2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第五章　四边形

第一讲多边形考点一多边形定义在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形内角和定理n(n≥3)边形的内角和为①

外角和定理多边形的外角和为②

对角线过n(n≥3)边形的一个顶点可引③条对角线,把这个n边形分成④个三角形,n边形共有⑤条对角线

(1)n(n>3)边形具有不稳定性.(2)多边形剪下一个角后,边数“或多或少或不变”.1.(1)(人教八上P21练习T2变式)过n边形的一个顶点可以画出7条对角线,将它分成m个小三角形,则m+n的值是.

(2)已知四边形ABCD中,∠A=∠D=90°,∠B=2∠C,则∠B=°.

(3)(人教八上P24练习T3变式)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍,它是边形.

考点二正多边形❶定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.❷性质(1)正多边形的各边⑥,各角⑦.

(2)正n边形的每个内角为⑧,每个外角为⑨.

(3)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形,不是中心对称图形;当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形,正n边形有⑩条对称轴.

(4)正n边形有一个外接圆,有一个内切圆,它们是同心圆.❸正多边形和圆的关系(1)设正n边形的边长为a,外接圆半径为R,则边心距r=R2(2)正n边形的周长l=na.(3)正n边形的面积S=12nar=12(4)中心角θ=360°正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由外接圆半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形,然后再利用勾股定理求解.要使正多边形能进行没有空隙的平面镶嵌,只需使360°(n-2)×180°n的结果为整数即可,2.(1)如图,小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步,从点O出发,前进10米后向右转30°,再前进10米后又向右转30°……这样一直跑下去,直到他第一次回到出发点O为止,则这个正多边形的周长为米.

(2)如图,以正五边形ABCDE的边AB向内作正方形ABGF,连接FE,则∠EFG的度数为.

如图,正六边形ABCDEF的边长为2,点O为其中心,连接AC,OC,AD,边DC与边AB的延长线交于点G,连接OG,交BC于点H.(1)∠BAC=°,AC的长为.

(2)∠COD=°,点O到边CD的距离为.

(3)∠BGC=°,△ACD的形状为.

(4)设△ACG的周长为a,四边形ADEF的周长为b,则ab(填“>”“<”或“=”).

(5)阴影部分的面积为.

(1)(2)(3)(4)根据正六边形的内角与外角的性质可知△AGD,△BCG,△OCD均为等边三角形,从而求出相应结果.(5)根据△AGD为等边三角形,且GO为底边上的中线,从而得到阴影部分的面积为等腰梯形BCDA的面积的一半,而梯形的面积为等边三角形AGD的面积与等边三角形BCG的面积的差.命题点一多边形❶(2022·河北)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是()A.α-β=0 B.α-β<0C.α-β>0 D.无法比较α与β的大小命题点二正多边形❷(2019·河北)下列图形为正多边形的是()A B C D❸(2021·河北)如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO=8,S△CDO=2,则S正六边形ABCDEF的值是()A.20 B.30C.40 D.随点O位置而变化❹(2024·河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α+β=()A.115° B.120° C.135° D.144°❺(2020·河北)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n=.

❻(2018·河北)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而90°2=45°是360°(多边形外角和)的18,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.图2在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是.

❼(2023·河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上,两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中(1)∠α=°.

(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为(结果保留根号).

❽(2025·河北样卷)如图,O是正六边形ABCDEF的中心,AB=2,点M,N分别为△ACD,△AED的内心,则OM长为.

