2026年中考数学二轮复习 专题14 几何最值问题(高频考点专练)

专题 几何最值问聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型三隐圆模型题型七瓜豆模型实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升8～12分，多以选择、填空压轴题出现，少基础知识必备：段、周长、面积最值问题；形成“找模型→作辅助线→算结果”的解题思路。2026难度平稳：基础模型题占比60%，综合模型题占比40%，无超纲偏题；◆◆三边；圆上点到定点距离最值=半径±圆心距。核心模型：将军饮马（差最大）、造桥选址、隐圆（定角对定边、定长对定角、定点定长）、胡不归（1的线段和）、阿氏圆（带系数的圆上动点线段和）、费马点模型、瓜豆模型。核心转化：三◆◆对称法：定圆法：旋转法：函数法：设动点坐标，用二次函数/垂线段法：◆◆胡不归/题型 将军饮马问01】（22-23九年级上·安徽池州·期末）如图，𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=3PACP作𝑃𝐷𝐴𝐵D，则𝑃𝐵+𝑃𝐷的最小值为（ B． 【答案】B关于𝐴𝐶的对称点𝐵′，过点𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝐴𝐵D，交𝐴𝐶PP𝑃𝐵𝑃𝐷有最小值，连接𝐴𝐵′，根据对称性的性质，可知：𝐵𝑃𝐵′𝑃，𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵′𝐶，根据𝑆△𝐴𝐵𝐵′=+𝑆△𝐴𝐵′𝐶=2𝑆△𝐴𝐵𝐶，即可求出𝑃𝐵+𝑃𝐷B关于𝐴𝐶的对称点𝐵′，过点𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝐴𝐵D，交𝐴𝐶P，连接𝐴𝐵′，点P即为所求作的点，此时𝑃𝐵+𝑃𝐷有最小值，根据对称性的性质，可知：𝐵𝑃=在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,𝐴𝐶=4,𝐵𝐶=𝐴𝐶2+∴𝐴𝐵𝐴𝐶2+𝐴𝐵𝐶∴𝑆△𝐴𝐵𝐵′=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐵′𝐶=即2×𝐴𝐵

𝐷=2×𝐵𝐶⋅∴5𝐵′𝐷=5∴𝐵′𝐷=501𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=68°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃为线段𝐵𝐷上一动点，𝑄为边𝐴𝐵上一动点，当𝐴𝑃+𝑃𝑄的值最小时，∠𝐴𝑃𝐵的度数是（） 【答案】【分析】先在𝐵𝐶上截取𝐵𝐸=𝐵𝑄，连接𝑃𝐸𝑃𝐵𝑄≌𝑃𝐵𝐸(SAS)，得出𝑃𝐸=𝑃𝑄𝐴𝑃𝑃𝑄=𝐴𝑃𝑃𝐸A、P、E在同一直线上，且𝐴𝐸𝐵𝐶时，𝐴𝑃𝑃𝐸最小，即𝐴𝑃𝑃𝑄最小，过A作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶E，交𝐵𝐷P，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在𝐵𝐶上截取𝐵𝐸=𝐵𝑄，连接𝑃𝐸∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷

1∠𝐴𝐵𝐶=∵𝐵𝑃=∴△𝑃𝐵𝑄≌△∴𝑃𝐸=∴𝐴𝑃+𝑃𝑄=𝐴𝑃+∴A、P、E在同一直线上，且𝐴𝐸𝐵𝐶时，𝐴𝑃𝑃𝐸最小，即𝐴𝑃𝑃𝑄A作𝐴𝐸𝐵𝐶E∵∠𝐴𝐸𝐵=90°，∠𝐶𝐵𝐷=∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝐸𝐵∠𝐶𝐵𝐷=124°．三角形的外角的性质，解题的关键是找出使𝐴𝑃+𝑃𝑄P的位置．02𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵𝐴𝐶,𝐵𝐶=6,𝑆△𝐴𝐵𝐶=27，直线𝐸𝐹垂直平分线段𝐴𝐵，若点𝐷BC的中点，点𝐺为直线𝐸𝐹上一动点，则△𝐵𝐷𝐺周长的最小值为（） 【答案】⊥【详解】解：连接∴𝐴𝐺=∵点𝐷为边𝐵𝐶的中点，𝐵𝐶=∴𝐵𝐷=2𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐺=𝐵𝐺𝐷𝐺𝐵𝐷=𝐴𝐺𝐷𝐺+𝐵𝐷≥𝐴𝐷+𝐵𝐷𝐺周长的最小值为𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷为边𝐵𝐶∴𝐴𝐷⊥∵𝐵𝐶=6,𝑆△𝐴𝐵𝐶=∴1×6𝐴𝐷=解得𝐴𝐷=𝐵𝐷𝐺周长的最小值为9+3=12，03】（2025·四川遂宁·一模）如图，点𝐸𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上，𝐵𝐸4，射线𝐶𝐷𝐵𝐶 【答案】

+的值最小，由题意可得∠𝐹𝐸′𝐵=30°，则𝐵𝐸′=2𝐵𝐹=10，根据勾股定理即可求出𝐸′𝐹的值，即𝐸𝑃+𝐹𝑃的E点关于𝐶𝐷的对称点𝐸′，过𝐸′作𝐸′𝐹⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵F，交𝐶𝐷连接𝑃𝐸，则𝑃𝐸=∴𝐸𝑃+𝐹𝑃=𝑃𝐸′+𝑃𝐹≥当𝐸′、P、F三点共线，且𝐸′𝐹⊥𝐴𝐵时，𝐸𝑃+𝐹𝑃𝐴𝐵𝐶∴∠𝐵=∵𝐸′𝐹⊥∴∠𝐹𝐸′𝐵=∴𝐵𝐸′=∵𝐵𝐹=5，𝐵𝐸=4∴𝐸′𝐵=在Rt△𝐵𝐹𝐸′

=5∴𝐸𝑃𝐹𝑃=𝐹𝐸′=53．04】（2024四川成都中考真题）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知𝐴(3,0)，𝐵(0,2)，过点𝐵作轴的垂线𝑙，𝑃为直线𝑙上一动点，连接𝑃𝑂，𝑃𝐴，则𝑃𝑂+𝑃𝐴的最小值 【答案】【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线𝑙的对称点连𝐴′𝑂交直线𝑙C，连𝐴𝐶，得到𝐴𝐶=𝐴′𝐶，𝐴′𝐴⊥𝑙，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当𝑂,𝑃,𝐴′三点共线时，𝑃𝑂+𝑃𝐴的最小值为𝐴′𝑂，再利用勾股定理求𝐴′𝑂即可．A关于直线𝑙的对称点𝐴′，连𝐴′𝑂交直线𝑙C，连𝐴𝐶，则可知𝐴𝐶=𝐴′𝐶，𝐴′𝐴⊥𝑙，∴𝑃𝑂+𝑃𝐴=𝑃𝑂+𝑃𝐴′≥即当𝑂,𝑃,𝐴′三点共线时，𝑃𝑂+𝑃𝐴的最小值为∵直线𝑙y∴𝐴′𝐴⊥𝑥∴𝐴𝑂=3,𝐴𝐴′=∴在Rt△𝐴′𝐴𝑂𝑂𝐴2+𝑂𝐴2+

