2026年中考数学二轮复习 专题06 多结论选填题小综合(高频考点专练)

专题 多结论选填题小综聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型三动态几何多结论判断实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升3～5（多选/选正确结论个数（填正确结论序号基础知识必备：熟练掌握函数（一次、反比例、二次）的图象与性质、几何（三角形、四边形、圆（能结合数形结合、分类讨论思想分析问题；具备逐一验证结论、用排除法简化判断的解题思维；能准确进行几何计算与代数推导，注重推理的严谨性。2026题型 函数图象与性质多结论判01】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）关于𝑥的一次函数𝑦=𝑎𝑥+4𝑎−1①若𝑎=2②若函数图象经过原点，则𝑎= 【答案】题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把(0,0)代入即可判断②；把𝑥=−4代入解析式求得𝑦=−1，【详解】解：①∵𝑎=一次函数为𝑦=2𝑥+∴②∵∴4𝑎−1=0且𝑎≠∴𝑎=4③∵𝑦=𝑎𝑥+4𝑎−1=𝑎(𝑥+𝑥=−4时，𝑦=函数的图象总经过(−4,−1)D．02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与正比例函数𝑦=𝑘𝑥的图A，BA的横坐标为−3B2，二次函数图象的对称轴是直线𝑥=−1．下列结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②3𝑏+2𝑐>0；③x的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘𝑥的两根为𝑥1=−3，𝑥2=2；④𝑘

1𝑎．其中正确的有（ 【答案】【分析】本题考查二次函数的图象及性质，依据题意，根据所给图象可以得出𝑎0，𝑐0𝑥=−1，同时令𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘𝑥【详解】解：由图象可得，𝑎>0，𝑐<0，又

=∴𝑏>∴𝑎𝑏𝑐<由题意，令𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=∴𝑎𝑥2+(𝑏−𝑘)𝑥+𝑐=又二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与正比例函数𝑦=𝑘𝑥A，BA的横坐标为−3，B2，∴𝑎𝑥2+(𝑏−𝑘)𝑥+𝑐=0的两根之和为−3+2=−1，两根之积为−3×2= ∴−𝑎=−1，𝑎=∴6𝑎𝑐=0，又𝑏=2𝑎，∴3𝑏+𝑐=∴3𝑏+2𝑐=𝑐<∵−

=−1，𝑏=∴𝑘=综上，正确的有①③2个．03】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，矩形𝑂𝐴𝐶𝐸A，Ey轴，x

△𝑦=𝑥(𝑚>3，则下列结论：𝐴𝑂𝐵𝐷𝑂𝐸的面积一定相等；𝐵𝐷𝐶1；③𝑚=4；④D𝐶𝐸的中点．其中正确的结论是（ 【答案】理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得𝑆△𝐴𝐵𝑂=

=1𝑆△𝐴𝑂𝐶，设𝐵(𝑥,𝑦)，根据𝑂𝐷𝐵【详解】解：连接∴𝑆△𝑂𝐴𝐶=

=

=1𝑆△𝐴𝑂𝐶，设

=𝑆△𝐷𝑂𝐸=∴𝑆△𝑂𝐶𝐷=𝑆△𝑂𝐵𝐶=𝑆△𝑂𝐴𝐵=𝑆△𝑂𝐷𝐸，故①∴𝐶𝐷=𝑂𝐷𝐵的面积为∴𝑆矩形𝑂𝐴𝐶𝐸−𝑆△𝑂𝐴𝐵−𝑆△𝑂𝐷𝐸−𝑆△𝐵𝐷𝐶=∵𝐵,𝐷分别是𝐴𝐶,𝐶𝐸的中点，𝐴𝐶𝑂𝐸,𝐶𝐸∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑥,𝐶𝐷=𝐷𝐸

∴2𝑥×𝑦−𝑥𝑦−𝑥𝑦−𝑥×𝑦= 解得：𝑥𝑦=

△𝐵𝐶𝐷

2𝑥

2𝑦

1𝑥𝑦=1，②∴𝑚4，故③正确；01】（2024·辽宁·模拟预测）一次函数𝑦1=𝑎𝑥𝑏与𝑦2=𝑐𝑥𝑑的图象如图所示，下列结论中，正确的有（）①对于函数𝑦2=𝑐𝑥+𝑑来说，yx②函数𝑦1=𝑎𝑥+𝑏③𝑎−𝑐

B．1 C．2 D．3【答案】【详解】解：由图象可知，对于函数𝑦2=𝑐𝑥𝑑来说，yx的增大而增大；函数𝑦1=𝑎𝑥𝑏的图象经过第由图象可知，一次函数𝑦1，𝑦2∴2𝑎+𝑏=2𝑐+∴𝑎−𝑐

2，故③02】．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，一次函数𝑦=𝑥(𝑥≥0)与反比例函数𝑦=9(𝑥>0)CAxD，交𝑦=𝑥BA的横坐标1．有以下结论：①C的坐标为②当𝑥>3③将直线𝑂𝐶k个单位后与反比例函数𝑦=9(𝑥>0)④连接𝐴𝐶，𝑂𝐴𝑂𝐴𝐶12．其中结论正确的个数是（） 【答案】断②；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断③A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得△𝑂𝐴𝐶的面积可判断④，进而可得答案．【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑥(𝑥≥0)与反比例函数𝑦=9(𝑥>0)𝑦=

𝑥=

𝑥=

𝑦=9𝑦=3𝑦=−3（舍去∴C的坐标为(3,3)，故①由图象知，当𝑥>3∴当𝑥>3时，一次函数的值大于反比例函数的值，故②∵将直线𝑂𝐶k个单位后，直线𝑂𝐶始终经过第一象限，又反比例函数𝑦=9(𝑥>0)∴将直线𝑂𝐶k个单位后与反比例函数𝑦=9(𝑥>0)的图象一定有交点，故③∵A在反比例函数𝑦=9(𝑥>0)A∴当𝑥=1时，𝑦=9A坐标为又∵AxD，交𝑦=𝑥∴B坐标为∴𝐴𝐵8，则𝑆△𝑂𝐴𝐶=

+

(3−1)=4+8=12，故④

△𝐶𝐴𝐵=2×8×1+2×83个，【变式03】如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴正半轴交于点5,0，对称轴为直线𝑥=1，以下结论：①𝑎𝑏𝑐>0；②4𝑎+2𝑏+𝑐=0；③5𝑎+4𝑐>0；④若点(−4,𝑦1),(1,𝑦2),(2.5,𝑦3)均在函数图象上，则𝑦1>𝑦3>𝑦2；⑤对于任意实数𝑚，都有𝑎+𝑏≤𝑎𝑚2+𝑏𝑚．其中结论正确的有（） B．2 C．3 D．4【答案】们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质，根据抛物线开口向上，判断𝑎>0和𝑥=0，关于对称轴𝑥=1对称，所以𝑥=2时的函数值与𝑥=0时的函数值相等，②错误；将5,0代𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)中，结合𝑏=−2𝑎，得5𝑎4𝑐=0，③错误；根据二次函数的性质，点到对称轴的距离越远，函数值越大（因为开口向上），即可判断④正确；将𝑎𝑏𝑎𝑚2𝑏𝑚等价转化为𝑎(𝑚−1)20【详解】解：由图象开口向上得𝑎>0，对称轴𝑥=1得𝑏=−2𝑎<0，与𝑦轴交点在负半轴得𝑐<0，故𝑎𝑏𝑐>0，①正确；当𝑥=2时，𝑦=4𝑎2𝑏𝑐，由对称性，𝑥=2关于𝑥=1的对称点为𝑥=0，此时𝑦=𝑐<0，故4𝑎+2𝑏+𝑐<0，②错误；将5,0代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)中，结合𝑏=−2𝑎，得5𝑎+4𝑐=0，③错误点(−4,𝑦1)距对称轴最远，(1,𝑦2)在顶点，(2.5,𝑦3)距对称轴较近，故𝑦1>𝑦3>𝑦2，④正确；由𝑏=−2𝑎，知𝑎+𝑏≤𝑎𝑚2+𝑏𝑚等价于𝑎(𝑚−1)2≥0恒成立，⑤正确，故①④⑤3个，04】（2024·四川广元·二模）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎<0)xA，By轴C，对称轴是直线𝑥=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当𝑚≠−1时，𝑎−𝑏>𝑎𝑚2+𝑏𝑚；②若𝑎𝑥2+𝑏𝑥=𝑎𝑥2+𝑏𝑥2且𝑥1≠𝑥2，则𝑥+𝑥=2；③若𝑂𝐴=𝑂𝐶，