【详解答案】教材考点·深度梳理①(n-2)×180°②360°③(n-3)④(n-2)⑤n(n-3)2⑧(n-2)×180°即时练1.(1)18解析:∵过n边形的一个顶点可以画出7条对角线,∴n=7+3=10,∴m=10-2=8,则m+n=8+10=18.(2)120解析:∵四边形ABCD的内角和为360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∵∠A=∠D=90°,∴∠B+∠C=360°-∠A-∠D=360°-90°-90°=180°.又∵∠B=2∠C,即∠C=12∠B,∴∠B+12∠B=180°,解得∠(3)十解析:设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=360°×4,解得n=10,∴它是十边形.2.(1)120解析:由题意可知这个多边形为正多边形,∵360°÷30°=12,∴这个多边形为正十二边形,∴它的周长为10×12=120(米).(2)171°解析:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=AE,∠BAE=(5-2)×180°∴AB=AF,∠BAF=∠AFG=90°,∴AE=AF,∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-90°=18°,∴∠AEF=∠AFE=180°-∠EAF2=81°,∴∠EFG=∠重点难点·一题串讲例:(1)3023解析:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=BC,∠ABC=120°,∴∠BAC=12∵AB=BC=2,∴AC=2×2cos30°=23.(2)603解析:∠COD=360°如图,在等边三角形OCD中,过点O作OM⊥CD,垂足为M,∴∠COM=12∠COD=30°,OC=CD=2,∴tan30°=CMOM,CM=1∴OM=12(3)60直角三角形解析:由外角的定义可知,∠GBC=∠BCG=60°,∴∠BGC=180°-60°-60°=60°.由(1)知,∠ACB=∠BAC=30°,∠ACD=120°-30°=90°,∴△ACD是直角三角形.(4)<解析:由(3)可知,AB=BG=CG=2,∴△ACG的周长a=AG+CG+AC=4+2+23=6+23,四边形ADEF的周长b=AD+DE+EF+AF=4+2+2+2=10.∵(23)2=12<16,∴23<4,∴a<b.(5)332解析:∵△BCG和△AGD都是等边三角形,AG=2∴S△AGD=12×4×4×sin60°=43S△BCG=12×2×2×sin60°=3,∵O为AD的中点,∴S阴影=12(S△AGD-S△BCG)=12×(43河北中考·考向体验1.A2.D3.B解析:如图1,连接AC,易知四边形ACDF为矩形,S△AOC=12S矩形ACDF∵S△AFO=8,S△CDO=2,∴S△ACO=2+8=10.∴S矩形ACDF=10×2=20.如图2,正六边形ABCDEF被分割成6个面积相等的三角形,可知每个三角形的面积为20÷4=5,∴S正六边形ABCDEF=5×6=30.4.B解析:∵正六边形每个内角为(6-2)×180∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°,∴∠ENM+∠NMB=720°-4×120°=240°.∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°,∴α+β=360°-240°=120°.故选B.5.12解析:由题意得(6-2)×180°6=360°6.1421解析:当∠BPC=90°时,周长为8+8+4-6=14;当∠BPC=144°时,上方图形为正十边形,左方图形为正五边形,右方图形为正五边形,此时周长为10+5+5-6=14;当∠BPC=120°时,上方图形为正六边形,左方图形为正六边形,右方图形为正六边形,此时周长为6+6+6-6=12;当∠BPC=60°时,上方图形为等边三角形,左方图形为正十二边形,右方图形为正十二边形,此时周长为12+12+3-6=21;当∠BPC<60°时,上方图形构不成正多边形,∵12<14<21,∴会标的外轮廓周长为21.7.(1)30(2)23解析:(1)作图如下:根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和,得∠ACB=60°,∠α=90°-60°=30°.(2)取中间正六边形的中心为O,作如下图形:由题意得AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴四边形ABFG为矩形,∴AB=GF,∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,∴△ABC≌△GFH(ASA),∴BC=FH,在Rt△PDE中,∵PD=2,∠PDE=60°,∴DE=1,PE=3,易知AG=BF=2PE=23,由正六边形的结构特征知OM=12×23∵BC=12(BF-CH)=3-1,∴AB=BCtan∠BAC=3-133=3-3,∴BD=2-AB=3-1,∴BE=BD+DE=3,8.6-2解析:连接OC,CM,DM,过M作MG⊥CD于G,由题意可得AB=CD=BC=2,OC=OD,∠COD=60°,∠B=∠BCD=120°,∴△COD是等边三角形,∴OD=CD=2,∠COD=∠CD