北师大版四年级数学上册第三单元：《有趣的算式》教案：借助规律探究帮助学生发现乘法计算规律落实规律探索训练培养归纳思维与表达素养

北师大版四年级数学上册第三单元：《有趣的算式》教案：借助规律探究帮助学生发现乘法计算规律，落实规律探索训练，培养归纳思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为四年级上册，教材为北师大版。本节课的课题是《有趣的算式》，隶属于第三单元“乘法”的思维拓展与规律探究课。课型定位为探索发现与归纳推理课。学生在之前的学习中已经熟练掌握了多位数乘法的笔算方法，并接触了估算和计算器的使用。本节课《有趣的算式》将跳出常规计算练习的范畴，引导学生探索乘法运算中蕴藏的数字规律和结构美。例如，回文算式（如12×42=24×21）、数字顺序变化（如12345679×9=111111111）、乘积的各位数字和规律、乘法结合律分配律的巧妙应用、一些特殊数字（如11、99、101等）的乘法口诀等。这些算式看似神奇有趣，背后却蕴含着深刻的数学规律和代数思想（虽然四年级不涉及字母代数，但可以用具体的运算来体现）。本节课的核心价值不在于教授新的计算技能，而在于激发学生的好奇心和探究欲，培养他们观察算式的结构特征、发现规律、进行合情推理（归纳和类比）的能力，并尝试用数学语言（包括文字、算式、图表）清晰地表达自己的发现，初步体验数学探索的乐趣和数学之美。学生的认知特点是对有规律、有美感的事物充满好奇。他们的认知冲突可能在于：1.从“会算”到“发现隐藏的规律”：需要思维的转换，从关注计算结果转向关注算式结构、数字排列和关系。2.从“发现特例”到“猜测并验证一般规律”：通过观察几个例子，能猜想到一个可能适用于更多情况的规律（如“两位数中，十位数字和个位数字交换后，乘积可能不变吗？”），并能设计算式进行验证，这是归纳推理的初步体现。3.用清晰的语言或算式来表达复杂的规律：这是数学抽象和表达能力的锻炼。通过“趣味导入—观察猜想—验证归纳—解释交流—应用拓展”的学习过程，本节课旨在带领学生进入一个奇妙的数学探索世界，感受数学的逻辑力量与结构之美。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：规律感知：通过计算和观察，发现并验证一些“有趣”的算式中所蕴含的数字规律、结构对称性、运算技巧（如回文算式、与9相乘的特殊规律、简单乘法运算律的直观应用等）。归纳能力：能从具体例子中发现共同特征，并进行合理的猜想，再通过计算或推理进行验证，初步经历一个完整的探究过程。表达理解：能用口头、书面或算式的形式，描述自己发现的规律。过程与方法目标：经历“观察算式—提出猜想—举例验证—归纳结论”的完整探究过程：体验数学规律发现的一般方法。运用“枚举归纳法”发现规律：通过计算多个例子，观察共性，归纳出可能存在的规律。运用“类比迁移法”推广规律：将在一个情境下发现的规律，尝试应用到其他类似的情境中去。运用“反例辨析法”修正猜想：当找到一个反例时，知道最初猜想不成立或需要修正，培养严谨的科学态度。运用“算式结构分析法”探究奥秘：不局限于计算结果，而是分析算式中因数和乘积的数字排列、位数、数字和等结构特征。情感态度与价值观目标：体验数学的趣味性和神奇感：感受数字和算式背后隐藏的奇妙规律，激发对数学的浓厚兴趣和好奇心。体会数学的严谨与对称之美：认识数学不仅是解决实际问题的工具，本身也具有内在的逻辑美和形式美。培养乐于合作、敢于表达、勇于质疑的良好探究品质。教学重难点及突破策略教学重点：观察、发现、归纳乘法算式中的有趣规律，并尝试表达。理由：这是本节课的核心活动，承载了过程与方法、情感态度等多维度的目标。规律的发现和表达是培养学生探究能力和数学思维的关键。教学难点：从具体的数字例子中抽象出一般性的规律猜想；用恰当的语言清晰地描述规律；理解某些规律背后的数学原理（可以用乘法运算律等解释，但四年级不要求公式证明）。突破策略：“算前猜想板”与“发现记录单”：在每个探究活动前，设置“算前猜想板”，让学生在看到算式但未计算前，先根据算式特征（如含有9、数字对称等）进行直观猜想：积可能会有哪些特点？设计结构化的“发现记录单”，引导学生分步记录：①观察算式（写出你观察到的因数特点）；②计算结果；③发现积的特点（数字、位数、数字和等）；④猜想规律（试着用一句话说说你的发现）；⑤验证猜想（再举一个类似例子）；⑥我的结论（我能验证/不能验证这个猜想）。