𝑂𝐵=−若𝐵1，0，𝐶0，3，连接𝐴𝐶，点P在抛物线的对称轴上，且∠𝑃𝐶𝐴=90°，则𝑃−1，4其中正确的有（ 【答案】𝑥−1，得到当𝑥=−1时，𝑦最大值=𝑎−𝑏+𝑐，据此可判断①；根据题意可得直线𝑥=𝑥1和直线𝑥=𝑥2关于对称轴对称，则𝑥1+𝑥2=−2，据此可判断②；先由对称轴公式得到𝑏=2𝑎，再由𝑂𝐴=𝑂𝐶，得到𝐴−𝑐，0，点B𝑎的坐标为𝑐−2，0，把𝐴−𝑐，0代入抛物线解析式中求出𝑐= B的坐标为−1，0，据此可𝑎断③；先求出𝐴−3，0，设𝑃−1，𝑚，利用勾股定理得到𝑃𝐶2+𝐴𝐶2=𝑃𝐴2，则𝑚2−6𝑚+10+18=+4，解得𝑚=4，据此可判断【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏∴当𝑚≠−1时，𝑎−𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐，即𝑎−𝑏>𝑎𝑚2+𝑏𝑚，故①当𝑎𝑥2+𝑏𝑥1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥2且𝑥1≠𝑥2时，则直线𝑥=𝑥1和直线𝑥=𝑥2 ∴𝑥1+𝑥2=−2，故②∵抛物线对称轴为直线𝑥=∴−𝑏=∴𝑏=∵𝑂𝐴=∴𝐴−𝑐，0∴点B的坐标为𝑐−2，0把𝐴−𝑐，0代入抛物线解析式中得𝑎𝑐2−2𝑎𝑐+𝑐=∴𝑐

𝑎∴𝑐−2=∴B1，0∴𝑂𝐵=−𝑎，故③∵𝐵1，0∴𝐴−，0，设𝑃−，𝑚，∴𝑃𝐴2=−1−(−3)2+(𝑚−0)2=𝑚2+4，𝑃𝐶2=(−1−0)2+(𝑚−3)2=𝑚2−6𝑚+𝐴𝐶2=(−3−0)2+(0−3)2=∵∠𝑃𝐶𝐴=∴𝑃𝐶2+𝐴𝐶2=∴𝑚2−6𝑚+10+18=𝑚2+4，解得𝑚=4，∴𝑃−1，4，故④正确；05】若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)的图象向右平移1个单位长度，得到的新抛物线关于𝑦称．则下列说法正确的 ．（填序号①𝑎=

当2≤𝑎≤2时，代数 −5𝑏+8的最小值为③对于任意实数𝑚，不等式𝑎𝑚2+𝑏𝑚−𝑎+𝑏≥0④𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)为该二次函数图象上任意两点，且𝑥1<𝑥2．当𝑥1+𝑥2+2>0时，一定有𝑦1>【答案】何变换、二次函数的最值，由平移可得二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎>0)的图象的对称轴为直线𝑥=−1，从而判断①；由𝑏=2𝑎，则有𝑎2+𝑏2−5𝑏+8=𝑎2+(2𝑎)2−5×2𝑎+8=5𝑎2−10𝑎+8=5(𝑎−1)2+3，把𝑎3代入即可判断②；由𝑏2𝑎代入𝑎𝑚2𝑏𝑚−𝑎𝑏即可判断③；根据题意得𝑥1+𝑥2>−1，则直线𝑥 【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎>0)的图象向右平移1个单位长度，得到的新抛物线关于𝑦轴对∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)的图象的对称轴为直线𝑥=∴−𝑏=

=2，故①∴𝑏=∴𝑎2+𝑏2−5𝑏+8=𝑎2+(2𝑎)2−5×2𝑎+8=5𝑎2−10𝑎+8=5(𝑎−1)2 ∵2≤𝑎≤

∴当𝑎=2∵𝑏=

+

−5𝑏+8的最小值为

+3

4，故②∴𝑎𝑚2+𝑏𝑚−𝑎+𝑏=𝑎𝑚2+2𝑎𝑚−𝑎+2𝑎=𝑎𝑚2+2𝑎𝑚+𝑎=𝑎(𝑚+1)2≥0，故③∵𝑥1+𝑥2+2>∴𝑥1+𝑥2>∴直线𝑥 在对称轴右侧∵𝑥1<∵𝑎>∴𝑦1<𝑦2，故④错误，06】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(a，b，c为常数，𝑎>𝑏>𝑐)的图像经过点(1,0)，下列四个结论：①𝑎𝑐<0；②𝑏2−4𝑎𝑐>0；③若𝑎+𝑐=0x，都有𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐≥2𝑥−2；④S为函数的最小值，若𝑚<𝑆<𝑛恒成立，则𝑛−𝑚>2𝑎 【答案】【分析】首先将(1,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐得到𝑎𝑏𝑐=0，然后由𝑎>𝑏>𝑐得到𝑎>0，𝑐<0，即可判断①x轴有两个交点，即可判断②；根据题意得到𝑏=0，𝑐=−𝑎，然后令𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐−2𝑥2，得到Δ=(−2)2−4𝑎(𝑐2)=4−4𝑎(−𝑎2)=4(𝑎−1)2≥0，即可判断③ 得到𝑏=−𝑎−𝑐，然后表示出𝑆=−4𝑎，然后根据𝑎>𝑏>𝑐得到𝑎>−𝑎−𝑐>𝑐，然后表示出−𝑎<𝑠< ，

𝑚=−4𝑎，𝑛=−16，代入𝑛−𝑚即可判断【详解】解：①∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像经过点∴𝑎+𝑏+𝑐=∵𝑎>𝑏>∴𝑎>0，𝑐<∴𝑎𝑐<0，故①②∵𝑎>∵𝑐<∴y又∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像经过点∴x∴𝑏2−4𝑎𝑐>0，故②③∵𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎+𝑐=∴𝑏=0，𝑐=∴x，都有𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥2𝑥−2，即𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−2𝑥+2≥∴令𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−2𝑥+∴𝑦=𝑎𝑥2−2𝑥+𝑐+∴Δ=(−2)2−4𝑎(𝑐+2)=4−4𝑎(−𝑎+2)=4(𝑎−1)2≥∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑥+𝑐+2x12∴𝑦=𝑎𝑥2−2𝑥+𝑐+20，故③④∵𝑎+𝑏+𝑐=∴𝑏=∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+∴最小值𝑆=

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎𝑐−(−𝑎−𝑐)2=

4𝑎∵𝑎>𝑏>∴𝑎>−𝑎−𝑐>∴−2𝑎<𝑐<

<−𝑐<

<𝑎−𝑐<∴9𝑎2<(𝑎−𝑐)2<

<

<−4∴−𝑎<

< ∴−𝑎<𝑠< ∴取𝑚=−4𝑎，𝑛=∴𝑛−𝑚=

16−

4𝑎

<2𝑎，故④x轴交点问题，二次函数𝑦=+𝑏𝑥𝑐yx轴交点的个数确定，熟练01】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷0𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，动点E从点B开始，沿折线𝐵−𝐴−𝐷运动至点D停止，𝐶𝐸与𝐵𝐷相交于点N，点F是线段𝐶𝐸的中点，连接𝑂𝐹，有下列结论：①四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形；②当点E在边𝐴𝐵上，且𝐶𝐷=4𝑂𝐹时，时，△𝑂𝐹𝑁是等边三角形．其中正确的结论有( B．2 C．3 D．4【答案】分且相等的四边形是矩形证明四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，即可判断①；可证明𝑂𝐹△𝐴𝐶𝐸中位线，𝐴𝐵=𝐶𝐷=4𝑂𝐹=2𝐴𝐸，而点𝐸在𝐴𝐵上，据此可判断②；根据𝑂𝐹=

1𝐴𝐸，则𝐴𝐸有最大值时，𝑂𝐹则点𝐸与点𝐷重合时，𝐴𝐸4，则𝑂𝐹2．据此可判断③∠𝑂𝐹𝑁=∠𝐶𝑂𝐹∠𝑂𝐶𝐹>60°，据此可判断【详解】解：①∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵=∵0，F分别是𝐴𝐶，𝐶𝐸的中点，点𝐸在𝐴𝐵∴𝑂𝐹是𝐴𝐶𝐸∴𝐴𝐸=∵𝐶𝐷=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=∴E是𝐴𝐵的中点，故②③∵𝑂𝐹𝐴𝐶𝐸∴𝑂𝐹

ED重合时，𝐴𝐸的值最大，此时𝐴𝐸=𝐴𝐷=𝐵𝐶=④E在边𝐴𝐵上，且∠𝐶𝑂𝐹=60°时，∠𝑂𝐹𝑁=∠𝐶𝑂𝐹∠𝑂𝐶𝐹>𝑂𝐹𝑁不是等边三角形，故④错误．3个，01ABCD中，∠𝐴60°，E、FAB，AD的中点，DE、BFGBD，CG．有下列结论：①∠𝐵𝐺𝐷=120°；②𝐵𝐺𝐷𝐺=𝐶𝐺；𝐵𝐷𝐹中正确的结论有() 【答案】

=3𝐴𝐵2【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°180°就可【详解】解：∵ABCD∴△ABD是等边三角形，△BDC∵E，FAB，AD故①在△CDG和△CBG𝐶𝐷=𝐶𝐺=𝐶𝐺𝐷𝐺=∵∠BFD=∠DEB=90°，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷∥故②∵△GBC∴△BDF与△CGB不全等．

