高考数学二轮复习第二章 不等式与复数（学生版）

第二章不等式与复数知识梳理1、几个重要的不等式（1）a（2）基本不等式：如果a,b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当“特例：a>0,a+1（3）其他变形：①a2+b2≥②ab≤a2+b2③ab≤a+b22（沟通两积ab④重要不等式串：21调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知x,（1）如果x+y=S（定值），则xy≤x+y22=S24（当且仅当“x=y”（2）如果xy=P（定值），则x+y≥2xy=2P（当且仅当“x=y”3、常见求最值模型模型一：mx+nx≥模型二：mx+nx-a=m模型三：xax2模型四：x(n-mx)4、对复数几何意义的理解及应用（1）复数z，复平面上的点z及向量OZ相互联系，即z=a+bi(a,

经典真题回顾1．（2024年北京高考数学真题）已知x1,y1，x2A．log2yC．log2y2．（2024年北京高考数学真题）已知zi=-1-iA．-1-i B．-1+i3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若z=5+i，则iA．10i B．2i C．10 D．24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知z=-1-i，则zA．0 B．1 C．2 D．25．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若zz-1=1+A．-1-i B．-1+i6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知ab=1，4a27．（2024年天津高考数学真题）i是虚数单位，复数5+i8．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,3)，则z的共轭复数A．1+3iC．-1+39．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）51+iA．-1 B．1 C．1-i10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设z=2+i1+A．1-2i B．1+2i C．11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，1+3i3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中A．a=1,b=-2 B．a=-1,b=213．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．C．x2+y14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9m=10,A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>16．（2021年浙江省高考数学试题）已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαA．0 B．1 C．2 D．317．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（

）A．y=x2+C．y=2x18．（2021年天津高考数学试题）若a>0,b>0，则1

考点一：基本不等式二元式解题思路如果a>0，b>0，那么ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立．其中，a+b2不等式可变形为：(a+b)2【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式x2-ax-1x-b≥0对任意x>0恒成立，则A．22-2 B．2 C．22【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数x,y满足x+1y=1，则1A．2+22 B．6 C．42 D【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=loga(x-1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0m>0,n>0上，则A．13 B．82 C．9+42 D【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数fx=xlnx-a+blnxA．1 B．2 C．5 D．2高考预测1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知a>0，b>0，则下列说法正确的是（

）A．若a+b=1，则logB．若a+b=1，则aC．若a-b=1，则2D．若a-b=1，则a2．（多选题）若实数a，b满足3a2+3A．ab<1 B．ab≥-C．a2+b3．[新考法]设函数fx=2a-xlnx+b，若fA．15 B．55 C．12考点二：和式与积式【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(-∞,0)，且a+4b=ab-5，则ab的取值范围为（A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．【典例2-2】已知x2+y2=A．-48 B．-49 C．-42 D．-35【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+y=xy-3，则xy的最小值为（

）A．3 B．23 C．6 D．【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy-2=0，则2x+y的最小值为（A．2103 B．103 C．2【变式2-3】（多选题）已知m>0,n>0,m2+A．log2m+log2C．m3+n3高考预测1．（多选题）设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法中正确的有（

）A．ab有最大值 B．1a+C．a+b有最大值2 D．a2．（多选题）已知a>0，b>0，且a+2b=2，则下列说法正确的是（

）A．ab≥12 BC．2a+43．（多选题）已知正实数a,b满足a2-ab+bA．a+b的最大值为2B．ab的最小值为1C．a2+D．a2+4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足a+2b=1，则（