“猜想—验证”探究环与“规律表述阶梯”：明确“猜想—验证”探究环节：出示一组有联系的算式→引导学生观察、计算→鼓励提出猜想（规律是什么？）→引导设计新的算式来验证猜想（是举更多的正面例子，还是尝试寻找反例？）→得出结论或修正猜想。搭建“规律表述阶梯”：初级：“我发现这几个算式的结果……”（描述结果特征）。中级：“当算式是……这样的时候，结果就会……”（将条件和结果相联系）。高级：“因为……所以……”（尝试解释或概括，如“因为把一个因数看成了（10-1），所以……”）。“揭秘工具箱”与“规律创作坊”：准备“揭秘工具箱”，对于一些神奇但原理稍复杂的规律，在学生充分探究后，教师用直观易懂的方式（如摆小棒、数位表、乘法含义图、简单的等式变形）进行揭示，让学生知其然也知其所以然，感受数学的内在逻辑。设立“规律创作坊”，提供一些“种子”规律（如与11相乘、与99相乘的简便计算方法），让学生尝试运用这些规律自己“设计”出一些有趣的算式，或寻找生活中符合这些规律的现象。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件（语言描述版）：课件首页展示一系列神秘、对称或结果奇特的乘法算式（如12×42=24×21，12345679×9=111111111，15×15=225，25×25=625，11×99=1089等），配以“你发现了什么秘密？”等引导语，营造探究氛围。第二页聚焦于“回文算式”的探究：展示12×42=504，再展示24×21=504，引导学生计算并观察。第三页引导学生探究“与9有关的算式”：如1×9=9，12×9=108，123×9=1107，1234×9=11106……观察积的规律。第四页介绍“特殊数字的乘法”，如与11相乘（两头一拉，中间相加）、与101相乘等（介绍简便方法）。第五页提供一个开放的“规律创作”空间，让学生尝试应用或自创有趣算式。实物教具：可以翻动的数字卡片（用于演示因数位置变化）。算式卡片（磁性），便于在黑板上排列组合。计算器（用于快速验证大量例子）。一些印有“探究小贴士”的卡片（如：“仔细观察因数”、“看看积的数字和”、“试试对称吗？”）。“数学规律探索家”工作手册（学生用）：包含：1.“奇妙的对称”：探究回文算式或其他对称现象的记录与发现。2.“9的魔法”：探索与9相乘的算式，尝试发现并续写规律。3.“特殊朋友”：学习与11、101等特殊数相乘的简便方法，并尝试运用。4.“我的发现”：提供空间让学生记录自己在其他算式或自己尝试中发现的有趣规律。5.“挑战创作”：尝试创作一个符合特定规律的算式，或寻找生活中的对应现象。学生准备：铅笔、草稿纸、计算器。带着发现美的眼睛来：留心平时做计算题时有没有觉得特别“巧”的算式。课前预习要求：请你准备一个你认为“有趣”的乘法算式（可以是计算时碰到的，也可以是你自己“发明”的），并想想它哪里有趣。教学过程一、情境导入（课件展示一个漂亮的蝴蝶结图案，然后图案变换成一组对称的数字图案或算式）师：同学们，这个世界充满了对称的美，比如蝴蝶的翅膀、人的脸。在数学王国里，也存在着许多奇妙的“对称”和“规律”。看这一组算式：12×42和24×21。猜猜看，它们的结果会是怎样的关系？生1：可能不一样吧，因数都变了。生2：老师既然这么问，可能结果一样？（请学生用计算器或笔算分别计算）师：结果出来了，12×42=504，24×21=504。真是奇妙！两个不同的算式，结果竟然一样！再看这个算式：12345679×9。你觉得结果会有什么特别的地方吗？大胆猜一猜。生3：可能会有很多个1。师：让我们来见证一下。（展示或计算：得111111111）哇，真的是9个1！数学里真是充满了令人惊奇的有趣算式。今天，我们就来当一回“数学侦探”，一起去探索这些《有趣的算式》背后的秘密。（板书课题：有趣的算式）二、探究新知第一步：探究“回文”现象师：我们首先来深入研究刚才的“12×42=24×21”。请大家认真观察这四个因数：12，42，24，21。它们之间有什么特别的联系？生4：12和21，是个位和十位数字交换了。42和24也是。师：非常棒的发现！也就是说，把第一个因数的十位和个位数字交换，得到第二个算式的一个因数；把第二个因数的十位和个位数字交换，得到第一个算式的一个因数。现在，请大家在小组内合作，寻找或设计类似的算式。比如，13×62和31×26？14×82和41×28？算一算，看看这个“规律”是不是总成立？（小组合作，利用计算器或笔算验证多个例子，教师巡视指导。）