：像・5广2,・237,-3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数；正数:

过去学过的那些数（零除外），如10,3,500,5.5等，叫做正数.注意：0既

不是正数,也不是负数.

2.正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数.整数和分

数统称有理数.

正整数正整数

，正有理数V

整数4零正分数

有理数负整数有理数《零

正分数（负整数

分数、'负有理数＜［负分数

负分数

3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

4.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零,

负数都小于零，正数大于负数.

5.相反数：只有正负号不同的两个数称互为相反数；在数轴上表示互为

相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等；规定:

0的相反数是0；我们通常把在一个数前面添上号，表示这个数的

相反数;在一个数前面添上号，表示这个数本身.

6.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作

|a|；

一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它

的相反数；

任意有理数a,总有|a|>0.

7.两个负数，绝对值大的反而小.

8.有理数的加法法则：

1)同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加；2)绝对

值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的正负号，并用较大的绝

对值减去较小的绝对值；3)互为相反数的两个数相加得0;4)一个

数同0相加，仍得这个数.

注意

一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时,

应注意确定和的正负号与绝对值.

9,加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.从a.

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相

加，和不变.

(a+b)+c=a+(b+c).

10.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.

H.有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，

都得0.

12.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.ab=ba.

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个

数相乘，积不变.

分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相

乘，再把积相加.

a(5+G=ab+ac

几个不等于。的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负

因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个数相

乘，有一个因数为o,积就为0.

13.倒数：乘积是1的两个数互为倒数；除以一个数等于乘上这个数的倒

数.

注意：0不能作除数.

有理数的除法法则：新I课I标I第|一|网

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个

不等于0的数，都得0.

14.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做蹇.在"中,

以叫作底数，A叫做指数，次读作4的〃次方，次看作是女的A次

方的结果时，也可读作以的刀次塞.

正数的任何次幕都是正数；

负数的奇次骞是负数，负数的偶次嘉是正数.

15.科学记数法：把一个大于10的数记成ax10〃的形式，其中a是整数

数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法.

16.有理数混合运算的运算顺序规定如下：

1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；

2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；

3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括

号里的.

17.一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位,这

时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都

叫做这个数的有效数字.

18.小结

一、知识结构

绝对值

相

反

意

义有理数有理数的运算

n的

负数

乘乘

除

法方

二、概括

1.数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，学习本章要善于结合数轴

理解有理数的有关概念（如相反、绝对值），会利用数轴比较两个有理数

的大小.

2.在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要

善于灵活运用运算律简化运算.

3.在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和

保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便，又容易体现对有效数

字的要求.

第三章整式的加减

1.代数式：数和字母用运算符号连结所成的式子，称为代数式.

注意：1）代数式中出现的乘号，通常写作“・”或省略不写，如6Xb

常写作6-b或6比2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b

一般不写作不；3）除法运算写成分数形式；4）数与字母相乘，带分数

要化假分数；5）括号与括号相乘可省略括号.

2.列代数式：把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代

数式.

3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算

得出的结果，叫做代数式的值.

4.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式；单独一个数或

一个字母也是单项式.

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

注意：1）当一个单项式的系数是1或一1时，“1”通常省略不写；

2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.

5.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，项：每个单项式

叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项.一个多项式含

有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项

式的次数.

注意：D多项式的次数不是所有项的次数之和；

2）多项式的每一项都包括它前面的正负号.

6.单项式与多项式统称整式.

7.降塞排列：按某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式

按该字母的降幕排列.

升暮排列：按某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式

按该字母的升暮排列.

注意：1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升舞排

列或降幕排列.

8.同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项.所

有的常数项都是同类项.

9.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字

母和字母的指数保持不变.

10.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉,

括号里各项都不改变正负号；括号前面是“一”号，把括号和它前面

的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号.

11.添括号法则：所添括号前面是号，括到括号里的各项都不改变

正负号；所添括号前面是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号.

12.整式加减的一般步骤是：先去括号，再合并同类项.

一、知识结构

1.整式中，只含一项的是单项式，否则是多项式.分母中含有字母的代

数式不是整式，当然也不是单项式或多项式.

2.单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高

次项的次数.

3.单项式的系数包括它前面的符号，多项式中每一项的系数也包括它前

面的符号.

4.去（添）括号时，要特别注意括号前面是“一”号的情形：去括号时,

括号里各项都改变符号；添括号时，括到括号里的各项都改变符号.