∴𝐵𝐹=∵𝑆△𝐴𝐷𝐵==1AB× =3𝐴𝐵2，点，𝐵𝐻=𝐵𝐷，连接𝐷𝐻，分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹，连接𝐵𝐸，则下列结论：①𝐶𝐹=2；②tan∠𝐻=−2；③𝐵𝐸平分∠𝐶𝐵𝐷；④2𝐴𝐵2=𝐷𝐸⋅𝐷𝐻．其中正确结论的个数是（ 【答案】【详解】解：①假设正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑎，根据勾股定理得𝐵𝐻=𝐵𝐷=∵∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐻𝐵𝐹=90°,∠𝐷𝐹𝐶=∴△𝐷𝐶𝐹∽△ ∴𝐵𝐹=𝐵𝐻=2故①②由①可得tan∠𝐻

𝐴𝐻

=𝑎+故②𝑎+∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐷,∠𝐶𝐷𝐵=∴∠𝐶𝐷𝐸=∵𝐵𝐻=∴∠𝐸𝐷𝐵=∵𝐶𝐷∥∴∠𝐻=综上，∠𝐸𝐵𝐷∠𝐶𝐵𝐸，故③④由③可得∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐻,∠𝐸𝐵𝐷=∴△𝐷𝐵𝐸∽△ ∴𝐷𝐻=∴𝐷𝐵2=𝐷𝐸⋅由①可得𝐷𝐵=∴2𝐴𝐵2=𝐷𝐸⋅03】（2025·河北石家庄·三模）如图，直角三角板𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵90°，∠𝐴𝐵𝐶60°，𝐴𝐶=3．已知斜边𝐴𝐵A，B分别在相互垂直的射线𝑂𝑀，𝑂𝑁上滑动，连接𝑂𝐶．给出下列结论：①C，0两点AB对称，则𝑂𝐵3；②C，04；③若𝐴𝐵平分𝐶𝑂，则𝐴𝐵𝐶𝑂；④在滑动过程中，∠𝐴𝑂𝐶60°．其中所有正确结论的序号是（） 【答案】【分析】在Rt△𝐴𝐵𝐶中，由∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐴𝐶=3，求出𝐴𝐵=23，𝐵𝐶=3．由轴对称的性质得𝑂𝐵=𝐵𝐶=3，可判断①正确；取𝐴𝐵的中点为𝐸，连接𝑂𝐸、𝐶𝐸，由三角形三边关系可知当𝑂𝐶经过点𝐸时，𝑂𝐶最大且𝐶、𝑂两点距离的最大值为23，可判断②不正确；当∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=90°，则四边形𝐴𝑂𝐵𝐶是矩形，满足𝐴𝐵与𝑂𝐶相互平分，但𝐴𝐵⊥𝐶𝑂不成立，可判断③不正确；【详解】解：在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵=𝐴𝐶÷sin60°=23，𝐵𝐶=𝐴𝐶÷tan60°=∴𝑂𝐵=𝐵𝐶=3，故①∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=∴𝑂𝐸=𝐶𝐸

1𝐴𝐵=当𝑂𝐶经过点𝐸时，𝑂𝐶最大且𝐶、𝑂两点距离的最大值为23，故②③如图2，当∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐵与𝑂𝐶相互平分，但𝐴𝐵𝐶𝑂不成立，故③∵𝐸𝐶=∴∠𝐸𝐶𝑂=∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝐸𝑂𝐶=同理：∠𝐴𝐸𝐹=2∠𝐴𝑂𝐸,∠𝐴𝐸𝐶=∴2∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐹=2∠𝐴𝑂𝐸+2∠𝐶𝑂𝐸=∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=60°，故④正确．C．04】如图，点𝐴、𝐵分别在𝑥轴、𝑦轴上(𝑂𝐴>𝑂𝐵)，以𝐴𝐵为直径的圆经过原点𝑂，𝐶是𝐴𝑂𝐵连结𝐴𝐶，𝐵𝐶．下列结论：①∠𝐴𝐶𝐵=90°；②𝐴𝐶=𝐵𝐶；③若𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=2△𝐴𝐵𝐶④若𝑂𝐴−𝑂𝐵=4，则点𝐶的坐标是(1,−1)．其中正确的结论有（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】轴于𝐷，𝐶𝐸⊥𝑦轴于𝐸，通过构造全等三角形△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，可判断④．𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵=90°，故①𝐶是𝐴𝑂𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐶，故②∵𝐴𝐵2=𝑂𝐵2+𝑂𝐴2=22+∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶𝐵∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=2𝐴𝐵=(∴△𝐴𝐶𝐵的面积 =(作𝐶𝐷𝑥轴于𝐷，𝐶𝐸𝑦轴于∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶=90°，∵∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐸=∵𝐴𝐶=∴△𝐴𝐶𝐷≌△∴𝐶𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐷=∴𝑂𝐸𝐶𝐷是正方形，∴𝑂𝐴−𝑎=𝑂𝐵+∴2𝑎=𝑂𝐴−𝑂𝐵=∴𝑎=点𝐶坐标是(2,−2)，故④不符合题意，051ABCDAC，BD0，∠MPNPPM，PN0A，0B重合，然后逆时针旋转∠MPNPNAB，BCE，FEF0BG，则下列结论：①EF＝20E；②S0EBF：S形ABCD＝1：4；③BE+BF＝20A；④在旋转过程中，当△BEF与△C0F⑤0G•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是 B．3 C．4 D．5【答案】【分析】①由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，直角∠𝑀𝑃𝑁𝐵𝑂𝐸𝐶𝑂𝐹（ASA），由①易证得𝑆四边形𝑂𝐸𝐵𝐹=

=1𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，则可证得结论；③𝐵𝐸+𝐵𝐹=𝐵𝐹+𝐶𝐹=𝐵𝐶=2𝑂𝐴可得结论；④首先设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=𝐶𝐹=1−𝑥，𝐵𝐹=𝑥，继而表示出𝐵𝐸𝐹与𝐶𝑂𝐹的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得𝑂𝐸𝐺𝑂𝐵𝐸，然后由相似三角形的对应边成比例，证得𝑂𝐺⋅𝑂𝐵=𝑂𝐸2，再利用𝑂𝐵与𝐵𝐷的关系，𝑂𝐸与𝐸𝐹的关系，即可证得结论.【详解】解：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐶𝐹=45°，∠𝐵𝑂𝐶=∴∠𝐵𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐹=∵∠𝐸𝑂𝐹=∴∠𝐵𝑂𝐹+∠𝐶𝑂𝐸=∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹，在𝐵𝑂𝐸𝐶𝑂𝐹中，∠𝐵𝑂𝐸=𝑂𝐵= ∠𝑂𝐵𝐸=∴△𝐵𝑂𝐸≅△∴𝑂𝐸=𝑂𝐹，𝐵𝐸=∴𝐸𝐹=2𝑂𝐸②∵

四边形

=

+

=

+

=

=1𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝑆四边形𝑂𝐸𝐵𝐹∶𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=1∶4③𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐵𝐹𝐶𝐹=2𝑂𝐴④过点𝑂作𝑂𝐻∵𝐵𝐶= ∴𝑂𝐻=2𝐵𝐶=设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=𝐶𝐹=1−𝑥，𝐵𝐹=

∴𝑆△𝐵𝐸𝐹+𝑆△𝐶𝑂𝐹=2𝐵𝐸⋅𝐵𝐹+2𝐶𝐹⋅𝑂𝐻=2𝑥(1−𝑥)+2(1−𝑥)×2=− +∵𝑎=

<∴当𝑥=1

+

即在旋转过程中，当△𝐵𝐸𝐹与△𝐶𝑂𝐹的面积之和最大时，𝐴𝐸=4⑤∵∠𝐸𝑂𝐺=∠𝐵𝑂𝐸，∠𝑂𝐸𝐺=∠𝑂𝐵𝐸=∴△𝑂𝐸𝐺∼△∴𝑂𝐸:𝑂𝐵=∴𝑂𝐺⋅𝑂𝐵=∵𝑂𝐵

1𝐵𝐷，𝑂𝐸

∴𝑂𝐺⋅𝐵𝐷=∵在△𝐵𝐸𝐹中，𝐸𝐹2=𝐵𝐸2∴𝐸𝐹2=𝐴𝐸2∴𝑂𝐺⋅𝐵𝐷=𝐴𝐸2+𝐶𝐹2，故正确故选题型三01】如图，已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷4，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷边上的动点，𝐵𝐸=𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=𝐸𝐹与𝐴𝐶相交于点𝐺，则下列结论：𝐵𝐸𝐶𝐴𝐹𝐶，𝐸𝐶𝐹为等边三角形；③∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐹𝐶；④ 𝐴𝐹=1，则𝐺𝐸=3．其中正确个数为（ 【答案】①首先证𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶，结合已知条件𝐵𝐸𝐴𝐹可证𝐵𝐸𝐶得𝐹𝐶=𝐸𝐶，∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐵，得∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=60°，进而可得结论；③证明∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐵𝐸𝐶④G分别作𝐴𝐵，𝐴𝐷N、M，由角平分线的性质得到𝑁𝐺=𝑀𝐺，求出𝐴𝐸=3到