=3232+题型二造桥选址问题【典例01】（2024四川泸州一模）如图，在直角坐标系中，𝐴(−2,0)，𝐵(0,2)，C是𝑂𝐵的中点，点D在第则𝐵𝑃+𝑃𝐻+𝐻𝑄的最小值为 【答案】𝑃𝐻𝑂𝐶=𝐵𝐶=1，再证明四边形𝑃𝐵𝐶𝐻是平行四边形，则𝐵𝑃=𝐶𝐻，在𝐵𝑃𝑃𝐻𝐻𝑄中，𝑃𝐻=1是定值，所以只要𝐶𝐻𝐻𝑄的值最小就可以，当𝐶、𝐻、𝑄在同一直线上时，𝐶𝐻𝐻𝑄的值最小，利用平行四边形的性【详解】解：如图，连接∵∴𝑂𝐵=2，𝑂𝐴=𝐶是𝑂𝐵∴𝐵𝐶=𝑂𝐶=∵∠𝑃𝐻𝑂=∠𝐶𝑂𝐻=∠𝐷𝐶𝑂=四边形𝑃𝐻𝑂𝐶∴𝑃𝐻=𝑂𝐶=𝐵𝐶=∵𝑃𝐻∥∴四边形𝑃𝐵𝐶𝐻∴𝐵𝑃=∴𝐵𝑃+𝑃𝐻+𝐻𝑄=𝐶𝐻+𝐻𝑄+要使𝐶𝐻𝐻𝑄的值最小，只需𝐶、𝐻、𝑄∵点𝑄是点𝐵关于点𝐴∴𝑄(−4,−2)，又点𝐶(0,1)，(0+4)2+(1(0+4)2+(1+此时，𝐵𝑃𝑃𝐻𝐻𝑄=𝐶𝐻𝐻𝑄𝑃𝐻=𝐶𝑄1=5+1=6，即𝐵𝑃+𝑃𝐻+𝐻𝑄的最小值，6；【变式01】如图，已知直线𝑙1∥𝑙2，𝑙1、𝑙2之间的距离为8，点P到直线𝑙1的距离为6，点Q到直线𝑙2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线𝑙2上有一动点B，满足AB⊥𝑙2，且PA+AB+BQ最小，此时 【答案】PE⊥𝑙1E交𝑙2FPFPC=8QC交𝑙2BBA⊥𝑙1APA+AB+BQQD⊥PFDRt△PQDDQABCP是平行四边形，PE⊥𝑙1E交𝑙2FPFPC=8QC交𝑙2BBA⊥𝑙1AQD⊥PFRt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4 =∴ABCP =02】如图，抛物线𝑦=1𝑥2−4𝑥+6yAxB，线段𝐶𝐷移动（CD下方），且𝐶𝐷=3．当四边形𝐴𝐵𝐶𝐷D的坐标为（ 【答案】D的坐标；xEE3F点，连接𝐴𝐹D点，如图，∵𝐶𝐷=𝐸𝐹=3，𝐶𝐷∥𝐸𝐹，四边形𝐶𝐷𝐹𝐸∴𝐶𝐸=∵𝐶𝐵=∴𝐶𝐵=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵+𝐶𝐷+𝐴𝐷+𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷+𝐷𝐹=𝐴𝐵+𝐶𝐷+此时四边形𝐴𝐵𝐶𝐷当𝑦=

时 −4𝑥+6=解得𝑥1=2,𝑥2=∴∴抛物线的对称轴为直线𝑥=当𝑥=0时，𝑦=1𝑥2−4𝑥+6=∴设直线𝐴𝐹的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏=把𝐴(0,6)，𝐹(6,3)6𝑘𝑏=3𝑘=−解 2𝑏=∴直线𝐴𝐹的解析式为𝑦=−𝑥+当𝑥=4

𝑦=−2𝑥+6=∴𝐷(4,4)．上的两个动点且𝑃𝑄=1，连结𝑃𝐸、𝐷𝑄，则𝑃𝐸+𝐷𝑄的最小值为 【答案】【分析】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，把△𝐸𝐵𝑃向右平移1个单位长度，使点𝑃与点𝑄重合，得到△𝐸′𝑄𝐵′，作点𝐸′关于𝐵𝐶的对称点𝐹，连接𝑄𝐹，则有𝐷𝑄+𝑃𝐸=𝐷𝑄+𝑄𝐹，当点𝐹、𝑄、𝐷三点共线时𝐷𝑄+𝑄𝐹最短，利用勾股定理求出𝐹𝐷的长度，即为𝐷𝑄+𝑃𝐸的最小值．【详解】解：如下图所示，把△𝐸𝐵𝑃向右平移1个单位长度，使点𝑃与点𝑄△𝐸′𝑄𝐵′，延长交𝐴𝐷M，则四边形𝐴𝐵𝐵′𝑀∴𝐵′𝑀=𝐴𝐵=4，𝐴𝑀=𝐵𝐵′=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=4，∠𝐵=∠𝐶=则𝐸′𝐵′=𝐸𝐵=𝐴𝐵=由平移的性质可知𝐸𝐵𝑃≌∴𝐸′𝑄=作点𝐸′关于𝐵𝐶的对称点𝐹，连接𝑄𝐹，则𝑄𝐸′=𝑄𝐹，∴𝑄𝐹=∴𝐷𝑄+𝑃𝐸=𝐷𝑄+当点𝐹、𝑄、𝐷三点共线时𝐷𝑄𝑄𝐹∵𝐴𝑀=𝐵𝐵′=1，𝐵′𝑀=𝐴𝐵=∴𝑀𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝑀=4−1=3，𝐵′𝐹=𝐸𝐵=∴𝐹𝑀=𝐵′𝐹+𝐵′𝑀=2+4=𝐷𝑀2+在𝐷𝑀2+

=332+∴𝐷𝑄+𝑃𝐸的最小值是32+故答案为：31，△𝐴𝐵𝐶、△𝐵𝐶𝐷都是等边三角形，𝑂是𝐴𝐵的中点，建立如图平面直角坐标系，点𝐶坐标为 ，点𝐵标为求点𝐴、𝐷2，点𝐸为𝑦轴上一点，连接𝐵𝐸、𝐷𝐸，求𝐵𝐸𝐷𝐸3，点𝑀为𝐶𝐷中点，线段𝑃𝑄在𝑦轴上滑动，且𝑃𝑄=3，连接𝑃𝑀、𝐵𝑄，请直接写出𝑀𝑃+𝑃𝑄+【答案】(1)点𝐴坐标为(−3,0)，点𝐷坐标为 (2)6(2)6(3)5⊥=都是等边三角形，所以∠𝐶𝑂𝐴=∠𝐷𝑇𝐵=90°，从而证明△𝐴𝑂𝐶𝐵𝑇𝐷(AAS)，所以𝐷𝑇=𝑂𝐶=3𝐵𝑇=𝑂𝐴=3，则𝑂𝑇=𝑂𝐵+𝐵𝑇=3+3=6，故点𝐷坐标为 𝐵𝐸𝐷𝐸=𝐴𝐸𝐷𝐸=𝐴𝐷，即𝐵𝐸𝐷𝐸的最小值为𝐴𝐷，过𝐷作𝐷𝑇𝑥轴于𝑇，证明𝐴𝐶𝐷≌△所以∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=1∠𝐶𝐴𝐵=30°，在Rt△𝐴𝑇𝐷中，𝐴𝐷=2𝐷𝑇=63，从而可得𝐵𝐸𝐷𝐸的最小值6（3）连接𝐵𝑀、𝐴𝐷相交于点𝑁，同理可得：𝐵𝑀=33，𝐵𝑀∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝑁𝐵𝐷=30°，所以𝑁𝐵=𝑁𝐷=2𝑀𝑁，所以𝑀𝑁