第四章图形的初步认识

1.1）柱体：圆柱，棱柱（三棱柱，四棱柱，…）；2）锥体：圆锥，棱锥

（三棱锥，四棱锥，…）；3）球体.

多面体：围成立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多

面体.

2.视图：从三个不同的方向看一个物体，一般是从正面、上面和侧面，

然后描绘三张所看到的图，即视图.

从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视

图；从侧面看到的图形，称为侧视图（左视图，右视图）.

3.表面展开图：多面体是由平面图形围成的立体图形，沿着多面体的棱

将它剪开，可以把多面体的表面变成一个平面图形.

4.圆是由曲线围成的封闭图形.多边形是由线段围成的封闭图形.

一个A边形至少可以分割成m2个三角形.

5.射线：线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；

直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形就是直线.

表示方法：点：用一个大写字母表示；

线段：用两个端点的大写字母表示；或用一个小写字母表

示；

射线：用端点和射线上任意一点的两个大写字母表示；或

用一个小写字母表示；

直线：用直线上任意两点的大写字母表示；或用一个小写

字母表示.

公理1：两点之间，直段最短.此时线段的长度，就是这两点间的距离.

公理2:经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

6.线段的中点：把一条险段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中

点.

7.角：由两条有公共端点的射线组成的图形.可以看成是由一条射线绕

着它的端点旋转而成的图形.

角的顶点：射线的端点；角的始边：起始位置的射线；角的终边：终

止位置的射线.

表示方法：（D用两边和顶点的三个大写字母表示（顶点字母在

中间）；（2）用顶点的大写字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用

小写的希腊字母表示,

8.平角：绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线所成的角；

周角：绕着端点旋转到终边和始边重合所成的角.

9.1周角=360°;1平角=180°;1°=60';r=60”.

10,角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相

等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

11.互余：两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角，简称互余.

互补：两个角的和等于一平角（180°）,就说这两个角互为补角，简

称互补.

同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等

2

两直线相交形成了Nl、N2、N3和N4（如

图1）,我们把其中的N1和N3叫做对顶角，N2和N4也是对顶角,对

顶角相等.

12.互相垂直：直线SB与直线8相交，交点为O,当所构成的四个角

中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线权CD

互相垂直，记作UABLCIT,他们的交点。叫做垂足.

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知

直线垂直.

若线段4日垂直于直线BC,垂足为B.线段AB叫做点A到直

线BC的垂线段，它的长度就是点A到直线BC的距离.直线外一点

与直线上各点连结而得到的所有线段中，垂线段最短.

13.同位角，内错角，同旁内角（见教材P164-165）.

14.平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.

在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或平行.

经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

15.平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相

等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行.

垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

16.平行线的性质：（D两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行,

内错角相等;

(3)两直线平行，同旁内角互补.

知识框图

第五章数据的收集与表示

1.频数：表示每个对象出现的次数，频率：表示每个对象出现的次数与

总次数的比值(或者百分比).

2.条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计

图，它们可以直观地反映出数据的数量特征。如果有两个研究对象，

常常把两个对象的响应数据并列表示在同一张条形统计图中.

扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积

与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。扇形

统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.

折线统计图是用折线表示数量变化规律的统计图。如果关注的是

某种现象随时间变化而发生的变化，常常以时间为水平放置的数轴，以

折线的起伏直观地反映出数量随时间所发生的相应变化.

3.总结

一、知识结构

利用数据解决简单实际问题的过程如下:

初一数学科总复习

第一章有理数

一、知识要点

本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有

理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这

些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注

意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似

计算。

基础知识：

1、正数(positionnumber)：大于。的数叫做正数。

2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号的数叫做

负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数(rationalnumber)正整数、负整数、0、正分数、负

分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、数轴(numberaxis):通常，用一条直线上的点表示数，这条直

线叫做数轴。

数轴满足以下要求：

(1)在直线上任取一个点表示数。，这个点叫做原点(origin);

(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或

下)为负方向；

(3)选取适当的长度为单位长度。

6、相反数(oppositenumber):绝对值相等，只有负号不同的两个

数叫做互为相反数。

7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点

的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。

由绝对值的定义可得：Ia-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝

对值是0.

正数大于0,。大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而

小。

8、有理数加法法则

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用

较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

(3)一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不

变。表达式：a+b=b+a0

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者

先把后两个数相加，和不变。

表达式:(a+b)+c=a+(b+c)

9、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+(-b)

10、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置,

积相等。表达式：ab=ba

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相

乘，积相等。表达式：等b)c=a(be)

乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同

这两个数相乘，再把积相加。

表达式：a(b+c)=ab+ac

11、倒数

1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒

数，那么这两个数的积等于1。

12、有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值

相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.