△𝐴𝐸𝐺=𝐴𝐸⋅𝑁𝐺=

△𝐴𝐹𝐺=2𝐴𝐹⋅𝑀𝐺=2𝑁𝐺，据此可得𝑆△𝐴𝐸𝐺=𝐸𝐺=【详解】解：在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形中，∵∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠𝐵=∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵，∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，又∵𝐵𝐸𝐴𝐹，𝐵𝐸𝐶𝐴𝐹𝐶(SAS)，故①∴𝐹𝐶=𝐸𝐶，∠𝐹𝐶𝐴=∴∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=𝐸𝐶𝐹为等边三角形，故②∵∠𝐴𝐺𝐸∠𝐺𝐴𝐸∠𝐴𝐸𝐺=180°，∠𝐵𝐸𝐶∠𝐶𝐸𝐹∠𝐴𝐸𝐺=180°，又∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐴𝐵=60°，∴∠𝐵𝐸𝐶=由①得，∠𝐴𝐹𝐶=∴∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐹𝐶，故③G分别作𝐴𝐵，𝐴𝐷N、∴𝑁𝐺=∵𝐴𝐹=𝐵𝐸=∴𝐴𝐸=

△𝐴𝐸𝐺=2𝐴𝐸⋅𝑁𝐺=∴𝑆△𝐴𝐹𝐺=𝐹𝐺=1，故④

△𝐴𝐹𝐺=𝐴𝐹⋅𝑀𝐺=

010ACBA（10，0），（0，6），PBC边上的动点，将△0BP0P折叠得到△0PDCD、AD．则下列结论中：①∠B0P＝45°0BPD为正方形；②当∠B0P＝30°时，△0AD15；③PCD的最小值为234﹣6；④当0D⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】①由矩形的性质得到∠𝑂𝐵𝐶=90°，根据折叠的性质得到𝑂𝐵=𝑂𝐷∠𝑃𝐷𝑂=∠𝑂𝐵𝑃=∠𝐵𝑂𝑃∠𝐷𝑂𝑃，推出四边形𝑂𝐵𝑃𝐷𝑂𝐵𝑃𝐷为正方形；故②过𝐷作𝐷𝐻𝑂𝐴于𝐻，得到𝑂𝐴=10𝑂𝐵=6，根据直角三角形的性质得到𝐷𝐻=

1𝑂𝐷=3的面积公式得到𝛥𝑂𝐴𝐷的面积为

，故②2𝑂𝐴·𝐷𝐻=2×3×10=③连接𝑂𝐶，于是得到𝑂𝐷𝐶𝐷≥𝑂𝐶𝑂𝐷𝐶𝐷=𝑂𝐶时，𝐶𝐷取最小值，根据勾股定理得到𝐶𝐷的最小值为234−6；故③正确；④根据已知条件推出𝑃，𝐷，𝐴三点共线，根据平行线的性质得到∠𝑂𝑃𝐵=∠𝑃𝑂𝐴∠𝑂𝑃𝐴=∠𝑃𝑂𝐴，求得𝐴𝑃=𝑂𝐴=10，根据勾股定理得到𝐵𝑃=𝐵𝐶−𝐶𝑃=10−8=2，故④【详解】解：四边形𝑂𝐴𝐶𝐵∴∠𝑂𝐵𝐶=将𝛥𝑂𝐵𝑃沿𝑂𝑃折叠得到∴𝑂𝐵=𝑂𝐷，∠𝑃𝐷𝑂=∠𝑂𝐵𝑃=90°，∠𝐵𝑂𝑃=∵∠𝐵𝑂𝑃=∴∠𝐷𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃=∴∠𝐵𝑂𝐷=∴∠𝐵𝑂𝐷=∠𝑂𝐵𝑃=∠𝑂𝐷𝑃=四边形𝑂𝐵𝑃𝐷∵𝑂𝐵=四边形𝑂𝐵𝑃𝐷为正方形；故①②过𝐷作𝐷𝐻𝑂𝐴于∵点𝐴(10,0)，点∴𝑂𝐴=10，𝑂𝐵=∴𝑂𝐷=𝑂𝐵=6，∠𝐵𝑂𝑃=∠𝐷𝑂𝑃=∴∠𝐷𝑂𝐴=∴𝐷𝐻

1𝑂𝐷= ∴𝛥𝑂𝐴𝐷的面积为2𝑂𝐴·𝐷𝐻=2×3×10=15，故②则𝑂𝐷𝐶𝐷≥即当𝑂𝐷𝐶𝐷=𝑂𝐶时，𝐶𝐷∵𝐴𝐶=𝑂𝐵=6，𝑂𝐴=𝑂𝐴2+𝑂𝐴2+

=2102+∴𝐶𝐷=𝑂𝐶−𝑂𝐷=102+即𝐶𝐷的最小值为234−6；故③④∵𝑂𝐷⊥∴∠𝐴𝐷𝑂=∵∠𝑂𝐷𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=∴∠𝐴𝐷𝑃=∴𝑃，𝐷，𝐴∵∴∠𝑂𝑃𝐵=∵∠𝑂𝑃𝐵=∴∠𝑂𝑃𝐴=∴𝐴𝑃=𝑂𝐴=∵𝐴𝐶=∴𝐶𝑃 =𝐵𝑃=𝐵𝐶−𝐶𝑃=10−8=2，故④正确；02𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶=5,𝐵𝐶=8,𝐷是𝐵𝐶边上一动点（不与点𝐵,𝐶重合∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵=𝛼，𝐷𝐸交𝐴𝐶E，下列结论：①𝐴𝐷2=𝐴𝐸·𝐴𝐵；②1.8≤𝐴𝐸<5；③当𝐴𝐷=10△𝐴𝐵𝐷≌△𝐷𝐶𝐸；④△𝐷𝐶𝐸为直角三角形时，𝐵𝐷=4或者6.25．其中正确的结论有 ）个 B．2 C．3 D．4【答案】1：在线段𝐷𝐸F，使𝐴𝐹=𝐴𝐸，连接𝐴𝐹，易证△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐷𝐹进而可得𝐴𝐷2=即可判定

；结合

𝐴𝐸

𝐴𝐷2

𝐴𝐷2

3≤𝐴𝐷<

1.8≤𝐴𝐸<即②正确；分两种情况：当𝐵𝐷<4时，可证明结论正确，当𝐵𝐷>4时，结论不成立；故③△为直角三角形，可分两种情况∠𝐶𝐷𝐸=90°或∠𝐶𝐸𝐷=90°分别讨论求解即可1，在线段𝐷𝐸F，使𝐴𝐹=𝐴𝐸，连接𝐴𝐹，则∠𝐴𝐹𝐸=∵𝐴𝐵=∴∠𝐵=∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵=∴∠𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=∵∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶+∴∠𝐷𝐴𝐹=∵∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵+∴∠𝐶𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐴𝐹=∴△𝐴𝐵𝐷∽△∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，即𝐴𝐷2=𝐴𝐵⋅

∴𝐴𝐷2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐸，故①∴𝐴𝐸

𝐴𝐷2

当𝐴𝐷

=3∴3≤𝐴𝐷<∴9≤𝐴𝐸<5，即1.8≤𝐴𝐸<5，故②2，作𝐴𝐻𝐵𝐶∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=∴𝐵𝐻=𝐶𝐻

1𝐵𝐶=

=∵𝐴𝐷=𝐴𝐷′=∴𝐷𝐻=𝐷′

=(10)∴𝐵𝐷=3或𝐵𝐷′=5，𝐶𝐷=5(10)∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐷=∵∠𝐵=∠𝐶，𝐷𝐶=∴△𝐴𝐵𝐷≌△但△𝐴𝐵𝐷′△𝐷′𝐶𝐸显然不是全等形，故③不正确；3，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶=∴𝐵𝐷=4，𝐷𝐸𝐵𝐶D，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶∵∠𝐴𝐷𝐸=∴∠𝐴𝐷𝐻=∴△𝐴𝐷𝐻∽△∴𝐷𝐻=