师：哪个小组来汇报一下你们的发现？生5：我们试了13×62=806，31×26=806，相等。但试了15×51=765，51×15=765，虽然也相等，但和我们刚才的例子好像不完全一样。师：观察真仔细！15×51和51×15，其实也是把一个两位数的两个数字颠倒了过来。那么，是不是任何一个两位数，把它自己的数字颠倒过来，和自己原来的数相乘，积都相等呢？（引导学生尝试反例，如12×21=252,21×12=252，成立。但23×32=736,32×23=736，也成立？再试更多。实际上对于任意两位数ab，都有ab×ba=ba×ab，因为乘法交换律保证它们相等。但这里要探究的是“交换两个因数的数字位置”而非交换因数位置本身。）教师需澄清：我们更关注像12×42=24×21这样，两个因数是不同的，它们各自的数字交换后得到一对新因数，乘积可能相等。这需要更精确的描述：“一个两位数（如12）与另一个两位数（如42）相乘，如果将这两个数的十位和个位数字分别交换位置（12→21，42→24）形成新的一对数（21和24）相乘，它们的乘积可能和原来相等。”但这个猜想不一定总成立（需要满足一定条件，如a×c=b×d?对于四年级，不必深究，重在发现现象和探索验证过程）。师：通过探究，我们发现有些数字组合满足这种有趣的“回文”现象。数学的奇妙之一就在于寻找这些特殊的、美丽的“组合”。第二步：探索“9的乘法”数字规律师：接下来，我们来看一组与9有关的算式。（课件展示）1×9=09?(写9)12×9=108123×9=11071234×9=11106师：请大家仔细观察这些算式，因数和积的数字有什么变化规律？小组讨论一下。（学生讨论）生6：因数从1，12，123，1234依次增加一位数，而且数字是连续的。生7：积的十位和个位数字是…（观察困难）师：我们来看看积的各位数字（引导学生观察）：1×9=9(可以看作09)12×9=108(1，0，8)123×9=1107(1，1，0，7)1234×9=11106(1，1，1，0，6)你发现数字“1”、“0”和“n”的规律了吗？生8：积的前面几位好像都是1，接着是一个0，最后一位数好像是…（观察最后一位：8,7,6…）师：太棒了！看看最后一位：9对应积的个位是？9-1=8；8对应？12的个位是2，12-3=9?不，规律是与因数最高位和整体的关系。更简洁的观察是：积的位数比因数多一位；积从左到右，1的个数和因数最高位的数字相同（如123，最高位是1，积就有1个1；1234，最高位是1，积有1个1?不对，1234×9=11106，有3个1？这个经典规律是：积是形如111…10x的形式，其中1的个数等于因数的位数减1，0后面数字x等于10减去因数的个位数字。对于四年级，能发现积中的数字有规律性重复（如很多1）以及最后一位的变化即可，不要求抽象出完整公式。）师：我们主要感受到，当连续自然数乘以9时，积会呈现出有规律的“1”、“0”和递减数字。大家可以尝试写下一个：12345×9，先猜猜积大概会是什么样子，再用计算器验证一下。第三步：认识与特殊数相乘的技巧师：我们再来认识一位“乘法速算小帮手”——11。计算某个两位数乘以11，比如23×11，有什么好办法？生9：我知道，可以“两头一拉，中间相加”。师：能具体说说吗？生10：把23的2和3拉开，中间填上2+3=5，所以是253。师：真聪明！这就是一个很好的速算规律。我们来验证一下：23×11=253，正确！那试试54×11呢？生（齐）：594。师：注意，如果中间相加满十呢？比如56×11，“两头拉”是5和6，中间5+6=11，这时候怎么办？生11：向百位进1。师：对！5（百位）+1（进位）=6，中间写1，个位是6，所以是616。请同学们用计算器验证一下。这些有趣的规律，可以帮助我们算得更快、更有趣。三、巩固练习师：探索了这么多有趣的规律，我们来牛刀小试，玩几个游戏。第一关：规律发现关。师：观察下面的算式，你能继续写出两个吗？1×1=111×11=121111×111=123211111×1111=1234321……（引导学生发现：因数有n个1，乘积就从1递增到n再递减到1，且中间对称。）第二关：回文寻找关。师：除了12×42=24×21，你还能找到其他类似的“回文算式”吗？（提示：可以从较小的两位数尝试，或者利用计算器帮忙搜索。）第三关：速算应用关。师：利用与11相乘的规律，快速计算：34×11=（374）75×11=（825）89×11=（979）（注意进位处理）第四关：规律应用关。师：1.根据“1×9=9,12×9=108,123×9=1107”的规律，你知道12345×9的结果，十位和个位数字是什么吗？（可以让学生先根据观察到的模式猜：积可能是1111104？用计算器验证：12345×9=111105）2.不用计算器，你能快速说出99×99等于多少吗？有什么好办法？（可以想成100×99-99=9900-99=9801，或者利用（100-1）²，但更简单是记住规律：99×99=9801，类似的999×999=998001）第五关：创意设计关。师：请你运用今天学到的某个规律（或者自己发现的规律），设计一个有趣的算式作为“数学谜题”考考你的同桌。四、课堂小结师：快乐的探索时光总是过得很快。今天这节课，我们像真正的数学家一样，进行了有趣的探索。谁愿意来分享一下，你在探索中最深的感受或最大的收获是什么？生12：我觉得数学算式里藏着好多秘密，特别有意思。师：对，数学充满了奥秘和美感。我们还学会了探索规律的一种重要方法，大家还记得是什么吗？生13：先观察，再猜想，然后举例子验证。师：没错，这个“观察—猜想—验证”的过程，是发现新知识的金钥匙。我们探索了像回文算式、9的乘法、与11相乘的规律等等。大家要记住，数学不只是枯燥的计算，它更是一个充满发现和创造的广阔天地。希望大家课后能继续保持这份好奇心，去生活中、去数学书里，发现更多有趣的数学现象。五、作业布置师：课后，请大家完成以下有趣的探索作业。必做作业：完成练习册第X页第1、2题。巩固对已学规律的应用和观察。家庭“规律搜索员”：请你当一回“规律搜索员”，在家里找找看，有没有像今天课上那样有规律的算式？或者，你还可以自己设计几组有规律的数字，看看它们相乘会不会产生有趣的结果？把你的发现记录下来。选做作业（挑战自我）：“我是规律小讲师”或“数学魔术设计”：选择今天学到的一个你最喜欢的规律，向家人讲解这个规律的发现过程和应用方法，并请他们当听众。或者，利用一个数学规律（如与11相乘的速算），设计一个可以表演给家人看的“数学小魔术”。作业评价量表（Rubric）：优秀（A）：必做题完成质量高，能正确应用规律。家庭搜索有真实发现或设计出有创意的例子。选做讲解清晰生动或魔术设计巧妙。良好（B）：必做题基本正确。能完成家庭搜索或简单设计任务。合格（C）：必做题能完成，但对规律的理解和表述不够清晰。家庭作业有尝试但发现不明显。需努力（D）：必做题完成困难，难以识别或应用规律。作业完成不完整。预设性教学反思本节课是数学学习从“技能训练”走向“思维体操”和“文化浸润”的重要尝试，其核心价值在于跳出常规的计算练习和问题解决框架，引领学生沉浸在数学算式本身所蕴含的规律之美与结构之妙中，通过亲身经历“观察、猜想、验证、表达”这一完整的数学探究微循环，初步体验数学作为一种探索性、创造性活动的本质，从而点燃对数学的内在好奇心与深层兴趣，并在此过程中有效培养观察力、归纳推理能力和数学表达素养。预期的生成性高潮时刻将出现在学生通过小组合作，亲自动手计算、验证一系列类似“12×42=24×21”的算式，并最终自己“惊叫”着宣布“真的！好多这样的算式结果都一样！”时。这种通过亲自操作、大量枚举而获得的规律验证体验，比教师直接告诉“这是一个规律”要深刻和震撼得多，它将规律的发现权交还给了学生。另一个高潮在于学生运用刚发现的“与11相乘”的“两头一拉，中间相加”的速算规律，成功、迅速地口算出56×11=616这类题目，并为自己能比计算器或笔算更快得出答案而感到自豪时。这让他们真切地体会到数学规律作为“工具”的强大威力，感受到掌握规律带来的智能上的优越感。学生在“规律创作坊”环节，尝试运用已知规律“制造”出有趣的算式，或根据数字排列美规律自创“对称”算式时，标志着他们的学习从“发现”迈向了初步的“应用”与“创造”，思维层次得到了提升。可能存在的遗憾与挑战在于：课堂时间有限，无法让所有学生都充分经历对每一个规律的深度探究，一些孩子可能停留在“看热闹”层面，未能深入体会探究过程。对于规律的概括和表达，部分学生存在语言组织困难，需要教师提供更多的“句式模板”和表达指导。对于某些规律背后原理（如数字9的性质、乘法分配律的应用）的揭示，如何用四年级学生能理解的、非代数的方式讲清楚，是对教师教学智慧的考验。此外，如何将这种规律探究的兴趣和能力迁移到更一般的数学学习和问题解决中，而不仅仅停留在“趣味游戏”层面，需要教师在后续教学中持续地、有意识地引导。基于此，迭代升级设想如下：1.构建“数