13、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的

结果叫做幕(power)oa11中,a叫做底数(basenumber),n叫做

指数(exponent)o

根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次嘉是负数，负数的偶次

辕是正数。正数的任何次零都是正数,0的任何正整数次辕都是。。新课

标第一网

14、有理数的混合运算顺序

(1)“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次

进行。

15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a*1CF的形式(其中a

是整数数位只有一位的数(E|J0<a<10),n是正整数)。

16>近似数(approximatenumber)：

17、有理数可以写成m/n(m、n是整数，n#=0)的形式。另一方面,

形如m/n(m、n是整数，n#0)的数都是有理数。所以有理数可以

用m/n(m、n是整数，n#0)表示。

拓展知识：

1、数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

(1)所有有理数组成的数集叫做有理数集；

(2)所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合

的数学思想。

3、根据绝对值的几何意义知道：|a|>0,即对任何有理数a,

它的绝对值是非负数。

4、比较两个有理数大小的方法有：

(1)根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

(2)根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数

与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

(3)做差法：a-b>0<=>a>b;

(4)做商法：a/b>l,b>0<=^a>b.

二、基础训练

选择题

1、下列运算中正确的是().

A.a2-a3=a6B.VT=2C.|(3-兀)|=-n-3

D.32=-9

2、下列各判断句中错误的是（

A.数轴上原点的位置可以任意选定

B.数轴上与原点的距离等于3个单位的点有两个

C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示

D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表

示有理数的点。

3、6是有理数，若《＞占且I"付可，下列说法正确的是（）

A.1一定是正数B.。一定是负数

C.3一定是正数D.A一定是负数

4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（）

A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数

D.0和一个负数

5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是。

A.OB.-lC.+lD.不能

6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（

C.±1D.±1和

7、如果|a|=-a,下列成立的是（

C.a>0或a=0

或a=0

8、（-2）（-2）的值是（）

A.-2B.（-2）21C.OD.-210

9、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，

若不交钱，最多可以喝矿泉水（）

A.3瓶B.4瓶.C.5瓶

D.6瓶

10、在下列说法中，正确的个数是（）

⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数

⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数

⑷每个有理数都有相反数

A、1B、2C、3D、4

11、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（）

A、正数B、负数

C、整数D、不等于零的有理数

12、下列说法正确的是（）

A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；

B、儿个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；

C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；

D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；

13、如果零上3C记作+3℃,那么写下3℃记作（）

A、—3B、-6C、-3°CD、-6C

14、若a与2互为相反数，则Ia+2］等于()

A、0B、-2C、2D、4

填空题

310

1、在有理数-7,4,-(-1.43),,0,--1.7321中，是整数

的有是负分数的有o

2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的一

边，与原点的距离是一个单位长度；表示数-a的点在原点的一边,

与原点的距离是一个单位K度。

3、如果一个数是6位整数，用科学记数法表示它时，10的指数是____;

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是___________.

4、实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a-b|+|b-c|-|c-

a|.

5、绝对值大于1而小于4的整数有

_______________________________________,其和为.

6、若a、b互为相反数,c、d互为倒数，则(a+b)3一3(cd)4=.

7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.

8、若(a-1)2+|b+2|=0,那么a+b=.

9、平方等于它本身的有理数是__________，立方等于它本身的有理

数是

1。、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是，用科学记数法

表示302400,应记为，近似数3.OX10'精确到位。

11、正数-a的绝对值为;负数-b的绝对值为

12、甲乙两数的和为-23.4,乙数为-8.1,甲比乙大

13、在数轴上表示两个数，的数总比的大。（用“左边”“右边”填空）

14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么，数轴左边

18厘米处的点表示的有理数是____________o

15、温度由-5℃下降3℃后，结果可记为.

16、-1/3的相反数是_______,绝对值是_______，倒数是________.

三、强化训练

1、计算：1+2+3+…+2002+2003=.