=

𝐶𝐻，即 ∴𝐷𝐻=∴𝐵𝐷=𝐵𝐻+𝐷𝐻=4+4

25=6.25，故④△∠𝐴𝐵𝐷的角平分线的交点，连接𝑀𝐴，𝑀𝐷，过点𝑀作𝑀𝑁𝐵𝐷于点𝑁．①𝐵𝑀垂直平分𝐴𝐶，点𝑁一定是线段𝐶𝐷②当𝐵𝐶=2𝐷𝑁时，𝑀𝐶与𝐴𝐷③当𝐵𝐶=𝐷𝑁时，𝐴𝐵⊥⑤当∠𝑀𝐷𝑁=45°时，𝑁𝐷=上述结论中，所有正确结论的序号是（ 【答案】【分析】由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断①；由△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝑀平分与则𝐵𝑀垂直平分𝐴𝐶，𝐵𝐶𝐴𝐶，证明𝐴𝐶𝑀𝑀𝐶𝐷是等边三角形可判断②；由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断③；证明△𝐴𝐵𝑀≌△𝐶𝐵𝑀(SSS)，则∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐶𝑀𝐵，通过垂直平分线的性质，等边∴𝐴𝑀=𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝑀平分∴𝐴𝑀=∴𝐶𝑀=∵𝑀𝑁⊥∴𝐶𝑁=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐶=由①得：𝐴𝑀=𝐶𝑀，𝐶𝑁=∵𝐵𝐶=∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=∵∠𝐴𝐶𝐷=∴∠𝐴𝐶𝑀=∠𝐷𝐶𝑀=𝐴𝐶𝑀𝑀𝐶𝐷③由①得：𝐶𝑁=∵𝐵𝐶=𝐷𝑁，𝐴𝐶=∴𝐶𝐷=∴∠𝐶𝐴𝐷≠∴∠𝐵𝐴𝐷≠90°，故③④∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝑀=𝐶𝑀，𝐵𝑀=∴△𝐴𝐵𝑀≌△∴∠𝐴𝑀𝐵=∴𝐴𝑀=𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝑀平分∴𝐵𝑀垂直平分𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐵𝑀=∵∠𝐵𝑀𝑁=∵𝐶𝑁=𝐷𝑁，𝑀𝑁⊥∴根据三线合一性质得：∠𝐶𝑀𝑁=∴∠𝐶𝑀𝐵+∠𝐶𝑀𝑁=∴∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐴𝑀𝐵∠𝐶𝑀𝐵∠𝐶𝑀𝑁∠𝐷𝑀𝑁=2(∠𝐶𝑀𝐵∠𝐶𝑀𝑁)=120°，故④⑤由上得：𝐶𝑁=𝐷𝑁，∠𝐶𝐵𝑀=∵𝑀𝑁⊥∴∠𝑀𝑁𝐷=∴∠𝑀𝐷𝑁=∠𝐷𝑀𝑁=∴𝑀𝑁=∵∠𝐶𝐵𝑀=∴𝑀𝑁

∴𝐷𝑁

=2，故⑤04】如图，等腰𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶的一个锐角顶点𝐴𝑂上的一个动点，∠𝐴𝐶𝐵=90°，腰𝐴𝐶与斜边𝐴𝐵交𝑂于点𝐸,𝐷，分别过点𝐷,𝐸𝑂的切线交于点𝐹，且点𝐹恰好是腰𝐵𝐶上的点，连接𝑂𝐶,𝑂𝐷,𝑂𝐸𝑂4，则𝑂𝐶的最大值为：（）【答案】

CG的长度即可．【详解】解：∵Rt△ABC∵D，E作⊙O∴ODFE∴ODFE∵FBC∴CEF∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在𝑂𝐸2𝑂𝐸2+

=242+42+

05𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°,𝐴𝐵=5cm,cos𝐵=5．动点𝐷从点𝐴出发沿着射线𝐴𝐶1cm的速度移动，动点𝐸从点𝐵出发沿着射线𝐵𝐴2cm的速度移动．已知点𝐷和点𝐸同时出发，设它们运动的时间为𝑡秒．连接𝐵𝐷．下列结论正确的有（）个①𝐵𝐶=②当𝐴𝐷=𝐴𝐵时，tan∠𝐴𝐵𝐷=③以点𝐵为圆心、𝐵𝐸为半径画⊙𝐵，当𝑡=13时，𝐷𝐸与⊙𝐵④当∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐸时，𝑡= 【答案】BC可判断①AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定求解可判断【详解】解：在𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°,𝐴𝐵=5cm,cos𝐵=

𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅cos𝐵=5×5=故①𝐵𝐶4正确；AG⊥Rt△ABC中，𝐴𝐶=

=22+22+𝐶𝐷2+𝐶𝐷2+

=2∴DG=BG=Rt△BGA22∴tan∠𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐺

=2故②当𝐴𝐷=𝐴𝐵时，tan∠𝐴𝐵𝐷=2AD=t，BE=2t，cosA=𝐴𝐶= 当𝑡=

13时，𝐴𝐷=𝑡=13，𝐵𝐸=2𝑡=2×13= ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=5−2𝑡=5−13=

𝐴𝐸∴𝐷𝐸与𝐵故③以点𝐵为圆心、𝐵𝐸为半径画⊙𝐵，当𝑡=13时，𝐷𝐸与⊙𝐵EEH⊥ACH，当∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐸时，

∴𝐶𝐷=∴AH=3(5-2𝑡)，EH=4(5-2𝑡)，𝐶𝐷=

4

11

𝐻𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐻=𝑡−3+5𝑡

5 =5 整理得11𝑡2−80𝑡+125=因式分解得(11𝑡−25)(𝑡−5)=∴𝑡=11或𝑡=5（舍去故④当∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐸时，𝑡=11401】方程𝑃：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0；𝑄：𝑐𝑥2−𝑏𝑥+𝑎=0，其中𝑎𝑐≠0①若𝑎𝑐<0，则方程𝑃有两个不相等的实数根；②若方程𝑃有两个不相等的实数根，则方程𝑄不相等的实数根；③5P的一个根，则−5是方程𝑄的一个根；④P和方程𝑄则𝑎+𝑐=0．正确的个数是（ 【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③5P的一个根，反代回方程，通过变形得1𝑐−(−1𝑏)+𝑎=0，据此可判断③；解方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐= −𝑏𝑥𝑎，解方程可判断【详解】解：①若𝑎𝑐<0，则方程𝑃中𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0，则方程𝑃有两个不相等的实数根，故①②由①如果方程P𝑎𝑐<0𝑄的根的判断式𝛥=(−𝑏)2−4𝑐𝑎=𝑏2−4𝑎𝑐>0，③5P的一个根，那么25𝑎+5𝑏𝑐=𝑎+𝑏 𝑐=方程两边同时除以25， 1𝑎+𝑏 𝑐=

25𝑐−(−5𝑏)+𝑎=∴−5Q的一个根，故③④PQ有一个相同的根，那么𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑐𝑥2−𝑏𝑥+𝑎，解得：𝑥=1，𝑏=0，则𝑎+𝑐=0，故④正确；综上，正确的有①②③④401x的一元二次方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)有下列说法：①若𝑎−𝑏+𝑐=0，则𝑏2−4𝑎𝑐≥②若方程两根为−12，则2𝑎+𝑐=0；③若方程𝑎𝑥2+𝑐=0有两个不相等的实数根，则方程+𝑏𝑥+𝑐=0必有两个不相等的实数根；④若𝑏=2𝑎+3𝑐，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】①若𝑎−𝑏𝑐=0，那么𝑥=1为一个实数根，根据判别式即可判断；②把𝑥=−12代入方程，建立两个等式，即可得到2𝑎+𝑐=0；③方程𝑎𝑥2+𝑐=0有两个不相等的实根，则Δ=−4𝑎𝑐>0，得出𝑏2−4𝑎𝑐>0，即可判断方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐=0必有两个不相等的实数根；④若𝑏=2𝑎3𝑐，计算根的判别式的值得到Δ=4(𝑎+𝑐)2+5𝑐2>0，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断．【详解】解：①若𝑎−𝑏+𝑐=0，方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐=01，又𝑎≠0，则𝑏2−4𝑎𝑐≥0，故正确；②两根关系可知，−12=𝑎，整理得：2𝑎+𝑐=0③若方程𝑎𝑥2+𝑐=0有两个不相等的实根，则−4𝑎𝑐>0，可知𝑏2−4𝑎𝑐>0，故方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0必有两个不相等的实数根，故正确；④若𝑏=2𝑎+3𝑐，则Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(2𝑎+3𝑐)2−4𝑎𝑐=4(𝑎+𝑐)2+5𝑐2>0，02】对于一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)，有下列说法：①若𝑎−𝑏+𝑐=0，则方程+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)必有一个根为−1；②若方程𝑎𝑥2+𝑐=0有两个不相等的实根，则方程+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)必有两个不相等的实根；③若𝑐是方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)𝑎𝑐𝑏+1=0成立．其中正确的有（ B．1 C．2 D．3【答案】【详解】解：①当𝑥=−1时，𝑎×(−1)2+𝑏×(−1)+𝑐=𝑎−𝑏+𝑐=0，所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠②方程𝑎𝑥2+𝑐=0有两个不相等的实根，则−4𝑎𝑐>0，那么𝑏2−4𝑎𝑐>0，故方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐=0(𝑎≠0)有两个不相等的实根，故②③由𝑐是方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根，得𝑎𝑐2+𝑏𝑐+𝑐=0．当𝑐≠0，则𝑎𝑐+𝑏+1=0；当𝑐=0𝑎𝑐𝑏10，故③不一定正确．𝑥<03（24-25八年级下·陕西西安·月考x