3𝐵𝑀

3×

=3，即点向下平移3单位到点𝑁，此时𝑀𝑃+𝑄𝐵=4【详解】（1）解：过𝐷作𝐷𝑇𝑥轴于∴𝑂𝐴=𝐴𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶∴∠𝐶𝑂𝐴=∠𝐷𝑇𝐵=90°（三线合一∵∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝑇=60°，𝐶𝐴=∴△𝐴𝑂𝐶≌△∴𝐷𝑇=𝑂𝐶=33，𝐵𝑇=𝑂𝐴=∴𝑂𝑇=𝑂𝐵+𝐵𝑇=3+3=∴点𝐷坐标为 此时𝐵𝐸𝐷𝐸=𝐴𝐸𝐷𝐸=𝐴𝐷，即𝐵𝐸𝐷𝐸的最小值为𝐴𝐷，过𝐷作𝐷𝑇⊥𝑥轴于𝑇，∵𝐴𝐶=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐵=∴△𝐴𝐶𝐷≌△∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵

1∠𝐶𝐴𝐵=∴在Rt𝐴𝑇𝐷中，𝐴𝐷=2𝐷𝑇=6∴𝐵𝐸𝐷𝐸的最小值6同理可得：𝐵𝑀=33，𝐵𝑀𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝑁𝐵𝐷=∴𝑁𝐵=𝑁𝐷=2𝑀𝑁，所以𝑀𝑁=

3𝐵𝑀

3×

=即点𝑀向下平移3单位到点此时𝑀𝑃+𝑄𝐵=𝑁𝑄+𝑄𝐴=𝐴𝑁=2𝐵𝑁=2× =4所以𝑀𝑃𝑃𝑄𝑄𝐵=𝐴𝑁+𝑃𝑄=5题型三隐圆模型01】（2024·安徽·一模）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=8，𝐴𝐷=4E是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷内部一动点，且∠𝐵𝐸𝐶=90°P是𝐴𝐵边上一动点，连接𝑃𝐷、𝑃𝐸，则𝑃𝐷+𝑃𝐸的最小值为（） 【答案】

D．4【分析】根据∠𝐵𝐸𝐶=90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将𝑃𝐸O为𝐵𝐶E在以𝐵𝐶OO关于𝐴𝐵的对称图形（半圆𝑂′），E的对称点为𝐸1，连接𝑂′𝐸1,则𝑃𝐸=𝑃𝐸1，∴D、P、𝐸1、𝑂′共线时，𝑃𝐷+𝑃𝐸的值最小，最小值为𝐷𝐸1的长，如图所示，在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑂′中，𝐶𝐷=8，𝐶𝑂′=6，82+82+又∵𝑂′𝐸1=

=𝐷𝐸1=𝐷𝑂′−𝑂′𝐸1=8，即𝑃𝐷𝑃𝐸8，【变式01】如图，长方形ABCD中，𝐴𝐵=23，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为 【答案】FB为圆心，BCBD，然后根据隐圆问题FB为圆心，BC长为半径的圆弧，BDH，如图所示：∴FHDF∵ABCD是矩形，𝐴𝐵=2∴𝐷𝐶=𝐴𝐵=23,∠𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶2+∴𝐵𝐷𝐵𝐶2+∴𝐷𝐻=𝐵𝐷−𝐵𝐻=4−2=2DF2；2．F02】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=8，点𝐸为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷∠𝐴𝐸𝐵=90°．将𝐴𝐵𝐸绕点𝐴顺时针旋转90°𝐴𝐹𝐺，则𝐶𝐺的最小值为（A．2 B．2 C．4 D．2【答案】出点𝐺在⊙𝑂上运动，当𝐶、𝐺、𝑂共线时，𝐶𝐺有最小值𝐶𝐺=𝑂𝐶−𝑂𝐺，据此求解即可．由旋转的性质知：∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐸𝐵=∴点𝐺在𝑂∴当𝐶、𝐺、𝑂共线时，𝐶𝐺有最小值𝐶𝐺𝑂𝐶−𝑂𝐺，由旋转的性质知：∠𝐵𝐴𝐹=90°，𝐴𝐹=𝐴𝐵=4，∴𝑂𝐴=2,𝑂𝐷=2+8=42+∴𝑂𝐶 =42+∴𝐶𝐺的最小值为229−2，【变式03】如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=60°,𝐴𝐷=6，点E在边𝐶𝐷上，且𝐷𝐸=4，F是边𝐴𝐷上一动点，将△𝐷𝐸𝐹沿直线𝐸𝐹折叠，点D落在点N处，当点N在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内部（含边界）时，𝐷𝐹的长度的最大值 A．2 【答案】

C．4 ∵𝐷𝐸=𝑁𝐸,∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=𝐷𝐸𝑁∴𝐷𝐸=𝐷𝑁=𝐸𝑁=𝐷𝐹此 𝐷𝐹=2𝐷𝑁=过点𝑁作𝑁𝐺𝐴𝐷于点𝐺，分别过点𝐸,𝐷作𝐵𝐶的垂线，交𝐵𝐶的延长线于点四边形𝑀𝑁𝐺𝐷在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐴𝐷=6，点𝐸在边𝐶𝐷上，且𝐷𝐸=4，∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐴𝐵=6，𝐶𝐸=2，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐻=∴𝐶𝑀=cos∠𝐷𝐶𝐻⋅𝐶𝐷=3,𝐶𝐻=cos∠𝐷𝐶𝐻⋅𝐶𝐸=∴𝐺𝑁=

=33，𝐸𝐻

=3，𝐻𝑀=在Rt△𝑁𝐸𝐻中，𝑁𝐸=𝐷𝐸=4，𝐸𝐻=∴𝑁𝐻=∴𝑁𝑀 ∴𝐷𝐺=𝑁𝑀 设𝐷𝐹=𝑥，则𝑁𝐹=𝑥，𝐺𝐹 在Rt𝑁𝐺𝐹由勾股定理可知，𝐺𝑁2+𝐺𝐹2=即(33)+

+2−𝑥)2=解得𝑥=2∵213−2>N的运动轨迹并找到临界点是解题关键．=相交于点M，连接𝐶𝑀，则点E从点A运动到点B的过程中，线段𝐹𝑀扫过的面积 5【答案】𝐴𝐷𝐸𝐵𝐴𝐹(SAS)得到∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝐹，进而证得∠𝐴𝑀𝐷=90∘MADN，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷O，连接𝑂𝑁，利用正方形的性质和ONEABM在劣弧𝑂𝐴F在𝐵𝐶上运动，由线段𝐹𝑀扫过的面积𝑆=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝑁𝑂−𝑆扇形𝐴𝑁𝑂求解即可．正方形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=90∘，在△𝐴𝐷𝐸△𝐵𝐴𝐹中，𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐹𝐴𝐸=∴△𝐴𝐷𝐸≌△∴∠𝐴𝐷𝐸=∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐴𝑀𝐷=∴𝐴𝐹⊥M在以𝐴𝐷如图，连接 𝐵𝐷相交于O，设圆心为N，连接𝑂𝑁，则𝐴𝑁=𝐷𝑁=1𝐴𝐷=1，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐴𝑂𝐷=∴ON∴∠𝐴𝑁𝑂=2∠𝐴𝐷𝐵=90∘，𝑂𝑁=𝐴𝑁=∵𝐵𝐹=𝐴𝐸，𝐴𝐹⊥OEABM在劣弧𝑂𝐴F在𝐵𝐶FM扫过的面积是𝑆=