222

2+-=2X-J+-=3X-,4+A=4X-1_

2、已知：33881515若（a,b均为整数）

则a+b=

3、观察下列等式，你会发现什么规律：以3+1=212x4+1=32,

2

3X5+1=4,000请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等

式表示出来

4、已知，则

5、已知"是整数，3/43+5是一个偶数，则a是（奇，偶）

6已知1+2+3+…+31+32+33==17x33,求

1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32・96+33・99的值。

7、在数1,2,3,…，50前添“+”或“一”，并求它们的和，所得结果

的最小非负数是多少？请列出算式解答。

8、如果规定符号"”的意义是a*b=ab/(a+b),求2*(-3)*4的值。

9、已知|x+l|=4,(y+2)2=4,求x+y的值。

10、投资股票是一种很重要的投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民

的心。

例：某股民在上星期五买进某种股票500股，每股60元，下表是本周每日

该股票的涨跌情况(单位：元)：

星期—•四五

每股涨跌+4+4.5-1-2.5-6

(1)(1)星期三收盘时，每股是多少元？

(2)(2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？

(3)已知买进股票是付了1.5%。的手续费，卖出时需付成交额1.5%。

的手续费和1%。的交易费，如果在星期五收盘前将全部股票一次

性地卖出，他的收益情况如何？X|k|B|1.c|O|m

(4)以买进的股价为。点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。

第二章整式的加减总复习

【知识点定义】1、单项式

对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项

式.单独一个数或一个字母也是单项式.2、系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系

例：单项式应-a々和子的系数分别是1,-1和卜

数・OO3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次

数.例：单项式一匕2xy2和0.7a2b3c的次数分别是1、百口6.%多项式

几个单项式的和叫做多项式.5、多项式的项

在多项式中，每个单项式叫做多项式的

例：多项式51-gxy-6中，5x2、-gxy、-6是它的项，

项.22-6是常数

项.6、常数项

多项式中，不含字母的项叫做常数项.7、多项式的次数

多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次

数.例：才-b，是三次二项式；x?-x+1是二次三项式.8、降暮排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把

多项式按这个字母降骞排列.9、升森排列

把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把

多项式按这个字母升密排

列,例：把多项式5/+北2-3/^-4按字母a作升嘉排列是：

-4+ab?-3a2b之+5a?10、整式

单项式和多项式统称整式。11、同类项

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项.常数项

都是同类项.12、合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项的法则

是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.13、

去括号法则

括号前是号，把括号和它前面的号去掉，括号里各项都不

变符号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各

项都改变符号.例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d14.添括号法则

添括号后，括号前面是号，括到括号里的各项都不变符号；添

括号后，括号前面是“一”号，括到括号里的各项都改变符号.例：

m+2x-y+z-5=m+(2x-y)—(-z+5)15>整式的加减

整式加减的一般步骤：L如果遇到括号，按去括号法则先去括号；

2.合并同类项.16、代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表

达式去代换，叫做恒等变形.

第三章《一元一次方程》综合复习指导

【知识点归纳】

一、方程的有关概念

1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次)，

这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700-50x=1800,2(x+1.5x)

=5等都是一元一次方程.

3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果,

它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方

程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程

的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

二、等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

用式子形式表示为：如果a=b,那么a土c=b土c

⑵等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为。的数，结果仍相等，用

式子形式表示为：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(crO),那么

c(a)=c(b)

三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

四、去括号法则

1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号

相同.

2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号

改变.

五、解方程的一般步骤

1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2、去括号（按去括号法则和分配律）

3、移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边,

移项耍变号）

4、合并（把方程化成ax=b包片0）形式）

5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a,得至U方程的解x=a（b））.

六、用方程思想解决实际问题的一般步骤[

1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.

2.、设：设未知数（可分直接设法，间接设法）

3、列：根据题意列方程.

4、解：解出所列方程.

5、检：检验所求的解是否符合题意.

6、答：写出答案（有单位要注明答案）

七、有关常用应用类型题与各量之间的关系

1、和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，

增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”

来体现.

2、等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变

②原料体积=成品体积.

3、劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

(1)既有调入又有调出；

(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4、数字问题X|k|B|1.c|O|m

(1)要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数

字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数，且0<b<9,

0<c<9)则这个三位数表示为：100a+10b+c.

(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小

的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+l

或2n—1表示.

5、工程问题：

工程问题中的三个量与其关系为：工作总量=工作效率X工作时间

6、行程问题：

(1)行程问题中的三个基本量与其关系：路程=速度X时间.

(2)基本类型有

①相遇问题；

②迫与问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问

题.

7、商品销售问题

有关关系式：

商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折扣率一商品进价

商品利润率=商品利涧/商品进价

商品售价=商品标价X折扣率

8、储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和

利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.

