专题28 菱形及正方形（含中点四边形） 2026年中考数学一轮复习

专题28菱形及正方形(含中点四边形)基础巩固 1.(人教八下习题改编)下列关于正方形判定的说法中不正确的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2.(2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为()第2题图A.6 B.9 C.12 D.183.(人教八下习题改编)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()第3题图A.20° B.60° C.70° D.80°4.(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是()A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角相等5.(2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为()第5题图A.2 B.3 C.52 D.6.(2025郑州外国语一模)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为()第6题图A.4 B.4.5 C.5 D.5.57.(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'.则点D'的坐标为()第7题图A.(－3，5) B.(5，－3)C.(－2，5) D.(5，－2)8.(2025洛阳一模)图①是两个完全相同的含30°角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形ABCD是菱形(如图②)，且长直角边AB＝3时，平移距离BF的长是()第8题图A.33 B.1 C.32 9.新考法条件开放如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形.第9题图(2025上海)在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，连接BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB∶AD的值为 .第10题图11.(2025北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 .第11题图(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 .第12题图13.(北师九上习题改编)如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍.(无需说明理由)第13题图14.(2025扬州)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.第14题图(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.综合训练 (2025许昌二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点G为边AB上的动点(不与点A，B重合)，将△ADG沿DG折叠，点A的对应点为点H，连接BH，CH，若△BCH为等腰三角形，则AG的长为 .第15题图16.(2025福建)[2025河南19题考查间接作图]如图，矩形ABCD中，AB＜AD.第16题图(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长.参考答案1.D【解析】A.一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意；C.对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；D.一个角是直角的平行四边形是正方形，错误，符合题意.应该是一个角是直角的菱形是正方形.2.C【解析】∵对角线AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形，∵AB＝3，∴四边形ABCD的周长为3×4＝12.3.C【解析】四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.4.A【解析】菱形四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角.矩形的对角线相等.故A选项符合题意.5.B【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH∶HG＝AD∶GF＝6∶2＝3∶1，由DG＝6－2＝4，得DH＝4÷(1＋3)×3＝3.6.B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝12AC＝47.A【解析】∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'，B(0，－2)，∴AB＝BC＝A'B'＝B'C'＝C'D'＝5，OB＝OB'＝2，A'B'在x轴上，A'B'∥C'D'，∴B'(2，0)，C'(2，5)，∴D'(－3，5).8.D【解析】∵tan∠ABE＝tan30°＝AEAB＝AE3＝33，∴AE＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABE＝30°，∴∠BAD＝180°－30°－30°＝120°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝120°－90°＝30°，∴∠DAE＝∠ADE，∴DE＝AE＝3，∴平移距离BF的长等于DE9.AC⊥BD(答案不唯一)10.233【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°，AB＝CD.∵四边形AFEB是菱形，∴AB＝CD＝AF＝EF.设AB＝2m，∴AB＝AF＝EF＝2m.∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF＝DE＝12EF＝12AF＝m，∠ADF＝90°，∴∠FAD＝30°，∴AD＝3m，∴AB∶AD＝2m∶311.38【解析】如解图，过点F作FN∥BC交AB于点N，∵四边形ABCD是正方形，∠EBC＝30°，CF⊥BE，∴BC＝AB＝1，∴在Rt△BFC中，BF＝BC·cos∠FBC＝1×cos30°＝32.∵FN∥BC，∴∠FNB＝180°－∠ABC＝90°，∠NFB＝∠EBC＝30°，∴在Rt△BNF中，NF＝BF·cos∠NFB＝32×cos30°＝34，∴S△ABF＝12AB·NF＝12×第11题解图12.13【解析】∵四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，AO＝CO＝4，BO＝6，又∵AE＝2，∴OE＝OA－AE＝2，∴EF＝EO＋OF＝3，又∵EC＝EO＋CO＝6，∴F为EC的中点.在△EBC中，G为BE的中点，F为EC的中点，∴FG为△EBC的中位线，FG＝12BC.在Rt△BOC中，BC＝BO2＋CO2＝62＋42＝13.解：如解图所示，矩形EFGH即为所求.第13题解图【解法提示】连接AC，BD交于点O，分别过点A，C作BD的平行线，过B，D作AC的平行线，则所围成的四边形EFGH为所求.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形，且EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形.易知AEBO是矩形，∴四边形AEBO的面积是△ABO面积的2倍，同理，四边形AODH是△AOD面积的2倍，四边形BOCF是△BOC面积的2倍，四边形OCGD是△OCD面积的2倍，∴四边形EFGH的面积是菱形ABCD面积的2倍.14.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AO＝OC，EA＝EC，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EA＝EC，∴四边形AFCE是菱形；(2)解：如解图，第14题解图∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2，∵四边形AFCE是菱形，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD＝3，∴△CBA∽△CDE，∴CBCD＝BADE，∴53解得DE＝9515.8－43或433【解析】由题意可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，如解图，过点H作BC的平行线交AB于点K，交CD于N，过点H作HM⊥BC，垂足为M，∴四边形BCNK，BMHK，ADNK是矩形，∴KB＝HM＝NC，BM＝KH，CM＝HN，AK＝DN，①当BH＝CH时，如解图①，∵HM⊥BC，∴BM＝CM＝12BC＝2，∴HN＝KH＝2，由折叠易得DH＝AD＝4，AG＝GH，∴DN＝DH2－HN2＝23，∴AK＝23，在Rt△GHK中，KG2＋KH2＝GH2，∴（23－AG）2＋22＝AG2，解得AG＝433；②当CH＝BC时，如解图②，由题意可得DH＝AD＝4，∴DH＝CH，∵HN⊥CD，∴DN＝NC＝12CD＝2，∴HN＝DH2－DN2＝42－22＝23，∴KH＝KN－HN＝4－23，∵AK＝DN＝2，KG2＋KH2＝GH2，∴(2－AG)2＋（4－23）2＝AG2，∴AG＝第15题解图16.解：(1)如解图，四边形EFGH即为所求作的正方形；【作法提示】作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE长为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可.第16题解图(2)∵四边形