<3𝑥−2①当𝑎≤时，不等式组无解；②当𝑎=10；③当不等式组的解集为−2<𝑥<4𝑎≤4；④当不等式组只有两个整数解时，0<𝑎≤1．其中说法正确的有几个（ B．2 C．3 D．4【答案】先解不等式组，再根据无解判断①，然后令𝑎1，可得−2𝑥1，根据整数解判断②，接下来根据不等𝑥<𝑥>−2当𝑎≤−2𝑥<当𝑎=1𝑥>−2的解集为−2<𝑥<所以不等式组的整数解有当不等式组的解集是−2<𝑥<4时，𝑎=4；所以0<𝑎≤1．正确的有①④2个．𝑥≤04】已知关于𝑥𝑥>𝑎①若𝑎=−3，则𝑥=2②若该不等式组无解，则𝑎>③若该不等式组只有三个整数解，则0<𝑎<④若原不等式组的解集为−5<𝑥≤3时，则𝑎=其中正确的 （写出所有正确结论的序号【答案】𝑥≤【详解】解：∵关于𝑥𝑥>𝑎∴当𝑎=−3时，−3<𝑥≤∴𝑥2是该不等式组的一个解，𝑥≤∵𝑥>𝑎∴𝑎≥3，𝑥≤∵𝑥>𝑎∴0≤𝑎<1，𝑥≤∵关于𝑥𝑥>𝑎的解集为−5<𝑥≤∴𝑎=−5，故④05】关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥𝑛=0，下列说法：①若𝑚−2𝑛=1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若𝑛是方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0的一个根，则𝑚+𝑛=−1；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为40°；④一元二次方程−𝑥2+3𝑥4=0，由根与系数的关系，可得𝑥1+𝑥2=3,𝑥1𝑥2=−4．正确的个数是（） 【答案】根据根的判别式可以判断①；将𝑛代入方程𝑥2+𝑚𝑥𝑛=0，可得𝑛(𝑛𝑚1)=0，即可判断②；分类讨【详解】解：①∵𝑚−2𝑛=∴𝑚=1+Δ=𝑚2−4𝑛=(1+2𝑛)2−4𝑛=1+4𝑛+4𝑛2−4𝑛=1+4𝑛2≥1>②若𝑛是方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0则代入得𝑛2+𝑚𝑛+𝑛=0，即𝑛(𝑛+𝑚+1)=若𝑛=0，则𝑚+𝑛不一定为−1；若𝑛≠0，则𝑚+𝑛=−1，故②错误当等腰三角形顶角为锐角时，如图，𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐵𝐷此时∠𝐴=90°−∠𝐴𝐵𝐷=90°−50°=当等腰三角形顶角为钝角时，如图，𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐵𝐷此时∠𝐵𝐴𝐶=90°+∠𝐴𝐵𝐷=90°+50°=140°，④方程−𝑥2+3𝑥+4=0即𝑥2−3𝑥−4=由根与系数关系，𝑥1+

−3=3，𝑥1𝑥 =−4，故④正确2=− ∴正确的有①和④2个．01（2025·山东淄博·一模1E为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷PB出发沿折线𝐵𝐸−𝐸𝐷−𝐷𝐶CQB出发沿𝐵𝐶C停止，它们运动的速度都是1cm/sPQ同时开始运动，设运动时间为𝑡(s)𝐵𝑃𝑄的面积为𝑦(cm2)yt2所示．给出下列结论：①当0<𝑡≤10△𝐵𝑃𝑄是等腰三角形；②𝑆△𝐴𝐵𝐸=48cm2；③当14<𝑡<22时，𝑦=110−5𝑡；④在运动过程中，使得𝐴𝐵𝑃P3个；𝐵𝑃𝑄𝐴𝐵𝐸相似时，𝑡=14.5．对以上结论判断正确的是（） 【答案】23𝑃到达𝐸𝑄同时到达𝐶𝐵𝐶𝐵𝐸10𝐸𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐸𝐷=6，由勾股定理求得𝐴𝐵=8【详解】解：由图可知，𝐵𝐶=𝐵𝐸=10，𝐸𝐷=14−10=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=10，𝐴𝐵=∴𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐸𝐷=10−4=∴

=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=对于①，当0<𝑡≤10时，点𝑃在𝐵𝐸上，点𝑄在𝐵𝐶上，且𝐵𝑃=∴△𝐵𝑃𝑄是等腰三角形，①对于②，𝑆△𝐴𝐵𝐸=1×𝐴𝐵×𝐴𝐸=1×8×6=24cm2，② 对于③∵𝐵𝐸+𝐸𝐷=14cm，𝐵𝐸𝐸𝐷+𝐷𝐶=10+4+8=当14<𝑡<22时，点𝑃在𝐶𝐷上，点𝑄在𝐶∴𝑦

1×10×(22−𝑡)=110−5𝑡，③对于④，如图，以点𝐵为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，交𝐵𝐸于𝑃1，当点𝑃位于𝑃1△𝐴𝐵𝑃以点𝐴为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，交𝐸𝐷于𝑃2，当点𝑃位于𝑃2△𝐴𝐵𝑃作𝐴𝐵的垂直平分线，交𝐵𝐸于𝑃3，交𝐶𝐷于𝑃4，当点𝑃位于𝑃3或𝑃4△𝐴𝐵𝑃是等腰三角形．综上，运动过程中，使得△𝐴𝐵𝑃是等腰三角形的点𝑃一共有4个，④错误；对于⑤∵△𝐵𝐸𝐴当且仅当点𝑃在𝐶𝐷上时，𝐵𝑃𝑄𝐵𝐸𝐴相似，此时𝐵𝑄=𝐵𝐶=10，𝑃𝑄=22−𝑡，且∠𝐴=∠𝐵𝑄𝑃= ∴𝐵𝑄=𝑃𝑄或𝑃𝑄= 即10=22−𝑡或22−𝑡=解得𝑡=14.5或𝑡=

3（舍去当𝐵𝑃𝑄𝐵𝐸𝐴相似时，𝑡=14.5，⑤正确． 1，直𝑦=−𝑥A，BABABCD．①△𝐴𝑂𝐵是等腰三角形；②𝑂𝑃2=2𝐴𝑃⋅③𝑆△𝐴𝑂𝐵=3𝑆△𝐴𝑂𝑃；④当𝑡=2时，正方形ABCD的周长是16． 【答案】

𝑦=A、BPA、BA0、∴A、B𝑦=∴将x=t分别代 1、y=-x有𝑦=𝑡，𝑦𝑦= ∴0P=t、PA=𝑡、PB=t、AB=PA+PB=3𝑡，即𝐴𝐵2=(3𝑡)2= ∴𝐴𝑂2=𝑡2+(𝑡)2=5𝑡2，𝐵𝑂2=𝑡2+(−𝑡)2= ∴△A0B不是等腰三角形，即①∴𝑂𝑃2=

=2×𝐴𝑃⋅𝑃𝐵=2×2⋅𝑡

𝑡2，即②

△𝐴𝑂𝐵=2×𝐴𝐵×𝑂𝑃=2×2×𝑡=4，△𝐴𝑂𝑃=2×𝐴𝑃×𝑂𝑃=2×2×𝑡=4∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=3𝑆△𝐴𝑂𝑃，即③∵ABCD的周长为4𝐴𝐵=

×4=∴t=212，即④错误，A、B的坐标是解答本题的关键．02】如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)x轴交于点𝐴(5,0)yC𝑥=2，结合图像分析如下结论：𝑎𝑏>0；②𝑎+𝑐>𝑏；③当𝑥>0时，yx的增大而增大；④函数𝑦=𝑘𝑥-𝑏(𝑘≠0)A，则点𝐸(𝑘,𝑏)在第三象限；⑤M是抛物线的顶点，若𝐶𝑀⊥𝐴𝑀𝑏=

6．其中正确的有（ B．2 C．3 D．4【答案】【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，代入解析式可得𝑎−𝑏+𝑐=0；③当𝑥>2时，𝑦随𝑥的增大而增大；④Ak与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥−5)=𝑎(𝑥−2)2−9𝑎，可得𝑀(2,−9𝑎)，𝐶(0,−5𝑎)，过点𝑀作𝑀𝐻⊥𝑦轴于点𝐻，设对称轴交𝑥轴于点𝐾．利用相似三角形的性质，构建方程求出𝑎，进而根据𝑏=−4𝑎求出𝑏．∵∴𝑎>∵对称轴是直线𝑥=∴−𝑏=∴𝑏=−4𝑎<∵抛物线交𝑦∴𝑐<∴