利息的20%付利息税

⑵利息=本金x利率x期数

本息和=本金+利息

利息税=利息X税率(20%)

【典型例题】

一、一元一次方程的有关概念

例1.一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程.

分析与解：这是一道开放性试题，答案不唯一.如2⑴x=l,x-2=0等等.

【点拨】解答这类开放性问题时要敢于大胆猜想，然后利用一元一次方程的

定义与解来完成.

二、一元一次方程的解

2x—kx-

例2,若关于"的一元一次方程丁一〒"的解是》=T,则大的值是

()

213

A.7B.1C."nD.0

分析：根据方程解的定义，一元一次方程的解能使方程左、右两边的

值相等，把x=-l代入原方程得到一个关于k的一元一次方程，解这个方

程即可得到k的值.

2r-fcx-3fc_

解:把x=-l代入丁一丁=中得，3(-2-k)-2(-l-3k)=l,解得：k=l.

答案为B.

【点拨】根据方程解的概念，直接把方程的解代入即可.

三、一元一次方程的解法

例3.如果2005-2«”=%-20叫那么工等于()

(A)1814.55(B)1824.55(C)1774.45(D)1784.45

分析与解：移项，得2005-200.5+20.05=x,解得：x=1824.55.答案

为A.

【点拨】由于一元一次方程的形式、结构多种多样，所以在解一元一

次方程时除了要灵活运用解一元一次方程的步骤外，还要根据方程的特定

结构运用适当的解题技巧，只有这样才能降低解题难度.

例4.3⑵{2⑶⑵l)(x-l)-3]-3}=3

分析：观察本题中各个系数的特点，可以选择由外到内去括号的方法,

从而可以一次性去掉大括号和中括号，既简化了解题过程，又能避开一些

常见解题错误的发生.

解：去大括号，得[2(l)(x-l)-3]-2=3

去中括号，得2(l)(x-l)-3-2=3

去小括号，得2⑴x-2⑴-3-2=

移项，得2(l)x=2⑴+3+2+3

合并，得2⑴x=2(17)

系数化为1,得：x=17

四、一元一次方程的实际应用

例5.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、

2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,

可供2280名学生就餐.

(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.

分析：可以先设1个小餐厅可供/名学生就餐，这样的话，2个小餐厅就可

供2y个学生就餐，因此大餐厅就可共(1680-2y)名学生就餐.然后

在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2

(1680-2y)+y=2280

解：(1)设1个小餐厅可供丁名学生就餐，贝打个大餐厅可供(1680-2y)

名学生就餐，根据题意，得

2(1680-2y)+y=2280

解得：y=360(名)

所以1680-2y=960(名)

答：(略).

(2)因为960x5+360x2=5520〉53叫

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐.

【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关

键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可.

例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的

八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润

相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

分析:根据利涧=售价-进价与售价=标价X折扣率这两个等量关系以与

按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件

所获利润相等，就可以列出一元一次方程.

解：设该工艺品每件的进价是“元,标价是(45+x)元.依题意，得：

8(45+x)x0.85-8x=(45+X-35)X12-12x

解得：x=155(元)

所以45+x=200(元)

答：(略).

【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：

商品售价=商品标价X折扣率

商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折数一商品进价

商品利润率=商品进价(商品利润)X100%

例7.（2006•益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任

安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：

李小波：阿姨，您好！

售货员：同学，你好，想买点什么？

李小波：我只有10。元，请帮我安排买1。支钢笔和15本笔记本.

售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.

根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

分析：这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性.解答这类问题的关

键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本

贵2元，同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费（100-5）=95

元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.

解：设笔记本每本x元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得

10（x+2）+15x=100-5

解得，x=3（元）

所以x+2=5（元）

答：（略）.

【点拨】在情景问题应用中，捕捉等量关系是关键.

第四章图形认识初步

【知识点归纳】

一、多姿多彩的图形

1.从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2.点、线、面、体

A.点：线和线相交的地方。

B.线：面和面相交的地方，线可分为直线、射线、线段

C.体：正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体，几何体简称

体。

D.面：包围着体的是面，面可分为平的面、曲的面。

二、直线、射线、线段

1.两点确定一条直线

2.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相

交，

这个公共点叫做它们的交点。

3.两点之间，线段最短。

4.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

三、角

1.有且只有一个角

2.把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记做1°；把1度

的角6。等分，每一份叫做1分的角，记作1';把1分的角60等分，每

一份叫做1秒的角，记作