）A．ba+1b的最小值为1+22C．a2+2b2的最小值为13考点三：柯西不等式二元式解题思路：设a，b，c，d∈R+，有(a+b)(【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：①对于所有实数x和y，有a2②等式条件：当且仅当ad-bc=0时，等号成立.例：已知x+2y=2，由柯西不等式x2+y212A．若a2+B．若0<a<2，则1C．若a+b=4，则a+1D．若1<a<3，则a-1【典例3-2】（多选题）已知x>0，y>0，且不等式xx+12+yy+12A．-4 B．-2 C．2 D．4【变式3-1】存在正数x,y,z,使得不等式x+3y+5z≥m【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数a,b满足a+b=a+12a+1+b+12b+1高考预测1．已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2．[新考法]设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+3．已知正实数a,b满足a+2b=1，则a4b+考点四：齐次化与不等式最值解题思路关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。【典例4-1】[新考法]若正实数x，y满足3x-23+8y-13=4-3x-2y【典例4-2】设x>0,y>0,x+2y=2，则xy(x-2)(y-1)+4的最大值为【变式4-1】已知x>0，y>0，2x3+2y3【变式4-2】已知正实数a，b，c，a+b=3，则ab的最大值为，acb+3c高考预测1．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（

）A．12 B．3+22 C．252 D2．[新考法]已知正数x，y满足3x+2yy+83x+2yA．54 B．83 C．433．（2024·黑龙江·二模）已知实数a，b且ab>0，则2aba2+b2A．3 B．23 C．-23 D．2考点五：复数的四则运算解题思路1、复数运算（1）(（2）((a+bi其中|z|=a2+b2，叫（3）a+bic+di实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．【典例5-1】若复数z满足3z-7=i⋅4z+24，则z⋅A．5 B．25 C．125 D．625【典例5-2】若复数z满足z1+2i=1-i，则A．-1+i B．1+3i C．1+i【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数z满足z2+z+1=0，则z2023+A．1 B．-1 C．i D．-【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数z1、z2满足z1+z2A．22 B．1 C．22 D．【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z满足：z=1，1+z+z2+z3A．1 B．2 C．3 D．4高考预测1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数z满足z1+3i=i2024（i为虚数单位），则A．3 B．10 C．4 D．52．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数z满足z3-1=0，且z是z的共轭复数，则下列结论错误的是（A．z2+z+1=0 BC．z2=z3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x2+ix+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1A．z12=z22>0 B．4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数Z=i+2iA．1012 B．1011 C．-1011 D．-1012考点六：复数的几何意义解题思路复数的几何意义（1）复数z=a+bi(a,（2）复数z=a+bi(a,（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数z=a+bi(a,b∈R)【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数z满足z+2+z-2=6，则复数zA．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数z=1-ii2024+i，则A．(0,1) B．(1,0)C．(-1,0) D．(0,-1)【变式6-1】已知复数z=a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，则z+1+i的最小值是（A．2 B．2 C．22 D．【变式6-2】已知复数z1=1-2i，复数z满足z+A．zB．复数z1在复平面内所对应的点的坐标是C．5D．复数z在复平面内所对应的点为Zx,y，则【变式6-3】设z1的实部与虚部相等，且实部不为0，z2的虚部是实部的2倍，且z2在复平面内对应的点位于第三象限，则“z1在复平面内对应的点位于第一象限”是“z1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件高考预测1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数z满足z-2=1，则z-i的最小值为（A．1 B．5-1 C．5+1 D2．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若z1=32+12i（i为虚数单位），向量A．z2的虚部为32 B．C．z1+z3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数z=x+yi（x,y∈R，i为虚数单位）在复平面内内对应点Zx,y，则下列为真命题的是（A．若z+1=z-1，则点B．若z-1+z+1=4C．若z+1-z-1=2D．若x+1=z-1，则点高分突破：不等式与复数新定义问题解题思路面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。【典例7-1】定义:正割secα=1cosα，余割cscα=1sinαA．1 B．4 C．8 D．9【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数z=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），在平面直角坐标系中，设z=OZ=rr≥0，经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知a=rcosθ，b=rsinθ，因此z=rcosθ+isinθ，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数A．z-2024iB．z-2024iC．cosD．Re【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位i，j和k，而且它们有如下关系：i2=j2=k2=-1,i0=A．ijkB．αα=C．αβ=βαD．若α=1+i+j+【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1A．916 B．2516 C．94【变式7-3】定义：minx,y为实数x，y中较小的数，已知a=minx,4yx2+4yA．14 B．12 C．1 D高考预测1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，a2，b1，b2∈R．若a1>a2或（a1=a2且A．u<w<v B．u=v=w C．v>u=w D．w<u<v2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们