>0，故①x轴交于点𝐴(5,0)，对称轴是直线𝑥=x轴的另一个交点坐标为(2×2−5,0)，即(−1,0)，将(−1,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，得𝑎−𝑏+𝑐=0，∴𝑎+𝑐=𝑏，故②观察图象可知，当𝑥2时，𝑦随𝑥的增大而增大，∵一次函数𝑦=𝑘𝑥-𝑏(𝑘≠0)将𝐴(5,0)代入𝑦=𝑘𝑥−𝑏得0=解得𝑘=∵𝑏<∴𝑘<∵抛物线经过设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥1)(𝑥−5)=∴过点𝑀作𝑀𝐻⊥𝑦轴于点𝐻，设对称轴交𝑥轴于点∵𝐴𝑀⊥𝐶𝑀，∴∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐾𝑀𝐻=∴∠𝐶𝑀𝐻=∵∠𝑀𝐻𝐶=∠𝑀𝐾𝐴=∴△𝑀𝐻𝐶∽△∴𝑀𝐾

∴9𝑎

3∴𝑎2=∵𝑎>∴𝑎 ∴𝑏=−4× 26=−故⑤故正确的有①④⑤3个．C．05

2与双曲

A、B两点，A3𝑦= 𝑦=𝑥(𝑘> ①k=3；②x的不等式3𝑥−𝑥<0的解集为𝑥<−3或0<𝑥<3；③若双曲线𝑦=𝑥(𝑘>0)C构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数( A．4 B．3 C．2 D．1【答案】【详解】分析：①

2与双曲

A、B两点，A3𝑦= 𝑦=𝑥(𝑘>Ak值；②Bx 等式3𝑥−𝑥<0的解集；③CCD⊥xDAAE⊥ES△AOC=S△OCD+S

(k＞0)C6CAEDC

梯形 答案；④MN∥ACMN=ACM、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即∵直线𝑦=

2𝑥与双曲线𝑦=

(𝑘>0)A、B两点，A∴点∴点A的纵坐标为：y=①∵直线𝑦=

2𝑥与双曲线𝑦=

(𝑘>0)A、B ∴x的不等式3𝑥−𝑥<0的解集为𝑥<−3或0<𝑥<②CCD⊥xDAAE⊥

(k＞0)C∴y=6y=𝑥∴S△AOC=S△OCD+SAEDC-S△AOE=SAEDC=2×（2+6）×（3-③MN∥ACMN=ACM、N、A、C或④304】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴,𝐵分别在𝑥,𝑦轴的正半轴上，始终保持𝐴𝐵6，以𝐴𝐵为边向右上方作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐶,𝐵𝐷交于点𝑃，连接𝑂𝑃．（1）直线𝑂𝑃的函数表达式为𝑦=𝑥；（2）𝑂𝑃的取值范围是3<𝑂𝑃<6；（3）若𝐵点的坐标为(4−2,0)时，则𝑂𝑃=42；（4）连接𝑂𝐷，则𝑂𝐷的最大值为（5）四边形𝐴𝑂𝐵𝑃18．其中结论正确的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【分析】如图：作𝑃𝑀⊥𝑦轴，𝑃𝑁⊥𝑥轴，再证△𝐴𝑃𝑀≌△𝐵𝑃𝑁(AAS)可得𝑃𝑀=𝑃𝑁，进而可求得直线𝑂𝑃的−时同理可得：𝑂𝐵=4+2），当𝑂𝑃=2时，B点的坐标为4+2，0或4−2，0；取𝐴𝐵的中点Q，连接𝑂𝑄，𝑃𝑄，𝐷𝑄，𝑂𝐷，则𝐴𝑄=3，𝑄𝐷=35，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得𝑂𝑄=1𝐴𝐵=3，𝑃𝑄

1𝐴𝐵=3，由三角形三边关系可得：𝑂𝑃≤𝑂𝑄+𝑂𝑃=6O、Q、P𝑂𝑃>𝐵𝑃−𝑂𝐵，0<𝑂𝐵<6，可得𝑂𝑃>𝐵𝑃=32，（当𝑂𝐴<𝑂𝐵时同理可得：𝑂𝑃>32），即可得<𝑂𝑃≤6,即②错误；由三角形三边关系可得：𝑂𝐷≤𝑂𝑄+𝐷𝑄=3+35O、Q、D在同一直线上时【详解】解：如图：作𝑃𝑀𝑦轴，𝑃𝑁𝑥轴，则四边形𝑃𝑀𝑂𝑁∴∠𝐴𝑀𝑃=∠𝐵𝑁𝑃=90°，∠𝑀𝑃𝑁=∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐴𝐵=∴𝐴𝐶与𝐵𝐷互相垂直且平分，𝐴𝐵=𝐴𝐷=6，则𝐴𝑃=𝐵𝑃，∠𝐴𝑃𝐵=90°，𝐴𝐵=∴∠𝐴𝑃𝐵−∠𝑀𝑃𝐵=∠𝑀𝑃𝑁−∠𝑀𝑃𝐵，𝐵𝑃=3∴∠𝐴𝑃𝑀=∴△𝐴𝑃𝑀≌△∴𝑃𝑀=𝑃𝑁，（当𝑂𝐴<𝑂𝐵时同理P在第一象限，设𝑃(𝑎,𝑎)，直线𝑂𝑃的函数解析式为：𝑦=代入可得：𝑎=𝑘𝑎,可得𝑘=1，即直线𝑂𝑃的函数表达式为𝑦=𝑥,故①∵𝑃𝑀=𝑃𝑁，𝑃𝑀𝑦轴，𝑃𝑁𝑥∴四边形𝑃𝑀𝑂𝑁是正方形，则𝑂𝑃=2𝑃𝑁，𝑂𝑁=当𝑂𝑃=42时，𝑂𝑁=𝑃𝑁=4，则𝐵𝑁 =2，则𝑂𝐵=𝑂𝑁−𝐵𝑁=4−2，（当𝑂𝐴<𝑂𝐵时理可得：𝑂𝐵=𝑂𝑁+𝐵𝑁=4+∴当𝑂𝑃=42时，B4+2，04−2，0，故③𝐴𝐷2+取𝐴𝐵的中点Q，连接𝑂𝑄，𝑃𝑄，𝐷𝑄，𝑂𝐷，则𝐴𝑄=3，𝑄𝐷 =𝐴𝐷2+∵∠𝐴𝑃𝐵=90°，∠𝐴𝑂𝐵= ∴𝑂𝑄=2𝐴𝐵=3，𝑃𝑄=2𝐴𝐵=由三角形三边关系可得：𝑂𝑃≤𝑂𝑄𝑂𝑃=6O、Q、P∵𝑂𝑃>𝐵𝑃−𝑂𝐵，0<𝑂𝐵<∴𝑂𝑃>𝐵𝑃=32，（当𝑂𝐴<𝑂𝐵时同理可得：𝑂𝑃>32）则 <𝑂𝑃≤6，故②错误由三角形三边关系可得：𝑂𝐷≤𝑂𝑄+𝐷𝑄=3+35O、Q、D∴𝑂𝐷的最大值为3+35，故④∵△𝐴𝑃𝑀≌△∵𝑂𝑃= <𝑂𝑃≤∴𝑃𝑁的最大值为3∴四边形𝐴𝑂𝐵𝑃面积的最大值为𝑃𝑁2=

=18,即⑤综上：正确的有①④⑤3个．051，在△ABC中，∠C=90°PC1cm/sCA→AB匀速运动，BPQBBCP到BQCPts，△PQCScm2，St的2所示（0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（0），4＜t＜8时，函数图象为 抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②S=5时，t=56．下列结论正确的是（ 【答案】②StS=5tt0＜t≤3PACRt△ABC

=6，即1BC×3=6 0＜t≤3PAC上移动，∵PBQ∴t=4sQ3<t≤4时，PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t，PPH⊥BCH，则∴𝑃𝐻=𝐴𝐶= ∴PH=5PB=5（8- =2×4×5（8-6=-5t+54＜t＜8PPH⊥BCH． =1×（8-

（8-33

10−5𝑡+5 0＜t≤3时，2t=53≤t≤4时，−6t+48＝6，解得：t=7（舍去 2 2 当4＜t＜8时，𝑡−𝑡+=，解得t=6或t=10（舍去 ∴t为56时，△PQC的面积为故②AC、BC的长是解题的关键．（限时训练：30分钟1．（2026·山东滨州·一模）已知函数𝑦=3−|𝑥−2|的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（点A的坐标为 B．直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+C．不等式3−|𝑥−2|>0的解集为−1<𝑥<4D．当𝑥>1时，yx【答案】【分析】去绝对值化简得当𝑥≥2时，𝑦=−𝑥5，𝐵(2,3)，当𝑥<2时，𝑦=𝑥1，结合图象逐项判断即可【详解】解：当𝑥≥2时，𝑦=3−(𝑥−2)=−𝑥5，令𝑦>0，则−𝑥5>0，解得：𝑥<5；当𝑥=2时，𝑦=−2+5=3，则𝐵(2,3)；当𝑥<2时，𝑦=3+𝑥−2=𝑥1，令𝑦>0，则𝑥1>0，解得𝑥>A、当𝑥≥2时，𝑦=0，则−𝑥+5=0，解得𝑥=5，则𝐴(5,0)B、当𝑥≥2时，𝑦=−𝑥+5，即直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+5C、不等式3−|𝑥−2|>0的解集为−1<𝑥<5D、当𝑥>2时，yx2．如图，已知直线𝑦=𝑘1𝑥+𝑏x轴、yP、Qy𝑥A（－2，m）、 = 1