+

5

扇形𝐴𝑁𝑂=2×2×2+2×1×1−4𝜋

=5M的运动轨迹是解题的关键．题型四胡不归模型01𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°,∠𝐵=60°,𝐴𝐵=4D是𝐵𝐶边上的动点，则2𝐴𝐷𝐷𝐶的最小值是（） 【答案】=∠𝐷𝐶𝐹=30°,𝐷𝐹=1𝐷𝐶,2𝐴𝐷+𝐷𝐶=2(𝐴𝐷+1𝐷𝐶)=2(𝐴𝐷+𝐷𝐹)A，D，F在同一直线上，即𝐴𝐹⊥𝐶𝐸 𝐴𝐷𝐷𝐹的值最小，最小值等于垂线段𝐴𝐹=在𝑅t𝐷𝐹𝐶中，∠𝐷𝐶𝐹=∴𝐷𝐹=1𝐷𝐶，∵2𝐴𝐷+𝐷𝐶=2(𝐴𝐷+＝2(𝐴𝐷+∴A，D，F在同一直线上，即𝐴𝐹𝐶𝐸时，𝐴𝐷𝐷𝐹的值最小，最小值等于垂线段𝐴𝐹的长，此时，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=60°，𝐴𝐵𝐷∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐴𝐵=在𝑅t𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°,∠𝐵=60°,𝐴𝐵=∴𝐵𝐶=∴𝐷𝐶=∴𝐷𝐹=1𝐷𝐶=∴𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹=4+2=∴2(𝐴𝐷+𝐷𝐹)=2𝐴𝐹=∴2(𝐴𝐷𝐷𝐶)12，【变式01】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 【答案】【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝21𝑃𝐴+ (𝑃𝐹𝑃𝐵)＝2BFABF在∠BAC的外部作∠CAE＝15°BF⊥AEFADPA+2PB ∴∠CAD＝∠BAD＝2∠𝐵𝐴𝐶=2×30°=∴PA+2PB＝21𝑃𝐴+

1(𝑃𝐹 Rt△ABF∴BF＝AB•sin45°＝4×2=2∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42，故答案为：42．【变式02】如图平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中∠𝐴=60°，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=2，𝑃为边𝐶𝐷上一点，则3𝑃𝐷+2𝑃𝐵的最小 ．【答案】PHADADHHP=3DP，因此3PD+2PB=2( DP+PB)=2(PH+PB)H、P、BHP+PB有最小值，即3PD2PB【详解】如图，过点𝑃作𝑃𝐻𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∴∠𝐴=∠𝑃𝐷𝐻=∵PH∴∠𝐷𝑃𝐻=∴𝐷𝐻

1𝑃𝐷，𝑃𝐻=3𝐷𝐻

∴3𝑃𝐷+2𝑃𝐵=2(2𝑃𝐷+𝑃𝐵)=2(𝑃𝐻+当点𝐻，点𝑃，点𝐵三点共线时，HP+PB有最小值，即3𝑃𝐷2𝑃𝐵有最小值，此时𝐵𝐻⊥𝐴𝐻，∠𝐴𝐵𝐻=30°，∠𝐴=60°，∴𝐴𝐻

𝐴𝐵=3，𝐵𝐻=3𝐴𝐻=则3𝑃𝐷2𝑃𝐵最小值为63，故答案为：63．03𝐴𝐶𝐸中，𝐶𝐴=𝐶𝐸，∠𝐶𝐴𝐸=30°，半径为5的𝑂经过点𝐶，𝐶𝐸是圆𝑂的直径𝐴𝐵在线段𝐴𝐸上，设点𝐷是线段𝐴𝐶上任意一点(不含端点)，则𝑂𝐷+1𝐶𝐷的最小值 【答案】5

，可将 𝑂𝐷+就等于𝑂𝐷𝐷𝐻，当𝑂𝐷𝐻∵𝐶𝐻//𝐴𝐵，∠𝐶𝐴𝐸=30°，𝑂𝐶=∴∠𝐻𝐶𝐴=∠𝑂𝐶𝐴= ∴sin∠𝐻𝐶𝐷=𝐶𝐷=2，∠𝐻𝐶𝑂=∴𝐶𝐷=∴𝑂𝐷

1𝐶𝐷=𝑂𝐷+当𝑂，𝐷，𝐻三点共线，即在图中𝐻在𝐻′位置，𝐷在𝐷′位置的时候有𝑂𝐷𝐷𝐻当𝑂，𝐷，𝐻三点共线时，𝑂𝐷

1𝐶𝐷此时𝑂𝐻′=𝑂𝐶×sin∠𝐻𝐶𝑂=𝑂𝐶sin60°=5×3=5 5∴𝑂𝐷+𝐶𝐷的最小值5故答案为5【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将2𝑂𝐷【变式04】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则2PC＋PB的最小值为 【答案】【详解】思路引领：PPD⊥ABD，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BPD，进而得到△BDPPD=2PBC，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PDCDCD的长，即可得出结论．答案详解：PPD⊥AB∵y＝x﹣3x轴、yB、A两点，x＝0y＝﹣3y＝0x＝3，∴△AOB∴△BDP∴PD=∴2PC+PB=2（PC+2PB）=C，P，DCD⊥AB时，PC+PDCD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵C（0，1）y∴CD=2AC＝2PC+PD的最小值为2∴2PC+PB的最小值为

×

=题型五阿氏圆模型01】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9C为圆心，6D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值 【答案】 2AD+3BDCAE ∴𝐶𝐸=∴𝐸𝐷=𝐷𝐶= 在△EDB∴ED+DBEB∴𝐴𝐷+𝐷𝐵=122+在Rt△ECB中122+∴𝐴𝐷+𝐷𝐵=故答案为：12【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出的最大值 【答案】: 详解:BCGBG＝1

𝐵𝐺=1=2，𝑃𝐵=2=∴𝑃𝐵=

∴𝑃𝐺=𝐵𝐺= PDG的延长线上时，PD−1PCDG＝42+:02Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙CAP、BP，则1AP＋BP的最小值为（）【答案】

C．4

【详解】思路引领：CACMCM＝1PM，PC，BM．利用相似三角形的性质MP=1PA，可得1AP+BP＝PM+PB≥BMBM即可解决问题． 答案详解：CACMCM＝1∴𝑃𝐶=

∴𝑃𝐴=𝐴𝐶=∴PM

∴∴Rt△BCM12+∴BM =12+∴AP+BP∴AP+BP≥5∴AP+BP∴AP+BP的最小值为503】如图所示的平面直角坐标系中，𝐴(0,4)，𝐵(4,0)，𝑃是第一象限内一动点，𝑂𝑃=2，连接𝐴𝑃𝐵𝑃，则𝐵𝑃

1𝐴𝑃的最小值是 【分析】取点𝑇(0,1)，连接𝑃𝑇，𝐵𝑇．根据𝑂𝑃2𝑂𝑇𝑂𝐴，有𝑂𝑃=𝑂𝐴𝑃𝑂𝑇𝐴𝑂𝑃，即有𝑃𝑇

=，进而可

，则

，利用勾股定理可得𝐵𝑇=

=17

𝑃𝑇=

𝑃𝐵+2𝑃𝐴=𝑃𝐵+12+12+

1𝐴𝑃≥17【详解】解：如图，取点𝑇(0,1)，连接∴𝑂𝑇=1，𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=∵𝑂𝑃=∴𝑂𝑃2=𝑂𝑇⋅

∵ ∴𝑂𝑇=∵∠𝑃𝑂𝑇=∴△𝑃𝑂𝑇∽△ ∴𝑃𝐴=𝑂𝐴=∴𝑃𝑇

∴𝑃𝐵

1𝑃𝐴=𝑃𝐵+12+∵𝐵𝑇12+∴𝑃𝐵+𝑃𝑇≥∴𝐵𝑃

1𝐴𝑃≥17，（B、P、T三点共线时取等号∴𝐵𝑃

1𝑃𝐵的最小值为故答案为： 最大值 【分析】如图，连接𝐵𝑃，在𝐵𝐶上取一点𝑀，使得𝐵𝑀=

2，进而证明△𝐵𝑃𝑀∽△𝐵𝐶𝑃,PPM=1𝑃𝐶PD-PMPD，在△PDM中，PD-PM＜DM，D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得𝐷𝑀．【详解】如图，连接𝐵𝑃，在𝐵𝐶上取一点𝑀，使得𝐵𝑀=∵

=2

=6= ∴𝐵𝑃=∵∠𝑃𝐵𝑀=∴△𝐵𝑃𝑀∽△ ∴𝑃𝐶=𝐵𝑃=∴𝑀𝑃=2∴𝑃𝐷−2𝑃𝐶=在△PDM中，PD-D、M、P共线时，PD-PM=DM四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐶=在𝑅𝑡𝐶𝐷𝑀中，𝐷𝑀=

𝐷𝐶2+6𝐷𝐶2+692【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造2𝑃𝐶题型六费马点模型线段𝐷𝐶上运动，连接𝐸𝑃，则𝐴𝐸+𝐸𝑃+𝐵𝐸的最小值是

+2/2【分析】如图所示，将△𝐴𝐵𝐸绕点𝐵顺时针旋转60°△𝐴′𝐵𝐸′，连接𝐸𝐸′，过点𝐴′作𝐴′𝐺⊥𝐷𝐶，交于点𝐹,𝐺，则∠𝐸𝐵𝐸′=∠𝐴𝐵𝐴′=60°，𝐹𝐺=𝐶𝐵=2，𝐵𝐹=𝐶𝐺，可证△𝐵𝐸𝐸′𝐴𝐸+𝐵𝐸+𝑃𝐸=𝐴′𝐸′+𝐸′𝐸+𝐸𝑃，当点𝐴′,𝐸′,𝐸,𝑃四点共线且𝐴′𝑃⊥𝐶𝐷时，取得最小值𝐴′𝐺△△⊥于点𝐹,𝐺，则∠𝐸𝐵𝐸′=∠𝐴𝐵𝐴′=60°，𝐹𝐺=𝐶𝐵=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐴𝐸=𝐴𝐸′，𝐵𝐸=∴△𝐵𝐸𝐸′∴𝐵𝐸=∴𝐴𝐸+𝐵𝐸+𝑃𝐸=𝐴′𝐸′+𝐸′𝐸+当点𝐴′,𝐸′,𝐸,𝑃四点共线且𝐴′𝑃⊥𝐶𝐷时，取得最小值∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，边长为2𝐴𝐵𝐸绕点𝐵顺时针旋转60°∴𝐴′𝐵=𝐴𝐵=2,∠𝐴𝐵𝐴′=60°，∠𝐵𝐴′𝐹=∴𝐵𝐹=1𝐴′𝐵=

=∴𝐴′𝐺=𝐴′𝐹+𝐹𝐺

∴𝐴𝐸+𝐸𝑃+𝐵𝐸的最小值 故答案为 +2△𝐴𝐵𝐸绕点𝐵顺时针旋转60°△𝐴′𝐵𝐸′，得到𝐴𝐸+𝐵𝐸+𝑃𝐸=𝐴′𝐸′+𝐸′𝐸+【变式01】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，P是△𝐴𝐵𝐶内一点，求𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小 6+【答案】【分析】将△APCC顺时针旋转60°得△DFCPC=PF，DF=AP，将𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝐹𝐷𝐵𝑃𝑃𝐹B、P、F、D四点共线时，𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶BD的长；根据勾股【详解】解：将△APCC顺时针旋转60°得△DFCPF、AD、DBDDE⊥BABA的E；∴△PCF、△ACD∴𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝐹𝐷+𝐵𝑃+∴B、P、F、D四点共线时，𝑃𝐴𝑃𝐵+𝑃𝐶BD∵∠𝐶𝐴𝐵= ∴𝐷𝐸=2𝐴𝐷=

=2∴𝐵𝐸=1+2𝐵𝐸2+𝐵𝐸2+

6+ 6+∴𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的值最小值6+6+故答案为： 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APCC顺时针旋转60°得△DFC，将三条线段的长02ABCD，AB＝4，BC＝6MEBCMA＋MD＋ME的最小值 【答案】【分析】将△AMDA60°得到△AM′D′MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，AM＝MM′MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋MEED′E⊥BCD′E＝DG＋GE的值；解：将△AMDA60°得到∴D′M、MM′、MEE∴D′E⊥BC∴MA＋MD＋ME的最小值为4+33，03】（2021·山东滨州·中考真题）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵90°，∠𝐵𝐴𝐶30°，𝐴𝐵2是△𝐴𝐵𝐶内一点，则𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小值 PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′60°BB′、PP′，𝐶𝐵′则∴PP′+P′B′+PCCB′的值，PA+PB+PCCB′∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=2×3=𝐴𝐶2+𝐴𝐶2+故答案为：PA+PB+PCCB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．04△本题，我们可以将△𝐴𝐵𝑃绕顶点𝐴旋转到△𝐴𝐶𝑃′处，此时△𝐴𝐶𝑃′≌△𝐴𝐵𝑃，连接𝑃𝑃′，这样就可以利用旋转变换，将三条线段𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶转化到一个三角形中，从而求出∠𝐴𝑃𝐵= 如图②𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐸、𝐹为𝐵𝐶上的点且∠𝐸𝐴𝐹=45°，𝐵𝐸=3，𝐶𝐹=2，求𝐸𝐹的如图③，在𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=30°，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=6，点𝑃为𝐴𝐵𝐶内一点，连接𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶，直接写出𝑃𝐴+2𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小值．【答案】【分析】（1）由全等三角形和旋转的性质可得△𝑃𝐴𝑃′为等边三角形，即得𝑃𝑃′=𝐴𝑃=8，∠𝐴𝑃′𝑃=进而由勾股定理的逆定理可得∠𝑃𝑃′𝐶=90°，进而可得∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑃′𝐶=150°把𝐴𝐵𝐸绕点𝐴逆时针旋转90°𝐴𝐶𝐸，可证△𝐸𝐴𝐹≌△𝐸′𝐴𝐹(SAS)，得到𝐸𝐹=𝐸′𝐹，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得∠𝐸′𝐶𝐹=90°，进而利用勾股定理求出𝐸′𝐹的长即可求解；在△𝐵内部任取一点𝑃，连接𝑃，𝑃，𝑃△𝐵𝑃绕点𝐵顺时针旋转9°得到△𝐵𝑃′𝐶′，由旋转的性质可得𝐴+2𝐵+𝑃𝐶=𝐴+𝑃𝑃′+𝑃′𝐶′，可知当𝐴，𝑃，𝑃′，𝐶′四点共线时，𝐴+2𝐵+𝑃取最小值，最小值为𝐴𝐶′，过点𝐴作𝐶′𝐵的垂线交𝐶′𝐵延长线于点𝐷，分别求出𝐷和𝐶′𝐷的长，再利用勾股定理求出𝐴𝐶′的长即可求解．【详解】（1）解：∵△𝐴𝐶𝑃′≌△∴𝐴𝑃′=𝐴𝑃=8，𝐶𝑃′=𝐵𝑃=15，∠𝐴𝑃′𝐶=𝐴𝐵𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=由旋转得，∠𝑃𝐴𝑃′=∠𝐵𝐴𝐶=∴△𝑃𝐴𝑃′∴𝑃𝑃′=𝐴𝑃=8，∠𝐴𝑃′𝑃=∵𝑃𝐶=∴𝑃𝑃′2+𝐶𝑃′2=𝐶𝑃2=∴△𝑃𝑃′𝐶为直角三角形，且∠𝑃𝑃′𝐶=∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑃′𝐶=∠𝐴𝑃′𝑃+∠𝑃𝑃′𝐶=60°+90°=150°，解：如图②，把𝐴𝐵𝐸绕点𝐴逆时针旋转90°由旋转得，𝐴𝐸′=𝐴𝐸，𝐶𝐸′=𝐵𝐸3，∠𝐶𝐴𝐸′=∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐴𝐶𝐸′=∠𝐵，∠𝐸𝐴𝐸′=∠𝐵𝐴𝐶∵∠𝐸𝐴𝐹=∴∠𝐸′𝐴𝐹=90°−45°=∴∠𝐸𝐴𝐹=在△𝐸𝐴𝐹和△𝐸′𝐴𝐹𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸′𝐴𝐹𝐴𝐹=∴△𝐸𝐴𝐹≌△∴𝐸𝐹=∵∠𝐶𝐴𝐵=90°，𝐴𝐵=∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐸′=∠𝐵=∴∠𝐸′𝐶𝐹=45°+45°=∵𝐶𝐹=𝐶𝐸′2+∴𝐸𝐹=𝐶𝐸′2+

=32+解：如图③，在𝐴𝐵𝐶内部任取一点𝑃，连接32+将𝐵𝑃𝐶绕点𝐵顺时针旋转90°得到由旋转得，𝑃𝐵=𝑃𝐵′，𝑃𝐶=𝑃′𝐶′，𝐵𝐶′=𝐵𝐶=6∠𝑃𝐵𝑃′=∠𝐶𝐵𝐶′=∴𝑃𝑃′=∴𝑃𝐴+2𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝑃𝐴+𝑃𝑃′+∴当𝐴，𝑃，𝑃′，𝐶′四点共线时，𝑃𝐴+2𝑃𝐵+𝑃𝐶取最小值，最小值为𝐴𝐶′，如图，过点𝐴作𝐶′𝐵的垂线交𝐶′𝐵延长线于点𝐷，则∠𝐷=∠𝐶𝐵𝐶′=90°，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐵𝐷

1𝐴𝐵=(2(23)+

=23，𝐶′𝐷=𝐵𝐶′+𝐵𝐷=6+2=𝐴𝐷2+𝐴𝐷2+

=2∴𝑃𝐴2𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小值为2题型七瓜豆模型= 【详解】由题意可知，点𝐹是主动点，点𝐺是从动点，点𝐹在线段上运动，点𝐺作𝐶𝑀⊥𝐻𝑁，则𝐶𝑀即为𝐶𝐺的最小值，作𝐸𝑃𝐶𝑀，可知四边形𝐻𝐸𝑃𝑀则𝐶𝑀=𝑀𝑃+𝐶𝑃=𝐻𝐸1𝐸𝐶=1+3= 故答案为= C．C．D．识点是解题的关键．将线段𝐶𝐹F按顺时针旋转30°，得到𝐻𝐹，连接𝐶𝐻、𝐸𝐻，由旋转的性质得到，𝐸𝐹𝐺𝐹，𝐻𝐹𝐶𝐹，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐻𝐹𝐶=30°𝐸𝐹𝐻𝐺𝐹𝐶得到𝐸𝐻=𝐶𝐺，利用菱形的性质和等边对等角得到∠𝐴𝐶𝐵30°，∠𝐹𝐶𝐻75°，则有∠𝐸𝐶𝐻∠𝐹𝐶𝐻−∠𝐴𝐶𝐵45°，分析可得点𝐻在过点𝐶且与𝐵𝐶夹角为45°的直线上运动，当𝐸𝐻⊥𝐶𝐻时，𝐸𝐻有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案．由旋转的性质得到，𝐸𝐹=𝐺𝐹，𝐻𝐹=𝐶𝐹，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐻𝐹𝐶=30°，∠𝐸𝐹𝐺−∠𝐻𝐹𝐺=∠𝐻𝐹𝐶−∠𝐻𝐹𝐺，即∠𝐸𝐹𝐻=∴△𝐸𝐹𝐻≌△∴𝐸𝐻=菱形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=∵∠𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=180°−∠𝐵=E是𝐵𝐶∴𝐶𝐸=1𝐵𝐶=∵𝐻𝐹=𝐶𝐹，∠𝐻𝐹𝐶=∴∠𝐹𝐶𝐻=180°−∠𝐻𝐹𝐶=∴∠𝐸𝐶𝐻=∠𝐹𝐶𝐻−∠𝐴𝐶𝐵=75°−30°=点𝐻在过点𝐶且与𝐵𝐶夹角为45°∴当𝐸𝐻⊥𝐶𝐻时，𝐸𝐻△𝐶𝐸𝐻为等腰直角三角形，则𝐸𝐻=𝐶𝐸=2=𝐸𝐻的最小值为2，即𝐶𝐺的最小值为2．上的动点，且𝐶𝐸=𝐷𝐹．当𝐴𝐸+𝐶𝐹的值最小时，则𝐶𝐸= 𝐵𝐶，截取𝐶𝐺𝐶𝐷，连接𝐺𝐸，𝐴𝐺𝐶𝐷𝐹𝐺𝐶𝐸，得出𝐶𝐹=𝐺𝐸，说明当𝐴𝐸𝐸𝐺最小时，𝐴𝐸A、E、G三点共线时，𝐴𝐸𝐸𝐺最小，即𝐴𝐸𝐶𝐹𝐴𝐸𝐷𝐺𝐸𝐶【详解】解：延长𝐵𝐶，截取𝐶𝐺=𝐶𝐷，连接𝐺𝐸，𝐴𝐺∴𝐴𝐵=𝐷𝐶=2，𝐴𝐷=𝐵𝐶=∴∠𝐷=∵𝐶𝐷=𝐶𝐺，𝐷𝐹=∴△𝐶𝐷𝐹≌△∴𝐶𝐹=∴𝐴𝐸+𝐶𝐹=𝐴𝐸+∴当𝐴𝐸𝐸𝐺最小时，𝐴𝐸𝐶𝐹∴A、E、G三点共线时，𝐴𝐸𝐸𝐺最小，即𝐴𝐸𝐶𝐹最小，且最小值为𝐴𝐺∴△𝐴𝐸𝐷∽△∴𝐴𝐷=

𝐶𝐸，即

解得𝐶𝐸=故答案为：03】（2024山东济南一模）ABCD中，AD=6，DC=8EACBE⊥BF，𝐵𝐸=4，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长 【分析】过点𝐵作𝐵𝑃𝐴𝐶于点𝑃，连接𝑃𝐺，则可得Δ𝐴𝐵𝐸Δ𝑃𝐵𝐺，进而可知∠𝐵𝑃𝐺为定值，所以当𝐶𝐺【详解】解：过点𝐵作𝐵𝑃𝐴𝐶于点𝑃，连接𝑃𝐺∵𝐵𝐸=𝐴𝐵=4，∠𝐴𝐵𝐶= ∴Δ𝐴𝐵𝐶∽∴∠𝐶𝐴𝐵=∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐸𝐺𝐵=∴Δ𝐴𝐵𝑃∽∴𝐴𝐵=𝐸𝐵

=𝐴𝐶=5，∠𝐴𝐵𝑃=

∴∠𝐴𝐵𝐸=∴Δ𝐴𝐵𝐸∽∴∠𝐵𝑃𝐺=当𝐶𝐺𝑃𝐺时，𝐶𝐺最小，设此时𝐴𝐸=𝑥，∵𝐴𝐸=𝐴𝐵= ∴𝑃𝐺=∵𝐶𝐺⊥∴∠𝑃𝐶𝐺=∠𝐵𝑃𝐺=∴𝐶𝑃= 代入𝑃𝐺=3𝑥，解得𝐶𝑃=∵𝐶𝑃=𝐵𝐶⋅sin∠𝐶𝐵𝑃=𝐵𝐶⋅sin∠𝐵𝐴𝐶=5∴𝑥=5∴𝐴𝐸=5∴𝐶𝐸=5G的运动路径是本题的【变式04】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=2，𝐸是对角线𝐴𝐶上的一动点，连接𝐵𝐸，若以𝐵𝐸为边向右上侧作等边△𝐵𝐸𝐺；点𝐸从点𝐴运动到点𝐶的过程中，连接𝐶𝐺，则线段𝐶𝐺的最小 【答案】25−𝐵𝐶𝐹𝐹𝐺𝐺𝐵𝐹(SAS)∠𝐵𝐹𝐺tan∠𝐸𝐶𝐵=2，因此∠𝐵𝐹𝐺G在与𝐵𝐹成定角的直线𝐺𝐹C作𝐶𝐻⊥𝐹𝐺H，则点GH时，𝐶𝐺取得最小值，最小值为𝐶𝐻EAG作𝐺𝑀𝐴𝐵MF作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶N△𝐵𝐶𝐺△𝐵𝐶𝐹△𝐺𝐵𝐹的面积，得到𝑆△𝐹𝐶𝐺=𝑆Rt△𝐺𝐵𝐹−𝑆△𝐵𝐶𝐺−𝑆△𝐵𝐶𝐹=2−3，【详解】解：如图，以𝐵𝐶为边作等边𝐵𝐶𝐹，连接𝐵𝐸𝐺和△𝐵𝐶𝐹∴𝐵𝐸=𝐵𝐺，𝐵𝐶=𝐵𝐹，∠𝐸𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐹=∴∠𝐸𝐵𝐶=∴△𝐸𝐵𝐶≌△∴∠𝐵𝐶𝐸=∵在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=∴tan∠𝐴𝐶𝐵=𝐴𝐵=∴tan∠𝐵𝐹𝐺=tan∠𝐸𝐶𝐵=∴∠𝐵𝐹𝐺G在与𝐵𝐹成定角的直线𝐺𝐹C作𝐶𝐻𝐹𝐺HGH时，𝐶𝐺取得最小值，最小值为𝐶𝐻EAG作𝐺𝑀𝐴𝐵MF作𝐹𝑁𝐵𝐶∴𝐵𝑀=1𝐴𝐵=

=1𝐵𝐶⋅𝐵𝑀=1×2×2= 𝐵𝐶𝐹∴𝐵𝐹=𝐵𝐶=2，𝐹𝑁=𝐵𝐹⋅sin∠𝐶𝐵𝐹=2sin60°=

=1𝐵𝐶⋅𝐹𝑁=1×2

=

=1𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=1×4×2=4，△𝐺𝐵𝐹≌△ ∴𝑆Rt△𝐺𝐵𝐹=𝑆Rt△𝐴𝐵𝐶=∠𝐺𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐺=𝐴𝐵=𝐵𝐺2+42+∴在Rt△𝐵𝐺2+42+∵𝑆△𝐹𝐶𝐺=𝑆Rt△𝐺𝐵𝐹−𝑆△𝐵𝐶𝐺−𝑆△𝐵𝐶𝐹=

=2−又

=1𝐹𝐺⋅

=1⋅2∴𝐶𝐻=25−∴点𝐸从点𝐴运动到点𝐶的过程中，线段𝐶𝐺的最小值是25−故答案为：25−G的运动轨（限时训练：60分钟如图，等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，点𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶上的两个定点且𝐵𝐸=𝐶𝐹=3，𝐷𝐸=2，在𝐶𝐷上有一动点𝑀使𝑀𝐸+𝑀𝐹最短，则𝑀𝐸+𝑀𝐹的最小值为（ 【答案】【分析】在𝐴𝐵上找到𝐸点关于𝐶𝐷的对称点𝐸′，连接𝐸′𝐹交𝐶𝐷于点𝑀，连接𝐸𝑀，推出𝑀𝐸+𝑀𝐹𝐸′𝐹的长，再证明出△𝐵𝐸′𝐹是等边三角形，即可求出𝐸′𝐹【详解】解：在𝐴𝐵上找到𝐸点关于𝐶𝐷的对称点𝐸′，连接𝐸′𝐹交𝐶𝐷于点𝑀，连接此时𝐶𝐷是𝐸𝐸′∴𝑀𝐸=𝑀𝐸′，𝐷𝐸=𝐷𝐸′=此时𝑀𝐸+𝑀𝐹取最小值，最小值为𝑀𝐸′+𝑀𝐹=等边𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐸+𝐷𝐸=3+2=∴𝐵𝐸′=𝐵𝐷+𝐷𝐸′=5+2=7，𝐴𝐵=2𝐵𝐷=等边𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝐴𝐵=10，∠𝐵=60°，又𝐶𝐹=3，∴𝐵𝐹=𝐵𝐶−𝐶𝐹=7=∴△𝐵𝐸′𝐹∴𝐸′𝐹=𝐵𝐹=即𝑀𝐸𝑀𝐹的最小值为7．=+的最小值是（ 【答案】

【分析】连接𝐷𝐹，根据SAS𝐸𝐵𝐶𝐹𝐶𝐷，则𝐶𝐸=𝐷𝐹，𝐶𝐸𝐴𝐹=𝐷𝐹𝐴𝐹．延长𝐴𝐵G𝐵𝐺=𝐴𝐵=5GA点关于直线𝐵𝐶对称，连接𝐷𝐺交𝐵𝐶于𝐹′，此时𝐷𝐺的长就是𝐷𝐹𝐴𝐹的最小【详解】解：连接∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∵𝐴𝐸=∴𝐵𝐷=∴△𝐸𝐵𝐶≌△∴𝐶𝐸=∴𝐶𝐸+𝐴𝐹=𝐷𝐹+延长𝐴𝐵G，使𝐵𝐺=𝐴𝐵=5GA点关于直线𝐵𝐶则𝐴𝐹′=𝐺𝐹′，此时，𝐷𝐹𝐴𝐹的值最小，最小值为𝐷𝐺∵𝐴𝐷=5,𝐴𝐺=𝐴𝐵+𝐵𝐺=52+∴𝐷𝐺 =52+∴𝐶𝐸𝐴𝐹的最小值为55．𝑀2M的坐标为(3,4)P是𝑀上的任意一点，𝑃𝐴𝑃𝐵，且𝑃𝐴、𝑃𝐵轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则𝐴𝐵的最小值 【答案】【分析】由𝑅𝑡Δ𝐴𝑃𝐵中𝐴𝐵2𝑂𝑃知要使𝐴𝐵取得最小值，则𝑃𝑂需取得最小值，连接𝑂𝑀𝑀于点𝑃′P位于𝑃′位置时，𝑂𝑃′P的位置．【详解】连接𝑂𝑃，∵𝑃𝐴𝑃𝐵，∴∠𝐴𝑃𝐵=90°，∵𝐴𝑂=𝐵𝑂，∴𝐴𝐵=2𝑃𝑂，连接𝑂𝑀𝑀于点𝑃′P位于𝑃′位置时，𝑂𝑃′取得最小值，M作𝑀𝑄⊥𝑥Q，则𝑂𝑄=3,𝑀𝑄=32+∴𝑂𝑀32+又𝑀𝑃′=∴𝑂𝑃′=∴𝐴𝐵=2𝑂𝑃′=6，D．4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4P是线段𝐵𝐶上一动点，M为线段𝐴𝑃上一点．∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐵𝐴𝑃，则𝐵𝑀的最小值为（）【答案】

C．D．C．D．【分析】证明∠𝐴𝑀𝐷=90°MOAOADO，O点为圆心，AO∵∠𝐴𝐷𝑀=∴MOAOOBO∵BO∴BMO时，BM∵𝐵𝑂2=𝐴𝐵2 ∴𝐵𝑂2=9+4=∴𝐵𝑂∵𝐵𝑁=𝐵𝑂−𝐴𝑂=5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵3，𝐵𝐶4，E，F分别是𝐵𝐶，𝐴𝐷上的点．现将四边形𝐴𝐵𝐸𝐹沿𝐸𝐹A、BM、NN恰好落在𝐶𝐷上．连接𝐵𝑀B作𝐵𝐺⊥𝐸𝐹G，则2𝐵𝐺+𝐵𝑀的最小值为（）【答案】

【分析】连接𝐵𝑁，𝐴𝑁，延长𝐵𝐶J，使得𝐶𝐽=𝐵𝐶，连接𝐴𝐽，证明2𝐵𝐺=𝐵𝑁𝐴𝑁=𝑁𝐽𝐴𝑁≥𝐴𝐽，利用【详解】解：连接𝐵𝑁，𝐴𝑁，延长𝐵𝐶J，使得𝐶𝐽=𝐵𝐶，连接由翻折变换的性质可知𝐸𝐹垂直平分线段𝐵𝑁，𝐵𝑀=∵𝐵𝐺⊥𝐵，G，N∴2𝐵𝐺+𝐵𝑀=𝐵𝑁+四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝑁𝐶⊥∵𝐵𝐶=∴𝐵𝑁=∴2𝐵𝐺+𝐵𝑀=𝑁𝐽+𝐴𝑁≥∵𝐴𝐵=3，𝐵𝐽=2𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐵2+

=32+∴2𝐵𝐺+𝐵𝑀32+2𝐵𝐺𝐵𝑀的最小值为73．𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=10，tan𝐴=2，𝐵𝐸𝐴𝐶于点𝐸，𝐷是线段𝐵𝐸上的一个动点，则𝐶𝐷的最小值 【答案】=然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出𝐶𝑀=𝐵𝐸，然后通过锐角三角函数得出𝐷𝐻=5𝐵𝐷𝐶𝐷+5𝐵𝐷=𝐶𝐷+𝐷𝐻，最后利用𝐶𝐷+𝐷𝐻≥𝐶𝑀D作𝐷𝐻𝐴𝐵于𝐻C作𝐶𝑀⊥𝐴𝐵于∵𝐵𝐸⊥∴∠𝐴𝐸𝐵=∵tan𝐴

=设𝐴𝐸=𝑎，𝐵𝐸=∵𝐴𝐵2=𝐴𝐸2∴100=𝑎2∴𝑎2=∴𝑎=25或−25（舍弃∴𝐵𝐸=2𝑎=4∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝑀⊥∴𝐶𝑀=𝐵𝐸=45（等腰三角形两腰上的高相等∵∠𝐷𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐵𝐻𝐷= ∴sin∠𝐷𝐵𝐻=𝐵𝐷=𝐴𝐵=5∴𝐷𝐻=∴𝐶𝐷+5𝐵𝐷=𝐶𝐷+∴𝐶𝐷+𝐷𝐻≥∴𝐶𝐷+5𝐵𝐷≥4∴𝐶𝐷+5𝐵𝐷的最小值为4故答案为：4如图，在𝑂AB在⊙𝑂上，∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝑂𝐴=6COA上，且𝑂𝐶=2𝐴𝐶D𝑂𝐵的中点，点M是劣弧AB上的动点，则𝐶𝑀+2𝐷𝑀的最小值 【答案】明𝑀𝑇=2𝐷𝑀，求𝐶𝑀+2𝐷𝑀的最小值问题转化为求𝐶𝑀+𝑀𝑇的最小值．利用两点之间线段最短得到𝐶𝑀𝑀𝑇≥𝐶𝑇，利用勾股定理求出𝐶𝑇【详解】解：延长𝑂𝐵T，使得𝐵𝑇=𝑂𝐵，连接∵𝑂𝐴=∴𝑂𝑀=𝑂𝐵=D是𝑂𝐵∴𝑂𝐷=𝐷𝐵=3，𝑂𝑇=∴𝑂𝑀2=𝑂𝐷⋅ ∴𝑂𝐷=∵∠𝑀𝑂𝐷=∴△𝑀𝑂𝐷∽△ ∴𝑀𝑇=𝑂𝑇=∴𝑀𝑇=∵𝐶𝑀+2𝐷𝑀=𝐶𝑀+𝑀𝑇≥∵𝑂𝐶=∴𝑂𝐶=又在Rt𝑂𝐶𝑇中，∠𝐶𝑂𝑇=90°，𝑂𝑇=𝑂𝐶2+𝑂𝐶2+

=442+∴𝐶𝑀+2𝐷𝑀≥42+∴𝐶𝑀2𝐷𝑀的最小值为410，故答案为：410．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=ACPABPD⊥BCDAD在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则 【答案】PD=xDQ=x-2x可得结论．1，将△BQCB60°得到△BNM∴△BQN∴AQNM共线时，QA+QB+QC值最小，2MC∵将△BQCB60°得到∴△BQN是等边三角形，△CBM∴AM∴BD=∴AD=BDPDPD=xDQ=x-∴x=tan60°×(𝑥−2)=∴x=3+∴PD=3+故答案为：3+9．（2025四川眉山一模）1，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥6x轴相交于点𝐴(−6,0)和点𝐵(2,0)yC．连接𝐴𝐶、𝐵𝐶Q为抛物线上的点且在第三象限，当𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝑄𝐴𝐶Q2，在（2）ClxMl上，𝑀𝑁𝑥xNP是抛物线的顶点，连接𝑃𝑀、𝑄