𝑥x<－20<x<1，其中正确的结论有（ B．2 C．3 D．4【答案】【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到𝑘

>0，故①错误；把𝐴(−2,𝑚)、𝐵(1,𝑛)代入𝑦 中1 到−2𝑚=𝑛故②正确；把𝐴(−2,𝑚)、𝐵(1,𝑛)代入𝑦=𝑘1𝑥+𝑏得到𝑦=−𝑚𝑥−𝑚，求得根据三角形的面积公式即可得到

=

；故③正确；根据图象得到不等式𝑘𝑥+𝑏>𝑘2

𝑥<−2或0<𝑥<1，故④【详解】解：①由图象知，𝑘1<0，𝑘2<∴𝑘1𝑘2>0，故①②把𝐴(−2,𝑚)、𝐵(1,𝑛)代入𝑦=𝑥中得−2𝑚=∴𝑚

1𝑛=0，故②③把𝐴(−2,𝑚)、𝐵(1,𝑛)代入𝑦=𝑘𝑥𝑏得{𝑚=−2𝑘1+ 𝑛=𝑘1+𝑏

=解得{𝑏=∵−2𝑚=∴𝑦=∵已知直线𝑦=𝑘1𝑥+𝑏与𝑥轴、𝑦轴相交于𝑃、𝑄∴∴𝑂𝑃=1，𝑂𝑄=∴

Δ𝐴𝑂𝑃=

Δ𝐵𝑂𝑄=∴𝑆Δ𝐴𝑂𝑃=𝑆Δ𝐵𝑂𝑄，故③④由图象知不等式𝑘𝑥+𝑏>𝑘2的解集是𝑥<−2或0<𝑥<1，故④ 3．如图，一次函数𝑦𝑥(𝑥≥0)与反比例函数𝑦=9(𝑥>0)CAD，交𝑦=𝑥BC作𝐶𝐸𝐴𝐷EA1①线段𝐴𝐵9；②C的坐标为(3,3)；③当𝑥>3𝐵𝐸:𝐴𝐸=1∶3．其中结论正确的个数是（ 【答案】【详解】∵A1，又𝐴𝐷⊥𝑥轴，令𝑥=1

，𝑦=𝑥=𝑦=𝑥=1=∴𝐴𝐵=9−1=8，①令𝑥=𝑥，解得𝑥=3（负值已舍去令𝑥=3，得𝑦==C∴当𝑥>3时，一次函数的值大于反比例函数的值，③∵𝐶𝐸⊥∴𝐶𝐸𝑥∴𝐵𝐸=3−1=2，𝐴𝐸=9−3=∴𝐵𝐸:𝐴𝐸=2∶6=1∶3，④正确，3，x＝10A＝0Dy＝kx＋cxC（CB的右侧），则下列结论①abc>0；②2a＋b＝0；③－1<k<0；④k>a＋b．其中结论正确的是（） 【答案】∵∴𝑎>∵抛物线对称轴是直线𝑥=∴𝑏<0且𝑏=∵抛物线与𝑦∴𝑐>∴①𝑎𝑏𝑐>0②2𝑎𝑏=0直线𝑦=𝑘𝑥+𝑐∴𝑘<∵𝑂𝐴=∴点𝐴的坐标为直线𝑦=𝑘𝑥+𝑐当𝑥=𝑐时，𝑦>∴𝑘𝑐+𝑐>0可得𝑘>∴③−1<𝑘<0∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑐与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐∴𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘𝑥+得𝑥1=0，𝑥2=由图像知𝑥2> 𝑎>∴𝑘>𝑎+正确；5．如图，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与x轴交于点𝐴1，0、点B与y轴相交于点𝐶0，3，下列结论①𝑏=−2；②B−3，0；③−1，3；④直线𝑦=ℎDE，若𝐷𝐸<2h的取值范围是3<ℎ<4；⑤Q，使△𝑄𝐴𝐶的周长最小，则Q点坐标为−1，2．其中正确的有（）4 【答案】式即可求出抛物线的顶点坐标；④把𝑦ℎ带入后，即可表示出𝐷𝐸h的取值范围；⑤连接𝐵𝐶交Q，此时△𝑄𝐴𝐶Q点坐标．【详解】解：①∵抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与x轴交于点𝐴1，0，与y轴相交于点𝐶0，3−12+𝑏+𝑐=𝑏=

𝑐= ∴𝑐=3，故①②∵函数𝑦=−𝑥2−2𝑥+3∴−𝑥2−2𝑥+3=∴𝑥1=1,𝑥2=∴𝑥=−3时，𝑦=∴B−3，0，故②−𝑏

③

−4 −4−2

，故③(𝑥2+④把𝑦(𝑥2+解得：3<ℎ<∴h的取值范围是3<ℎ<4，故④⑤连接𝐵𝐶Q，此时𝑄𝐴𝐶的周长最小，直线𝐵𝐶𝑦=𝑥+3和对称轴𝑥=−1联立方程组，

<𝑥=𝑦=𝑥+3𝑥=解得𝑦=2∴Q点坐标为−1，2，故⑤正确综上所述，正确的结论为：①②④⑤4个．6．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐶=3，𝐴𝐷=3，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐶𝐷E，0，F===1𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，其中结论正确的个数有 B．2 C．3 D．4【答案】 𝑂𝐺=2𝐴𝐸=2𝐶𝐸1𝐵𝐶，判断②错误；计算得出𝑆△𝐴𝑂𝐺和𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积即可判断④∴∠𝐷=∵𝐷𝐶=3，𝐴𝐷= ∴tan∠𝐷𝐶𝐴=𝐶𝐷=∴∠𝐷𝐶𝐴=∴𝐴𝐹=𝐹𝐶，𝐴𝐸=∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐹𝐶𝐴=30°，∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐹𝐶𝐴=30°，∠𝐶𝐴𝐸=∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐸𝐶𝐴=∴𝐴𝐹=𝐹𝐶=𝐴𝐸=在Rt𝐴𝐷𝐹中，∠𝐷𝐴𝐹=90°−30°−30°=∴𝐷𝐹=tan30°⋅𝐴𝐷=3∴𝐸𝐹𝐴𝐶，即∠𝐴𝑂𝐸=

=1，故①∴𝑂𝐺

2𝐴𝐸

2𝐶𝐸

1𝐵𝐶，即𝐵𝐶<2𝑂𝐺，故②∵在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐶=3，𝐴𝐷=3，∠𝐷𝐶𝐴=∴𝐴𝐶=23，则𝐴𝑂=3，𝑂𝐸=

=

2△𝐴𝑂𝐸=2×2

×1=4而𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷×𝐷𝐶=3

=1𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，故④综上，①③④3个；7．（2024·湖南长沙·一模）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶．点𝐸是𝐴𝐶边上的中点，连接𝐵𝐸，将△𝐴𝐵𝐸绕𝐴点逆时针旋转90°△𝐴𝐶𝐷，延长𝐵𝐸交𝐷𝐶于点𝐺，连接𝐴𝐺，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐺，交𝐵𝐺于点𝐹．现有如下四个结论：①∠𝐴𝐺𝐷=45°；②𝐸𝐺:𝐺𝐶:𝐹𝐸=1∶2∶3；③𝐹𝐸−𝐸𝐺=𝐺𝐶；④𝑆△𝐴𝐷𝐶=2𝑆△𝐴𝐸𝐹中正 B．2 C．3 D．4【答案】则∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐴𝐺𝐹=45°，故①A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶H，通过条件证得𝐹𝐻=𝐻𝐺=𝐻𝐴，𝐺𝐶=2𝐸𝐺，再通过条件证得𝐸𝐺𝐶𝐸𝐻𝐴(AAS)，结合对应边相等可得到𝐹𝐸=

，最后说明𝑆△𝐴𝐷𝐶≠2𝑆△𝐴𝐸𝐹，故能说明④𝐹𝐸=【详解】解：∵𝐴𝐵𝐸𝐴𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐵𝐸=𝐶𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐷𝐺，∠𝐷𝐴𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐸=∵𝐴𝐹⊥∴∠𝐹𝐴𝐺=∵∠𝐹𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐸𝐴𝐺+∠𝐺𝐴𝐷=∴∠𝐹𝐴𝐸=在𝐴𝐹𝐸与𝐴𝐺𝐷∠𝐴𝐸𝐹= 𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸=∴△𝐴𝐹𝐸≌△∴𝐴𝐹=𝐴𝐺，∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐹𝐺，𝐹𝐸=𝐴𝐹𝐺即∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐴𝐺𝐹=45°，故①A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶𝐴𝐹𝐺∴𝐹𝐻=𝐻𝐺=∴𝐸𝐴=𝐸𝐶

∵𝐴𝐵= ∴tan∠𝐴𝐵𝐸=𝐴𝐵=∵∠𝐴𝐵𝐸=∴tan∠𝐴𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐺𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐺𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐸𝐺𝐶=180°−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐵