2026年中考数学二轮复习 专题05 圆综合(重难专练)

专题 圆综速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：一、圆的基本性质（1˜2道，6˜8分二、直线与圆的位置关系（1道，6˜10分；三、圆与圆的位置关系（1˜21道，4˜6分；四、圆与几何、函数的综合（1道，10˜14分考向考向 圆的基本性1圆心角、圆周角与弧、弦的关系关系（误将圆周角等于圆心角90°圆周角与直径的双向判定关系。1（2026·=∠𝐵𝐸𝐷的度数是（ 【答案】【答案】【详解】解：连接𝐴𝐷,𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=60°，∠𝐵𝐸𝐷=∵𝐴𝐵𝑂∴∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=90°−∠𝐴𝐵𝐷=2（2026·⊙⊙=𝐺，∠𝐵𝑂𝐶=54°，则∠𝐴𝐺𝐵的度数为（ 【答案】【答案】【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠𝐷𝐴𝐵=90°，根据𝐴𝐵=𝐴𝐷可得∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=45°邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐶𝑂𝐷=63°【详解】解：∵𝐵𝐷𝑂∴∠𝐷𝐴𝐵=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=∵∠𝐵𝑂𝐶=∴∠𝐶𝑂𝐷=180°−∠𝐵𝑂𝐶=∴∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐶𝑂𝐷=∴∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐴𝐷𝐵=63°+45°=3（2026·==𝐴𝐸为半径的圆弧交𝐴𝐷于点𝐹，交𝐶𝐷于点𝐺．若𝐹是弧𝐴𝐺的中点，则𝐶𝐸= ．【答案】【答案】𝐸𝐻𝐴𝐷于点𝐻𝐴𝐵𝐸𝐴𝐷𝐺𝐷𝐺=4，设𝐵𝐸=𝑥，用𝑥表示出相关线段，再根据勾股定理，结合𝐸𝐴=𝐸𝐺建立方程，解出𝑥的值，最后代【详解】解：连接𝐴𝐺，过点𝐸作𝐸𝐻𝐴𝐷于点∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90°，𝐵𝐶=𝐴𝐷=8，𝐴𝐵=∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐵平行于∴∠𝐴𝐸𝐻=𝐹是弧𝐴𝐺∴弧𝐴𝐹=弧∴𝐹𝐴=𝐹𝐺，∠𝐴𝐸𝐹=∴∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐹𝐺𝐴=∵𝐸𝐴=𝐸𝐹=𝐸𝐺，𝐸𝐻⊥∴∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐹𝐴𝐺=∠𝐹𝐺𝐴=∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐵𝐴𝐸，又∵∠𝐵=∠𝐷=90°，∴△𝐴𝐵𝐸∽△ ∴𝐴𝐷=∵𝐴𝐵=2𝐵𝐸，𝐴𝐷= ∴8=𝐷𝐺=4，设𝐵𝐸=𝐴𝐵=2𝑥，𝐶𝐺=𝐶𝐷−𝐷𝐺=2𝑥−4，𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=8−𝑥，在Rt△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：𝐸𝐴2=𝐴𝐵2+𝐵𝐸2=在Rt𝐸𝐶𝐺由勾股定理得：𝐸𝐺2=𝐶𝐸2+𝐶𝐺2=(8−𝑥)2+∵𝐸𝐴=∴5𝑥2=(8−𝑥)2+(2𝑥−4)2，解得：𝑥=2.5，∴𝐶𝐺=2𝑥−4=1，𝐶𝐸=8−𝑥=∴∴𝐶𝐸=5.5= 4（2026·安徽·一模）如图，𝐴𝐵𝑂直径，C，D为𝑂上的两点，且𝐶𝐸是𝑂的切线，𝐶𝐸𝐷𝐵交(1)求证：∠𝐴𝐶𝐷=(2)若𝐴𝐵=5，𝐵𝐸=1，求𝐵𝐷(2)𝐵𝐷=（1）连接𝑂𝐶，利用切线的性质结合已知判定出𝑂𝐶∥𝐷𝐸，得出∠𝐷=∠𝐷𝐶𝑂∠𝐴=∠𝐷（2）作𝑂𝐹𝐵𝐷于点𝐹，证明四边形𝑂𝐶𝐸𝐹是矩形，求出𝐵𝐹=𝐸𝐹−𝐵𝐸=2∵𝐶𝐸是𝑂∴𝑂𝐶⊥∵𝐶𝐸⊥∴∠𝐷=∵𝐵𝐶=∴∠𝐴=∴∠𝐴=∵𝑂𝐴=∴∠𝐴=∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝑂+∠𝐴𝐶𝑂=（2）解：作𝑂𝐹𝐵𝐷于点𝐹∴∠𝑂𝐶𝐸∴∠𝑂𝐶𝐸=∠𝐸=∠𝑂𝐹𝐸=∵𝐴𝐵=∴𝐸𝐹=𝑂𝐶=𝑂𝐵=2𝐴𝐵=∴𝐵𝐹=𝐸𝐹−𝐵𝐸=∵𝑂𝐹⊥∴𝐵𝐷=2𝐵𝐹=5（2026·𝐷（）(2)在（1）的条件下，连接𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐸，若𝐴𝐸=5，𝐷𝐸=4，连接𝐵𝐷，求𝐵𝐷（1）作∠𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶的外接圆于点𝐷（2）根据同弧所对的圆周角相等推出∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐵𝐷𝐷𝐴𝐵𝐷𝐵𝐸得𝐵𝐷2=𝐴𝐷𝐷𝐸，代入数据（1）解：如图，作∠𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶的外接圆于点∴∠𝐵𝐴𝐷=∴∴𝐵𝐷=∴点𝐷为𝐴𝐵𝐶的外接圆中𝐵𝐶（𝐵𝐶下方）的中点，由（1）知：∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐶𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐵𝐷，又∵∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐸𝐷𝐵，𝐴𝐸=5，𝐷𝐸=4，∴△𝐷𝐴𝐵∽△𝐷𝐵𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=5+4=∴𝐸𝐷=∴𝐵𝐷2=𝐴𝐷⋅∴𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅𝐷𝐸=9×4=6，6（2026·=𝑂的切线，交𝐵𝐶的延长线于点(1)求证：𝐴𝐷=(2)若𝐵𝐶:𝐷𝐸=5∶6，求tan∠𝐷𝐶𝐸（1）由圆内接四边形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐷𝐶=180°∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐶∠𝐷𝐶𝐴，结合题意可得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷（2）连接𝑂𝐷交𝐴𝐶于点𝐹，证明四边形𝐷𝐹𝐶𝐸是矩形，得出𝐷𝐸=𝐶𝐹，由垂径定理可得𝐴𝐹=𝐶𝐹𝐵𝐶=10𝑎，则𝐷𝐸=12𝑎，𝐴𝐹=𝐶𝐹=𝐷𝐸=12𝑎，𝐴𝐶=24𝑎，证明𝑂𝐹为𝐴𝐶𝐵的中位线，得出𝑂𝐹=𝐵𝐶=5𝑎，由勾股定理可得𝐴𝐵=26𝑎，从而可得𝑂𝐷=2𝐴𝐵=13𝑎（1）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=∵∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐶+∵∠𝐴𝐵𝐶=∴2∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷+∴∠𝐴𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=∵𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸是⊙𝑂∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐵⊙𝑂∴∠𝐴𝐶𝐵=四边形𝐷𝐹𝐶𝐸∴𝐷𝐸=∵𝑂𝐷⊥∴𝐴𝐹=由𝐵𝐶:𝐷𝐸=5∶6，可设𝐵𝐶=10𝑎，则𝐷𝐸=∴𝐴𝐹=𝐶𝐹=𝐷𝐸=∴𝐴𝐶=∵𝑂𝐴=∴𝑂𝐹∴𝑂𝐹为𝐴𝐶𝐵∴𝑂𝐹=2𝐵𝐶=∵𝐴𝐵 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=∴𝑂𝐷=2𝐴𝐵=∴𝐶𝐸=𝐷𝐹=𝑂𝐷−𝑂𝐹=∴tan∠𝐷𝐶𝐸=𝐶𝐸=8𝑎= 2圆的对称性应用180°后与自身重合；（1（2026·=点．若𝑂𝐴=1，则𝐵𝐷𝐶𝐷的最小值为（ 【答案】【答案】【分析】作点𝐵关于𝑂𝐴的对称点𝐵′，连接𝐵′𝐶,𝑂𝐵′,𝑂𝐶，连接𝐵𝐵′交𝑂𝐴于点𝐷′𝐵𝐷+𝐶𝐷的最小值为𝐵′𝐶【详解】解：如图所示，作点𝐵关于𝑂𝐴的对称点𝐵′，连接𝐵′𝐶,𝑂𝐵′,𝑂𝐶，连接𝐵𝐵′交𝑂𝐴于点∴𝐵𝐷′=𝐵′𝐷′，∠𝐴𝑂𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵=60°，此时，𝐵𝐷+𝐶𝐷的最小值为𝐵′𝐶∴∠𝐴𝑂𝐶=∴∠𝐵′𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐴𝑂𝐵′=∴由勾股定理得𝐵′𝐶= 𝑂𝐶2+𝑂𝐵′2=2，即𝐵𝐷+𝐶𝐷的最小值为2．2（2026·点𝐺，交𝐴𝐵于点𝐻，连接𝐴𝐺，𝐶𝐺，𝐸𝐹，𝐶𝐷=4，𝐴𝐻=3，则𝐴𝐺= ，线段𝐶𝐺= 【分析】通过同角的余角相等可得∠𝐴𝐻𝐺=∠𝐴𝐶𝐷∠𝐴𝐺𝐻=∠𝐴𝐶𝐷 合等角对等边可证得𝐴𝐺=𝐴𝐻=3，从而可得𝐴𝐶垂直平分𝐺𝐻𝐶𝐻，进而证明𝐶𝐺=𝐵𝐷，得到𝐻𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝐸tan∠𝐻𝐷𝐸=tan∠𝐷𝐴𝐸列式计算即可得到𝐻𝐸Rt𝐻𝐸𝐷中，利用勾股定𝐷𝐹𝐴𝐶，𝐴𝐵⊥∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐸𝐶=∴∠𝐴𝐻𝐺+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐸=90∴∠𝐴𝐻𝐺=∵∠𝐴𝐺𝐻=∴∠𝐴𝐺𝐻=∴𝐴𝐺=𝐴𝐻=𝐴𝐶𝐺𝐻，如图，连接𝐶𝐻，设设𝐻𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=𝐴𝐻+𝐻𝐸=3+∴22=𝑥(3+整理得𝑥2+3𝑥−4=解得𝑥1=1，𝑥2=−4（舍去∴𝐻𝐸=在Rt△𝐻𝐸𝐷中，𝐷𝐻 𝐻𝐸2+𝐷𝐸2 12+22=∴𝐶𝐺= ，即𝐷𝐸2=𝐻𝐸⋅在Rt△𝐻𝐸𝐷中，tan∠𝐻𝐷𝐸=在Rt△𝐴𝐸𝐷中，tan∠𝐷𝐴𝐸=∴𝐷𝐸=2𝐶𝐷=∴𝐶𝐺=𝐶𝐻，𝐶𝐺=直径𝐴𝐵⊥弦 𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷，𝐶𝐵= ∴𝐶𝐻=𝐷𝐻，𝐶𝐺=∴𝐶𝐺=𝐷𝐻，∠𝐻𝐷𝐸=∵𝐶𝐷=3（2026·四川广元·一模）1的小正方形组成的7×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知𝑂的圆心在格点上，圆上两点𝐴、𝐵在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域1中，点𝐶在圆上，请在直径𝐴𝐵的下方的圆上画出点𝐸，使∠𝐴𝐶𝐸=45°，并在网格中找点𝐹𝐴𝐶𝐹是等腰直角三角形，且∠𝐶𝐴𝐹=2中，点𝐷在格点上，在直径𝐴𝐵的下方的圆上画出点𝐺，使得𝑂𝐺∥𝐴𝐷，并在线段𝐴𝐷上画出点𝐻，使得𝐴𝐻=𝐴𝐵．F即为所求；根据直径所对的圆周角是直角可得∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝑇=90°，由𝑂𝐸𝐴𝐵可得𝐴𝐸=𝐵𝐸∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=2∠𝐴𝐶𝐵=45°，则△𝐴𝐶𝐹是等腰直角三角形，且∠𝐶𝐴𝐹=△=𝐷𝐺R为𝐵𝐻的中点，由直径所对的圆周角是直角可得∠𝐴𝑅𝐵=90°，则𝐴𝐺垂直平分𝐵𝐻𝐴𝐻=4（2026·⊙⊙𝑃𝐷MA作𝐴𝐶𝑃𝐷C，交⊙𝑂N，连接𝑂的直径为10，𝐴𝑁=6，求𝐶𝑀(2)𝐶𝑀=（1）根据切线的性质定理得出𝑂𝑀𝐶𝑃，得出𝑂𝑀𝐴𝐶，根据平行线的性质得出∠𝐶𝐴𝑀=∠𝑂𝑀𝐴，（2）O作𝑂𝐸𝐴𝑁E，连接𝑂𝑁，𝑂𝑀，则∠𝑂𝐸𝐶=90°，得出四边形𝑂𝑀𝐶𝐸为矩形，最后利用垂∵𝑃𝐷𝑂∴𝑂𝑀⊥𝐶𝑃，又∵𝐴𝐶𝑃𝐷，∴𝑂𝑀∥∴∠𝐶𝐴𝑀=∵𝑂𝐴=∴∠𝑂𝐴𝑀=∴∠𝐶𝐴𝑀=（2）2O作𝑂𝐸𝐴𝑁E，连接𝑂𝑁，𝑂𝑀，则∠𝑂𝐸𝐶=∵P作⊙𝑂的切线𝑃𝐷∴𝑂𝑀𝐶𝑃，即∠𝑂𝑀𝐶=∵𝐴𝐶⊥∴∠𝐴𝐶𝑀=∴𝐶𝑀=∵𝑂𝐴=𝑂𝑁，𝐴𝑁=∴𝐴𝐸=2𝐴𝑁=∴𝑂𝐴=在直角三角形𝐴𝑂𝐸中，由勾股定理得：𝑂𝐸 𝐴𝑂2−𝐴𝐸2 52−32=∴𝐶𝑀=5（2026·作𝐶𝐷𝐴𝐵𝑂C，D，连接𝐶𝑄⊙𝑂E，连接(1)求证：𝐶𝑄=(2)若𝐴𝐵=6，且𝑂𝑃=𝑂𝑄，求𝐶𝐷(2)4（1）连接𝐷𝑄，根据垂径定理得出𝐶𝑃=𝐷𝑃，根据轴对称的性质得出𝑃𝐴=𝑃𝑄𝐴𝐶𝑄𝐷是平行四边形，进而证明平行四边形𝐴𝐶𝑄𝐷是菱形，得出𝐴𝐷=𝐶𝑄，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝑄𝐶𝐷，根据圆周角定理得出𝐴𝐷=𝐷𝐸，根据弧、弦的关系得出𝐴𝐷=𝐷𝐸，即可得证；（2）连接𝐶𝑂，根据𝑃𝐴=𝑃𝑄并结合𝑂𝑃=𝑂𝑄可求出𝐴𝑃=2𝑂𝑃，结合𝐴𝐵=6可求出𝑂𝑃=1，在Rt△中，根据勾股定理求出𝐶𝑃=22，结合（1）中𝐶𝑃=𝐷𝑃∵直径𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐶𝑃=∵A，QP∴𝑃𝐴∴𝑃𝐴=又𝐴𝑄⊥𝐶𝐷，∴𝐴𝐷=𝐶𝑄，∠𝐴𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=∴𝐶𝑄=∵𝐴𝐵=∴𝐴𝑂=𝐶𝑂=2𝐴𝐵=∵𝑂𝑃=𝑂𝑄，𝑃𝐴=𝑃𝑄=𝑂𝑃+∴𝐴𝑃=又𝐴𝑃𝑂𝑃=∴𝑂𝑃=在Rt△𝐶𝑃𝑂中，𝐶𝑃 𝐶𝑂2−𝑂𝑃2=22=∴𝐶𝐷=𝐶𝑃+𝐷𝑃=4考向考向 直线与圆的位置关3；②d＝r：；③d＞r：；2d（利用点到直线的距离公式r比rddr，再进行判定；3d时出错；忽略直线与圆相交时，d、rdr的数量关系。1（2026·山东青岛·一模）如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶90°，sin𝐵5，𝐴𝐶5cm，若以点𝐶2.8cm𝐶与𝐴𝐵的位置关系是（A．相 B．相 【答案】【答案】【分析】过𝐶作𝐶𝐷𝐴𝐵于𝐷，解直角三角形求出𝐶点到𝐴𝐵【详解】解：如图，过𝐶作𝐶𝐷𝐴𝐵于由题意得：𝐴𝐶=𝐴𝐵·sin𝐵=𝐴𝐵5=解得：𝐴𝐵=4由勾股定理得：𝐵𝐶 𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=Rt𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷=𝐵𝐶sin∠𝐵=∵2.8<2（2026·=当图象与⊙𝑀有公共点时，则实数𝑏的取值范围是（）−56−56

≤𝑏

4

≤𝑏≤−4+C．𝑏≤2 D．−1410−20≤𝑏≤6 【答案】【答案】【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为(𝑥,𝑦)，由半径𝑟=2((𝑥−2)2+(𝑦−2)2=2，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4𝑦=3𝑥+𝑏与(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式Δ≥0建立关于b的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．𝑀与𝑥轴，𝑦∴⊙𝑀的半径𝑟=设圆上任意一点坐标为由半径𝑟=2得，(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4，当图象与⊙𝑀有公共点时，联立𝑦=3𝑥+𝑏与(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=得：(𝑥−2)2+(3𝑥+𝑏−2)2=整理得：10𝑥2+(6𝑏−16)𝑥+(𝑏−2)2=𝑥∴Δ=(6𝑏−16)2−4×10×(𝑏−2)2≥整理得，𝑏2+8𝑏−24≤令𝑏2+8𝑏−24=解得𝑏=−8±64+96=−4±2令𝑡=𝑏2∴不等式𝑏2+8𝑏−24≤0的解集，即为抛物线𝑡=𝑏2+8𝑏−24在𝑥轴下方时，对应于𝑥轴交点横坐标的取值范∵1>0∴不等式的解集为−4−210≤𝑏≤−4+23（2026·上，圆的直径𝐶𝐷CC，𝐵𝐸F为切点．点A和点B的距离 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出𝐶𝐹的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5） 22OPP（1）（2）M，N，连接𝑀𝑁（1条）交𝐶𝐷O，此时∠𝑀𝐴𝑁=90°，即𝑀𝑁O为圆心；延长𝐵𝐸（2条）T，根据题意𝐶𝑇C为切点；连接𝑂𝑇（3条）O P，根据切线长定理可知𝑇𝐹=𝑇𝐶，易证𝐹𝑂𝑇𝐶𝑂𝑇(SAS)，可知∠𝐹𝑂𝑃=∠𝐶𝑂𝑃，则𝐹𝑃=𝐶𝑃（1） 62+22=2（2）M，N，连接𝑀𝑁（1条）交𝐶𝐷O，延长𝐵𝐸（2条）T，连接条）OPP𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐷=(1)求证：𝐴𝐷𝑂(2)若𝐴𝐷=23，求𝐵𝐶的长度（结果保留π．（1）证明∠𝐷𝑂𝐴=60°，即可求得∠𝐷𝐴𝑂=（2）根据𝐴𝐷=23，求得𝐴𝑂（1）𝑂𝐵=∴∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐵=∴∠𝐷𝑂𝐴=∵∠𝐷=∴∠𝐷𝐴𝑂=𝐴𝐵⊙𝑂𝐴𝐷⊙𝑂（2）𝐷=∴𝐴𝑂=𝐴𝐷⋅tan30°=∵∠𝐵𝑂𝐶=180°−2∠𝐵=∴𝑙⌢=5（2026·==．（1）（2）连接𝐴𝐷，由作图可知𝑙垂直平分𝐴𝐵，则𝐴𝐷=𝐵𝐷，所以∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵=30°，通过等边对等角和三角形内角和定理得出∠𝐵𝐴𝐶=120°，则∠𝐶𝐴𝐷=90°，所以𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，再由切线的判定方法即可求解．（1）解：如图，直线𝑙𝐷连接由作图可知：𝑙垂直平分∴𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵=∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=∴∠𝐵=∠𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−(∠𝐵+∠𝐶)=∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷=120°−30°=∴𝐴𝐷⊥∴𝐴𝐷⊙𝐷的切线，即所作⊙𝐷与𝐴𝐶6（2026·江苏无锡·一模）如图，𝐴𝐵𝑂的弦，𝐴𝐶经过圆心𝑂交𝑂于点𝐷，𝐸是𝑂∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐸𝐷=判断𝐵𝐶𝑂𝑂4，求△𝐴𝐵𝐶【答案】【答案】(1)𝐵𝐶𝑂(2)12（1）连接𝑂𝐵，根据题意可得∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=30°∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑂=60°（2）B作𝐵𝐻𝐴𝐶H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可𝐵𝐻=23，𝐴𝐻=6，再结合等腰三角形的性质可得𝐴𝐶=2𝐴𝐻=12，即可求解．（1）解：𝐵𝐶𝑂相切，证明如下：∵𝐵𝐷=∴∠𝐴=∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐸𝐷=∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=∵𝑂𝐴=∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝑂=∴∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶=180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝑂𝐶=90°，即𝑂𝐵𝐵𝐶与⊙𝑂（2）B作𝐵𝐻𝐴𝐶∵∠𝐵𝑂𝐶=∴∠𝑂𝐵𝐻=∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=∴𝑂𝐻=2𝑂𝐵=∴𝐵𝐻=2∵∠𝐴=∠𝐶=∴𝐵𝐴=𝐵𝐶，𝐴𝐵=2𝐵𝐻=4∴𝐴𝐻=又∵𝐵𝐻⊥∴𝐴𝐶=2𝐴𝐻=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐻=124切线的判定与性质；1（2026·=（ 【答案】【答案】【分析】根据圆周角定理求出∠𝐵𝑂𝐶的度数，再根据切线的性质得到∠𝑂𝐵𝑃=∠𝑂𝐶𝑃=90°，最后利用四边𝐴与∠𝐵𝑂𝐶𝑂中𝐵𝐶∴∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐴=2×62°=𝑃𝐵,𝑃𝐶𝑂∴𝑂𝐵⊥𝑃𝐵，𝑂𝐶⊥𝑂𝐵𝑃=∠𝑂𝐶𝑃=90∘，∠𝑃=360°−∠𝑂𝐵𝑃−∠𝑂𝐶𝑃−∠𝐵𝑂𝐶=360°−90°−90°−124°=2（2026·==𝐵𝐶与半圆𝑂相切于点𝐵，则𝐵𝐷的长为（ 【答案】【答案】【分析】根据切线的性质得出∠𝐴𝐵𝐶=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐴，再利用圆周角定理求出【详解】解：如图，连接∴∠𝐴𝐵𝐶=∵∠𝐶=∴∠𝐴=90°−∠𝐶=∴∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐴=∴𝐴𝐵=∴半径𝑂𝐵=2𝐴𝐵= =3（2026·一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知𝐴𝐵=7cm，则图中阴影 8【详解】解：作𝑂𝐶𝐴𝐵，连接𝑂𝐴，则𝐴𝐶=2𝐴𝐵=设小半圆的圆心为𝐸，作𝐸𝐹∵𝐴𝐵𝑂𝐸，𝐴𝐵∴𝐸𝐹=𝑂𝐶，𝐸𝐹设大半圆的半径为𝑅，小半圆的半径为𝑟，则𝑂𝐴=𝑅,𝑂𝐶=∴𝑂𝐴2−𝑂𝐶2=𝑅2−𝑟2=𝐴𝐶2= ×(𝑅2−𝑟2)=180π×49= 4（2026· 直线𝐸𝐹与△𝑃𝐴𝐵的外接圆相切于点P，点M在𝐴𝑃上，满足∠𝐴+∠𝑃𝐵𝑀=90°．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 于一点，此点即为点（2）先借助网格特点确定𝐴𝑁的垂直平分线；观察图可知𝑃𝐷𝐸𝐹，根据切线的性质，得到圆心在𝑃𝐷上，则𝐴𝑁的垂直平分线与𝑃𝐷的交点即为圆心；再结合∠𝐴∠𝑃𝐵𝑀=90°于一点，此点即为点（2）先借助网格特点确定𝐴𝑁的垂直平分线；观察图可知𝑃𝐷𝐸𝐹，根据切线的性质，得到圆心在𝑃𝐷上，则𝐴𝑁的垂直平分线与𝑃𝐷的交点即为圆心；再结合∠𝐴∠𝑃𝐵𝑀=90°的条件，利用圆的相关性质，即可找M．根据勾股定理得：𝐸𝐹 32+12=求证：𝐸𝐹O(2)已知𝐴𝐶=9，tan𝐴=32，当𝐴𝐶OG①O(2)①4；②8+（1）连接𝑂𝐸,根据等腰三角形的性质易得到∠𝑂𝐸𝐵=∠𝐶，进而得到𝑂𝐸𝐴𝐶，根据平行线的性质得到∠𝑂𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐶，根据𝐸𝐹⊥𝐴𝐶得到∠𝑂𝐸𝐹=90°，从而得出结论；（2）①连接𝑂𝐺，根据切线的性质得到△𝐴𝑂𝐺是直角三角形，进而得到tan𝐴=𝐴𝐺，设𝑂𝐺=𝑂𝐵=4𝑥𝐴𝐺=3𝑥，𝐴𝑂=5𝑥，进而求出𝐴𝐵=9𝑥，结合𝐴𝐵=𝐴𝐶，列方程求出𝑥的值，从而求出𝑂𝐺②连接𝑂𝐸，易证明四边形𝑂𝐸𝐹𝐺为正方形，进而得到∠𝐸𝑂𝐺=90°，𝐺𝐹=𝐸𝐹𝐺𝐹𝐸𝐹+𝑙⏜∵𝑂𝐵=∴∠𝐵=∵𝐴𝐵=∴∠𝐵=∴∠𝑂𝐸𝐵=∴𝑂𝐸∥∴∠𝑂𝐸𝐹=∵𝐸𝐹⊥∴∠𝐸𝐹𝐶=∴∠𝑂𝐸𝐹=∴𝑂𝐸⊥𝐸𝐹O𝐴𝐶O∴𝑂𝐺⊥𝐴𝑂𝐺 ∴tan𝐴=𝐴𝐺=设𝑂𝐺=𝑂𝐵=4𝑥，则𝐴𝐺=3𝑥，𝐴𝑂 𝐴𝐺2+𝑂𝐺2 (3𝑥)2+(4𝑥)2=∴𝐴𝐵=𝑂𝐴+𝑂𝐵=5𝑥+4𝑥=∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=∴9𝑥=∴𝑥=∴𝑂𝐺=O∵∠𝑂𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐺=∠𝑂𝐺𝐹=四边形𝑂𝐸𝐹𝐺∵𝑂𝐺=矩形𝑂𝐸𝐹𝐺∠𝐸𝑂𝐺=90°，𝐺𝐹=𝐸𝐹=4，由①O4，∴阴影部分的周长为：𝐺𝐹𝐸𝐹𝑙

=4+4

180=8+6（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，𝑃𝑂外一点，𝐴为𝑂上一点，𝐵𝐶是𝑂的直径，𝑂𝑃𝐴𝐵，且𝑃𝐶与⊙𝑂相切于点𝐶，连接𝑃𝐴和𝑂𝐴．(1)求证：∠𝐴𝑂𝑃=求证：𝑃𝐴𝑂(3)若∠𝐴𝐵𝐶=60°,𝑂𝐵=2(3)3−（1）连接𝐴𝐶，圆周角定理得到∠𝐶𝐴𝐵=90°，根据𝑂𝑃𝐴𝐵，得到𝐴𝐶𝑂𝑃，三线合一，即可得出（2）证明𝑃𝐴𝑂≌𝑃𝐶𝑂，得到∠𝑂𝐴𝑃=90°（2）∵𝐵𝐶是𝑂∴∠𝐶𝐴𝐵=90°，即𝐶𝐴∵𝑂𝑃∥∴𝐴𝐶⊥∵𝑂𝐴=∴∠𝐴𝑂𝑃=（2）证明：∵𝑃𝐶与𝑂相切于点∴∠𝑂𝐶𝑃=由（1）知：∠𝐴𝑂𝑃∠𝐶𝑂𝑃，又∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝑃=𝑂𝑃，∴△𝑃𝐴𝑂≌△∴阴影部分的面积=𝑆扇形𝐴𝑂𝐵−𝑆△𝐴𝑂𝐵 ×22−3 − ∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×2×23×2=∵𝑂𝐵=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=2,𝐴𝐶 𝐵𝐶2−𝐴𝐵2=2∴∠𝑂𝐶𝑃=∠𝑂𝐴𝑃=90°，即𝑂𝐴⊥（3）解：∵∠𝐴𝐵𝐶=60°,𝑂𝐵=∴𝐵𝐶=4,∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝐴𝐵𝐶=7（2026·⊙⊙(1)如图①，延长𝐴𝑂𝑂相交于点𝐸，若𝐵𝐶𝑂𝐴，垂足为点𝐹，∠𝐹𝑂𝐶=66°，求∠𝐴𝑃𝐵(2)如图②，延长𝐵𝐶与𝑃𝐴相交于点𝑀，若𝐵𝐶∥𝑂𝐴，𝑃𝐵=10，𝑃𝑀=6，求𝑂【答案】【答案】（1）连接𝑂𝐵，由垂径定理可得𝐵𝐸=𝐶𝐸，即得∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐹𝑂𝐶=66°∠𝐴𝑂𝐵=180°−∠𝐵𝑂𝐸=114°，又由切线的性质得∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，再根据四边形内角和解答即可求（2）过点𝑂作𝑂𝐻𝐵𝐶于𝐻，连接𝑂𝐵，由切线长定理可得𝑃𝐴=𝑃𝐵=10，即可得𝑀𝐴=𝑃𝐴−𝑃𝑀=4，进而由矩形的性质得𝑂𝐻=𝐴𝑀=4，再利用△𝑂𝐻𝐵∽△𝐵𝑀𝑃解答即可求解．∵𝐵𝐶⊥∴𝐵𝐸=∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐹𝑂𝐶=∴∠𝐴𝑂𝐵=180°−∠𝐵𝑂𝐸=∵𝑃𝐴，𝑃𝐵𝑂相切于点∴𝑂𝐴⊥𝑃𝐴，𝑂𝐵⊥∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=∵∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐴𝑂𝐵+∠𝑂𝐴𝑃+∠𝑂𝐵𝑃=∴∠𝐴𝑃𝐵=360°−114°−90°−90°=（2）解：如图，过点𝑂作𝑂𝐻𝐵𝐶于𝐻，连接∵𝑃𝐴，𝑃𝐵𝑂相切于点∴𝑃𝐴=𝑃𝐵=10，𝑂𝐴⊥𝑃𝐴，𝑂𝐵⊥∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=∵𝐵𝐶∥𝑂𝐴，𝑃𝑀=∴∠𝐵𝑀𝑃=∠𝐴𝑀𝐻=∠𝑂𝐴𝑃=90°，𝑀𝐴=𝑃𝐴−𝑃𝑀=10−6=∴𝐵𝑀 𝐵𝑃2−𝑃𝑀2=∵∠𝑂𝐻𝑀=∠𝐴𝑀𝐻=∠𝑂𝐴𝑀=∴𝑂𝐻=𝐴𝑀=∵∠𝐵𝑂𝐻+∠𝑂𝐵𝐻=90°，∠𝑃𝐵𝑀+∠𝑂𝐵𝐻=∴∠𝐵𝑂𝐻=又∵∠𝑂𝐻𝐵=∠𝐵𝑀𝑃=∴△𝑂𝐻𝐵∽△

∴𝑃𝐵=𝐵𝑀，即10=解得𝑂𝐵=∴⊙𝑂的半径为考向考向 圆与其他知识综51（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为𝑂外一点，𝑃𝐴和𝑃𝐵𝑂的两条切线，AB为切点，𝐵𝐶为直径，连接𝐴𝐶，𝑃𝑂．如果∠𝐶=58°，那么∠𝐴𝑃𝑂的度数是（） 【答案】【答案】【分析】连接𝑂𝐴𝑃𝐴𝑂≌𝑃𝐵𝑂(SSS)得∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐶=116°，可得∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃=2∠𝐴𝑂𝐵=58°，进而可求出∠𝐴𝑃𝑂【详解】解：如图，连接∵𝑃𝐴和𝑃𝐵𝑂∴𝑃𝐴=𝑃𝐵,∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝐵𝑂=∵𝑂𝐴=𝑂𝐵,𝑃𝑂=∴△𝑃𝐴𝑂≌△∴∠𝐴𝑂𝑃=∵∵𝐴𝐵=𝐴𝐵，∠𝐶=∴∠𝐴𝑂𝐵=2∠𝐶=∴∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃=2∠𝐴𝑂𝐵=∴∠𝐴𝑃𝑂=90°−58°=2（2026·于点E，作△𝐴𝐷𝑃的外接圆⊙𝑂，交𝐴𝐶于点F．连接𝑃𝐹，则∠𝐷𝑃𝐹的度数为 ；若𝐴𝐸=2𝐶𝐹，则𝐴𝑃= ∵𝐷𝐹∵𝐷𝐹=∴∠𝐷𝑃𝐹=∠𝐷𝐴𝐹=45°；∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐴=45°，𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐷=1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=2，，再结合𝐴𝐸=2𝐶𝐹，求出𝑎 ，即可得出结果2−3−𝐷𝐴𝐹𝐸𝐴𝑃，求出𝐴𝐸=【分析】由正方形的性质可得∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐵=45°，再结合圆周角定理即可得出∠𝐷𝑃𝐹的度数；连接由圆周角定理可得∠𝐷𝐹𝑃=90°，则𝐷𝐹𝑃为等腰直角三角形，进而可得𝐷𝐹=𝑃𝐹，作𝐹𝑀𝐶𝐷于点𝑀，延长𝑀𝐹交𝐴𝐵于点𝑁，证明四边形𝐵𝐶𝑀𝑁为矩形，得出𝐶𝑀=𝐵𝑁△𝐷𝐹𝑀≌△𝐹𝑃𝑁(AAS)，得出𝐷𝑀=𝐹𝑁，𝑀𝐹=𝑃𝑁𝐹𝐶𝑀为等腰直角三角形，得出𝐶𝑀=𝐹𝑀=𝑃𝑁=𝐵𝑁𝐶𝑀=𝐹𝑀=𝑃𝑁=𝐵𝑁=𝑎，则𝐶𝐹=2𝑎，𝐷𝑀=𝑁𝐹=1−𝑎，𝐴𝑃=1−2𝑎，𝐴𝐹=2−2𝑎∵𝐷𝑃𝑂∴∠𝐷𝐹𝑃=𝐷𝐹𝑃∴𝐷𝐹=作𝐹𝑀𝐶𝐷于点𝑀，延长𝑀𝐹交𝐴𝐵于点∵𝐴𝐵∥∴𝑀𝑁⊥∴∠𝐷𝑀𝐹=∠𝐹𝑁𝑃=∠𝐷𝐹𝑃=∠𝑀𝑁𝐶=∴𝐶𝑀=∵∠𝐷𝐹𝑀+∠𝐹𝐷𝑀=∠𝐷𝐹𝑀+∠𝑃𝐹𝑁=∴∠𝐹𝐷𝑀=∴△𝐷𝐹𝑀≌△∴𝐷𝑀=𝐹𝑁，𝑀𝐹=∵∠𝐷𝐶𝐴=45°，𝐹𝑀⊥𝐹𝐶𝑀∴𝐶𝑀=𝐹𝑀=𝑃𝑁=设𝐶𝑀=𝐹𝑀=𝑃𝑁=𝐵𝑁=𝑎，则𝐶𝐹 𝐶𝑀2+𝑀𝐹2=2𝑎，𝐷𝑀=𝑁𝐹=1−𝑎，𝐴𝑃=∴𝐴𝐹=𝐴𝐶−𝐶𝐹=2−∵𝐴𝐷=∴∠𝐷𝐹𝐴=∵∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝑃=∴△𝐷𝐴𝐹∽△

∴𝐴𝐹=

2−

=∴𝐴𝐸

2−∵𝐴𝐸=2−

=2×解得：𝑎=

3+4（不符合题意，舍去）或𝑎=

3−4∴𝐴𝑃=1−2𝑎=1−2

3−

23（2026·∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐷𝐶E在𝐴𝐶求证：𝐸𝐵2=𝐸𝐶⋅求证：𝐸𝐵𝑂（1）先由圆周角定理得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐶，结合已知等量代换得∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐶 △𝐵𝐶𝐸∽△𝐴𝐵𝐸，则𝐸𝐴=𝐸𝐵（2）连接𝑂𝐵，延长𝐵𝑂𝑂F，连接𝐶𝐹，由圆周角定理得∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐹𝐶，结合已知∠𝐶𝐵𝐸=得∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐶𝐵𝐸，由𝐵𝐹是𝑂的直径，得∠𝐵𝐶𝐹=90°，进而推出∠𝐶𝐵𝐹∠𝐶𝐵𝐸=90°，即∠𝐹𝐵𝐸=90°，（1）证明：∵∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐶𝐵𝐸=在𝐵𝐶𝐸和𝐴𝐵𝐸中，∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐸=∴△𝐵𝐶𝐸∽△∴𝐸𝐴=∴𝐸𝐵2=𝐸𝐶⋅（2）证明：连接𝑂𝐵，延长𝐵𝑂𝑂F，连接∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐹𝐶，又∵∠𝐶𝐵𝐸∠𝐵𝐷𝐶，∴∠𝐵𝐹𝐶=∴𝐵𝐹是𝑂∴∠𝐵𝐶𝐹∴∠𝐵𝐶𝐹=∴∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐵𝐹𝐶=∴∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝐸=90°，即∠𝐹𝐵𝐸=∴𝐵𝐹⊥4（2026·(1)求证：∠𝐵𝐶𝐸=(2)若𝐵𝐶=4，F是𝐵𝐺的中点，求𝐵𝐺∵𝐵𝐶∵𝐵𝐶=∴𝐵𝐺2=∴𝐵𝐺=42（负值舍去∴𝐵𝐺2=𝐵𝐶∴𝐵𝐹=∴𝐵𝐺=∴𝐵𝐺⋅𝐵𝐹=∵F是𝐵𝐺（1）证明：∵𝑂中，弦𝐶𝐷直径∴𝐵𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐸=（2）解：∵在𝐵𝐶𝐹和△𝐵𝐺𝐶中，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐺，∠𝐹𝐵𝐶=∴△𝐵𝐶𝐹∽△（2）证明△𝐵𝐶𝐹∽△𝐵𝐺𝐶，推出𝐵𝐺⋅𝐵𝐹=𝐵𝐶2，再根据已知可得𝐵𝐺= ，即可求解(2)𝐵𝐺=4（1）根据垂径定理得到𝐵𝐷=𝐵𝐶5（2026·=(1)𝐶𝐹𝑂(2)若𝑂𝐴=2(2)3π−（1）根据直径所对圆周角等于90°，已知垂直的条件证明∠𝑂𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐸△𝐶𝐹𝑂≌△（2）根据𝐶𝐹𝑂𝐶𝐸𝐵可得𝑂𝐶=𝐵𝐶，进而可得𝑂𝐶𝐵𝑂𝐵𝐶的圆心角等于60°，再根据阴影部分的面积等于扇形𝑂𝐵𝐶𝑂𝐶𝐵（1）证明：∵𝐴𝐵是⊙O∴∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐴+∠𝐵=∵𝑂𝐴=∴∠𝐴=∴∠𝑂𝐶𝐴+∠𝐵=∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，𝑂𝐹⊥∴∠𝐶𝐹𝑂=∠𝐶𝐸𝐵=∴∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐵=∴∠𝑂𝐶𝐹=在𝐶𝐹𝑂𝐶𝐸𝐵∠𝑂𝐶𝐹=∠𝐶𝐹𝑂=𝑂𝐹=∴△𝐶𝐹𝑂≌△（2）解：由（1）知𝐶𝐹𝑂∴𝑂𝐶=∵𝑂𝐶=∴𝑂𝐶=𝐵𝐶=𝑂𝐵△𝑂𝐶𝐵∴∠𝐵𝑂𝐶=60°，𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=2=∴𝑂𝐸=𝐵𝐸=1，𝐶𝐸= π⋅22−×2×3=π−扇形 =6（2026·求证：𝑃𝐷𝑂(3)若𝑃𝐵=6，tan∠𝐶𝐷𝐵=2，求⊙𝑂𝑃𝐷2=𝑃𝐴⋅𝑃𝐵（1）连接𝑂𝐶,𝑂𝐷，由垂径定理可得直线𝐴𝐵垂直平分𝐶𝐷，进而得到𝑃𝐷=𝑃𝐶∠𝑃𝐷𝐶=∠𝑃𝐶𝐷,∠𝑂𝐷𝐶=∠𝑂𝐶𝐷，再由切线的性质得到∠𝑃𝐶𝑂=90°（2）由圆周角定理得到∠𝐴𝐷𝐵=90°，再利用同角的余角相等得到∠𝐴𝐷𝑂=∠𝑃𝐷𝐵，加上∠𝐴=∠𝐴𝐷𝑂 ∠𝐴=∠𝑃𝐷𝐵△𝑃𝐷𝐵∽△𝑃𝐴𝐷可得𝑃𝐵=𝑃𝐷（3）设𝐴𝑃,𝐶𝐷交点为𝑀，由垂径定理可得∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝑀𝐵=90°，进而得到∠𝐴=∠𝐶𝐷𝐵；由tan∠𝐶𝐷𝐵=可得𝐴𝐷=2；再根据△𝑃𝐷𝐵∽△𝑃𝐴𝐷可得𝑃𝐷=𝑃𝐴=𝐴𝐷=2则𝑃𝐷=6、𝑃𝐴=12，进而得到𝐴𝐵=9即可解 𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦∴𝑃𝐷=∴∠𝑃𝐷𝐶=∵𝑂𝐷=∴∠𝑂𝐷𝐶=∴∠𝑃𝐷𝐶∠𝑂𝐷𝐶=∠𝑃𝐶𝐷∠𝑂𝐶𝐷，即∠𝑃𝐷𝑂=∵𝑃𝐶是𝑂∴∠𝑃𝐶𝑂=∴∠𝑃𝐷𝑂=∵𝑂𝐷𝑂∴𝑃𝐷𝑂（2）解：𝑃𝐷2=𝑃𝐵·𝐴𝑃𝐴𝐵⊙𝑂∴∠𝐴𝐷𝐵=∵∠𝑃𝐷𝑂=∴∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐴𝐷𝑂=∵𝑂𝐴=∴∠𝐴=∴∠𝐴=∵∠𝐵𝑃𝐷=∴△𝑃𝐷𝐵∽△ ∴𝑃𝐵=∴𝑃𝐷2=𝑃𝐴⋅∵𝐷𝐶⊥∴∠𝐷𝑀𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝑀𝐵=∴∠𝐴+∠𝐷𝐵𝑀=90°，∠𝐶𝐷𝐵+∠𝐷𝐵𝑀=∴∠𝐴=∵tan∠𝐶𝐷𝐵= ∴tan𝐴=𝐴𝐷=∵△𝑃𝐷𝐵∽△ ∴𝑃𝐷=𝑃𝐴=𝐴𝐷=∵∵𝑃𝐵=∴𝑃𝐷=∴𝑃𝐴=∴𝐴𝐵=24−6=∴⊙𝑂的半径的长为6；1（2026·⊙𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点D，与𝐶𝐷相交于点E．点A的坐标是(−5,3)，则点E的坐标 【答案】【答案】∵5的⊙𝑂与𝐴𝐵,𝐵𝐶∴𝐴𝐵∴𝐴𝐵𝑥∴𝐴𝑀=3=𝐷𝑁，𝑂𝐷=𝑂𝑀=在Rt△𝑂𝐷𝑁中，𝑂𝑁= 𝑂𝐷2−𝐷𝑁2=4．在Rt△𝑂𝐸𝑁中，𝑂𝐸=5，𝑂𝑁=4，∴𝑁𝐸 𝑂𝐸2−𝑂𝑁2=2（2026· 【答案】【答案】60°/60【分析】根据平行线的性质得出𝑂𝐴=𝐶𝐷𝑂𝐶𝐷𝑂𝐴𝐷为等边三角形，得出∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐷=60°，求出∠𝐴𝑂𝐶=120°，根据圆周角定理求出∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶=∴𝑂𝐴=∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝐶𝐷∴∠𝐶𝑂𝐷=𝑂𝐴𝐷∴∠𝐴𝑂𝐷=∴∠𝐴𝑂𝐶=60°+60°=∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶=3（2026·线，其中点𝐴为切点．点𝐸是𝐵𝐶下方⊙𝑂上的点，连接𝐴𝐸、𝐵𝐸．(2)若𝐵𝐸=8，sin∠𝐵𝐴𝐸=5，求𝐴𝐵【答案】【答案】(2)𝐴𝐵=5（1）连接𝐴𝑂，由切线的性质可得∠𝑂𝐴𝐷=90°，由平行四边形的性质可得𝐴𝐷𝐵𝐶，由平行线的性质可得∠𝐴𝑂𝐵=∠𝑂𝐴𝐷=90°，最后再由圆周角定理计算即可得出结果；（2）作𝐵𝐹𝐴𝐸于点𝐹，解直角三角形可得𝐵𝐹=42∵𝐴𝐷𝑂∴∠𝑂𝐴𝐷=∴𝐴𝐷∥∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝑂𝐴𝐷=∵𝐴𝐵=∴∠𝐸=2∠𝐴𝑂𝐵=（2）解：如图，作𝐵𝐹𝐴𝐸于点由（1）可得∠𝐸=∴𝐵𝐹=𝐵𝐸⋅sin45°=4∵sin∠𝐵𝐴𝐸=∴𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=54（2026·如图①，若𝐷𝑁𝑂M，𝐴𝐷=𝐶𝑀，∠𝐵𝐴𝐷=120°，∠𝐴𝐵𝐷=20°，求∠𝑁 如图②，若𝐷𝑁𝑂D，延长𝐵𝐴交𝐷𝑁P，𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐶=26，𝑃𝐷=12，求𝐶𝑁【答案】【答案】(2)（1）先由∠𝐵𝐶𝐷∠𝐵𝐴𝐷=180°求出∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝑀𝐷=60°∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝑀=20°边形𝐴𝐻𝐷𝑃是矩形，则𝐴𝐻=𝑃𝐷=𝐶𝐻=12，𝐴𝐻∥𝑃𝐷，由勾股定理可得𝑂𝐻 𝑂𝐶2−𝐶𝐻2=5，再由𝑁=sin∠1∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝑂∴∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=∵∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐷=180°−∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝑀𝐷=∵𝐴𝐷= ∴𝐴𝐷=∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝑀=∴∠𝑁=∠𝐵𝑀𝐷−∠𝐶𝐵𝑀=60°−20°=∵𝐷𝑁𝑂∴𝑂𝐷⊥∴∠𝑃𝐷𝐻=∠𝐻𝐷𝑁=∵𝐵𝐶为𝑂∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝑃= ∵𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝑂𝐷∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶,𝐻𝐴=∴∠𝐻𝐷𝑃=∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐴𝐻𝐷=∴𝐴𝐻=𝑃𝐷=𝐶𝐻=12，𝐴𝐻∥∵𝐵𝐶=∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=∴𝑂𝐻 𝑂𝐶2−𝐶𝐻2=∵𝐴𝐻∥∴∠1=∴sin𝑁= ∴𝑂𝑁= ∴𝑂𝑁=∴𝑂𝑁=5

∴𝐶𝑁=𝑂𝑁−𝑂𝐶

5−13=55（2026·在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=9，点𝐸是边𝐴𝐷上一动点，连接𝐵𝐸𝐴𝐵𝐸关于直线𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸，点𝐴的对称点为点2，当𝐴𝐸=8时，𝐸𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，以𝐵𝐸为直径作⊙𝑂经过点②求证：𝐶𝐷𝑂(2)①𝐵𝐺=4，②(3)23或12−6（1）𝐴𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸关于直线𝐵𝐸对称得出𝐴𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸则∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸=90°∠𝐸𝐹𝐶=90°，即可证明四边形𝐸𝐹𝐶𝐷（2）①先证明𝐵𝐺=𝐸𝐺，设𝐵𝐺=𝑥，则𝐺𝐸=𝑥，𝐺𝐹=8−𝑥，在Rt△𝐵𝐺𝐹中，𝐵𝐺2=𝐵𝐹2+𝐺𝐹2，勾股定理求得𝐵𝐺=4②过圆心𝑂作直线𝑀𝑁𝐶𝐷于点𝑀，交𝐴𝐵于点𝑁，先证明四边形𝐴𝑁𝑀𝐷是矩形，𝑂𝑁𝐵𝐴𝐸的中位线，得出𝑂𝑀=5，即可证明𝑂𝑀为半径，进而证明𝐶𝐷⊙𝑂的切线；（3）分两种情况讨论，∠𝐹𝐵𝐶=30°，∠𝐴𝐵𝐹=30°∴∠𝐴=∠𝐶=∠𝐷=𝐴𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸关于直线𝐵𝐸∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸=∴∠𝐸𝐹𝐶=∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐶=∠𝐷=四边形𝐸𝐹𝐶𝐷（2）解：①由（1）𝐴𝐵𝐸∴∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸=90°，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐵，𝐸𝐹=𝐸𝐴=8，𝐵𝐹=𝐵𝐴=∴𝐴𝐷∥∴∠𝐴𝐸𝐵=∴∠𝐸𝐵𝐺=∴𝐵𝐺=设𝐵𝐺=𝑥，则𝐺𝐸=𝑥，𝐺𝐹=在Rt△𝐵𝐺𝐹中，𝐵𝐺2=𝐵𝐹2∴𝑥2=62+解得：𝑥=

4，即𝐵𝐺=4②如图，过圆心𝑂作直线𝑀𝑁𝐶𝐷于点𝑀，交𝐴𝐵于点∴∠𝑁𝑀𝐷=∠𝐴=∠𝐷=∴𝑀𝑁=𝐴𝐷=9，𝑀𝑁⊥∴𝐴𝑁=∴𝑂𝑁𝐵𝐴𝐸∴𝑂𝑁=2𝐴𝐸=∴𝑂𝑀=𝑀𝑁−𝑂𝑁=9−4=在Rt△𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸 𝐴𝐸2+𝐴𝐵2 82+62=∴𝑂𝑀=2𝐵𝐸，即𝑂𝑀⊙𝑂又∵𝑂𝑀∴𝐶𝐷𝑂（3）解：如图所示，当∠𝐹𝐵𝐶=30°∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐹𝐵𝐶=90°−30°=𝐴𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸关于直线𝐵𝐸∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸=∵𝐴𝐵∵𝐴𝐵=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵⋅tan∠𝐴𝐵𝐸=6×3=2如图所示，当∠𝐴𝐵𝐹=30°时，延长𝐵𝐹交𝐴𝐷于点𝐴𝐵𝐸𝐹𝐵𝐸关于直线𝐵𝐸∴∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸=90°，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸=15°，𝐴𝐸=∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐵𝐸𝐹=∴∠𝐹𝐸𝐺=设𝐴𝐸=𝑥，则𝐸𝐹=∴𝐹𝐺=𝐸𝐹⋅tan∠𝐹𝐸𝐺=3∴𝐵𝐺=𝐵𝐹+𝐹𝐺=6+3又∵∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐴𝐵𝐹=∴𝐵𝐺=cos∠𝐴𝐵𝐺=3=4 ∴6+3𝑥=4解得：𝑥=12−63，即𝐴𝐸=12−6综上所述，当点𝐹落在∠𝐴𝐵𝐶的三等分线上时，𝐴𝐸=23或𝐴𝐸=12−66（2026·=𝐴𝑀=3cm，𝐷𝑁=4cm，点𝑃从点𝑀出发，沿折线𝑀𝐵→𝐵𝐶以1cm/s的速度向点𝐶匀速运动(不与点𝐶重合𝐴𝑃𝐶的外接圆𝑂交边𝐶𝐷于点𝐸，连接𝐴𝐸、𝑃𝐸．设点𝑃运动时间为当点𝑃在边𝐴𝐵．上运动时，证明：𝑃𝐸当点𝑃在边𝐵𝐶𝐴𝑃𝐸在运动过程中，若点𝑁⊙𝑂内部，求𝑡𝐴𝑃𝐸0≤𝑡<1或17<𝑡<（1）𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶𝐷∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝐶𝐸=60°=∠𝐵，从而得到𝑃𝐸𝐵𝐶，继而得到𝑃𝐸（2）利用AAS𝐴𝐵𝑃𝐴𝐶𝐸得到∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝐸,𝐴𝑃=𝐴𝐸，继而得到∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐸=60°𝐴𝑃𝐸（3）EN重合时的图形，设𝐴𝐶𝐸的外接圆与𝐴𝐵、𝐵𝐶分别交于点𝑃1、𝑃2P在线⊙（1（2）（1）解：证明：在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐷=60°，𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶𝐷∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐴𝐶=12cm，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝑃𝐶的外接圆⊙𝑂交边𝐶𝐷于点∴∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝐶𝐸=60°=∴𝑃𝐸∥∴𝑃𝐸∥𝐴𝑃𝐸∵四边形𝐴𝑃𝐶𝐸是𝑂∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐴𝐸𝐶=180°，又∵∠𝐴𝑃𝐶∠𝐴𝑃𝐵=180°，∴∠𝐴𝑃𝐵=又由（1）得：𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸=∴△𝐴𝐵𝑃≌△∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝐸,𝐴𝑃=∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝐸+∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑃𝐴𝐸=𝐴𝑃𝐸EN重合时，设△𝐴𝐶𝐸的外接圆与𝐴𝐵、𝐵𝐶分别交于点𝑃1、P在线段𝑀𝑃1上(M，不含端点𝑃1)或线段𝐶𝑃2上(不含端点)N在⊙𝑂①①由（1）的𝑃1𝐸∥又∵𝐴𝐵∴𝐴𝑃1=𝐷𝐸=𝐷𝑁=4cm，又∵𝐴𝑀=3cm，∴𝑀𝑃1=𝐴𝑃1−𝐴𝑀=∴当𝑡1P与点𝑃1∴当0𝑡<1时，点𝑁在𝑂P在线段𝑀𝑃1上(M，不含端点②由（2）得△𝐴𝐵𝑃2≌△∴𝐵𝑃2=𝐶𝐸=𝐶𝐷−𝐷𝐸=𝐶𝐷−𝐷𝑁=∴当𝑡=17P与点𝑃2又∵当𝑡∴当17<𝑡<21时，点𝑁在𝑂P在线段𝐶𝑃2上(不含端点综上所述：当0≤𝑡<1或17<𝑡<21时，点𝑁在⊙𝑂7；1（2026·=+ E，以𝐴𝐵yCM，P是半圆上的一动点，连接①E在⊙𝑀②𝐶𝐷的长为③PC重合，则∠𝐷𝑃𝐸=④P的运动过程中，若𝐴𝑃=23，则𝑃𝐸=

+⑤N是𝑃𝐸PABN运动的路径长是则正确的选项为（ 解得：解得：𝑥=−1或𝑥=∴𝑂𝐴=1,𝑂𝐵=∴𝐴𝐵=∴⊙𝑀∴𝑀𝐸=2,⊙𝑀∴E点在⊙𝑀上．故①②连接𝑀𝐶，则𝑀𝐶=2令𝑦=0，则−𝑥2+𝑥+=∴𝑂𝑀=1,𝑀𝐸=令𝑥=0，则𝑦=∴𝑂𝐷==−(𝑥−1)2【详解】解：∵𝑦=−𝑥2+𝑥∠𝐸𝐶𝐷=2∠𝑂𝐶𝑀=15°，结论可得；④连接𝐸𝐴,𝐸𝐵A作𝐴𝐾𝑃𝐸K函数求得𝐴𝐾,𝐸𝐾,𝐾𝑃，则𝑃𝐸=𝐸𝐾𝑃𝐾，结论可得；⑤连接𝑀𝑁，则𝑀𝑁𝑃𝐸N的运动轨迹，根N运动的路径长．【答案】【分析】①𝑀𝐸=2=𝐴𝑀E在⊙𝑀上，答案可求；②由题意，𝑂𝐷=2，利用勾股定理𝑂𝐶故𝐶𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷，结论可得；③由锐角三角函数可求∠𝑂𝐶𝑀=30°在𝑅𝑡𝑂𝐶𝑀中，sin∠𝑂𝐶𝑀=∴∠𝑂𝐶𝑀=∴𝑂𝐶=𝑀𝐶×cos30°=∴𝐶𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷=3+2．故②由②知：∠𝑂𝐶𝑀=∴∠𝑀𝐸𝐶=∵𝑀𝐸=𝑀𝐶=∴∠𝑀𝐶𝐸=∴∠𝑀𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=2∠𝑂𝐶𝑀=∵PC∴∠𝐷𝑃𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=15°．故③④如图，连接𝑃𝐵,𝐴𝐸,𝑀𝐸A作𝐴𝐾𝑃𝐸∵𝑀𝐸=∴E点在⊙𝑀∴∠𝐴𝐸𝑃=∴∠𝐴𝑃𝐵= 2 ∴sin∠𝐴𝐵𝑃=𝐴𝐵=4=2∴∠𝐴𝐵𝑃=∴∠𝐴𝐸𝑃=∵𝐴𝐸 𝑀𝐴2+𝑀𝐸2=2∴𝐸𝐾=𝐴𝐸·cos∠𝐴𝐸𝑃=22×2=𝐴𝐾=𝐴𝐸·sin∠𝐴𝐸𝑃=22×2=∵∠𝐴𝑀𝐸=∴∠𝐴𝑃𝐸=2∠𝐴𝑀𝐸=𝐴𝐾𝑃∴𝑃𝐾=𝐴𝐾=∴𝑃𝐸=𝐸𝐾+𝑃𝐾=2+6．故④∵G，F为𝐴𝐸,𝐵𝐸∴𝐹𝐺为𝐸𝐴𝐵∴𝐹𝐺∴𝐹𝐺=2𝐴𝐵=连接∵N为𝑃𝐸的中点，M∴𝑀𝑁⊥∴N运动的路径长是2×2𝜋1=𝜋．故⑤综上，正确的选项为2（2026·中，点𝑃运动的路程为𝑥，∠𝑃𝑂𝐵的度数为𝑦，则𝑦关于𝑥的函数图象大致为（） 【答案】【答案】【分析】先由题意可得𝑂𝐵=𝑂𝐴=2，𝑂1𝐴=𝑂2𝐵=2×2=1，𝐴𝐷𝐵=𝜋×2=2𝜋，𝑂𝐶𝐵==𝜋×1=𝜋，然后分三种情况：点𝑃分别在⊙𝑂2⊙𝑂⊙𝑂1【详解】解：∵半圆𝑂2，半圆𝑂1,𝑂2经过点𝑂，且分别与圆𝑂切于点∴𝑂𝐵=𝑂𝐴=2，𝑂1𝐴=𝑂2𝐵=2×2=∴𝐴𝐷𝐵=𝜋×2=2𝜋，𝑂𝐶𝐵=𝐴𝐸𝑂=𝜋×1=如图，当点𝑃在⊙𝑂2上时，连接∵∠𝑃𝑂𝐵=𝑦，𝑂𝑂2=∴∠𝑃𝑂𝑂2=∴∠𝑃𝑂2𝐵=∠𝑃𝑂𝑂2+∠𝑂𝑃𝑂2=2∠𝑃𝑂𝑂2=2𝑦，由题意得，𝑂𝑃=𝑥，则𝑃𝐶𝐵=𝜋−𝑥，∴180°=∴𝑦=−𝜋𝑥+∴当𝑥=0时，点𝑃与点𝑂∴0<𝑥≤当𝑥=𝜋时，𝑦=∵−𝜋<∴𝑦随𝑥如图，当点𝑃在𝑂上时，连接𝑂𝑃，则∠𝑃𝑂𝐵=∵𝐵𝑃=𝑥−𝑂𝐶𝐵=∴180°=∴𝑦=90°𝑥−90°(𝜋<𝑥≤∴当𝑥=𝜋时，𝑦=0°，当𝑥=3𝜋时，𝑦=∵𝜋>∴𝑦随𝑥如图，当点𝑃在⊙𝑂1上时，连接∵∠𝑃𝑂𝐵∵∠𝑃𝑂𝐵=∴∠𝑃𝑂𝐴=∴∠𝑃𝑂1𝐴=2∠𝑃𝑂𝐴=2(180°−𝑦)=∵𝐴𝑃=𝑥−𝑂𝐶𝐵−𝐴𝐷𝐵==∴𝑦=−𝜋𝑥+∴当𝑥=3𝜋时，𝑦=当𝑥=4𝜋时，点𝑃与点𝑂∴3𝜋<𝑥<∵−𝜋<综上所述，当0<𝑥≤𝜋时，𝑦=−𝜋𝑥+90°，当𝜋<𝑥≤3𝜋时，𝑦=𝜋𝑥−90°，当3𝜋<𝑥<4𝜋时，𝑦=𝜋𝑥+3（2026·1厘米/秒，点𝑃1秒后，动点𝑄也从𝐴点出发，以𝑣周上按顺时针方向作匀速运动，设动点𝑃运动𝑡秒时，点𝑃，𝑄与点𝐴间的劣弧（或半圆）长分别记为𝑦2，则𝑦1，𝑦2关于𝑡2试确定动点𝑄的速度当2≤𝑡≤4时，求𝑦1关于𝑡的一次函数表达式，并求出当𝑡=2时，𝑦12中的点𝐶为两个函数图象的交点，求点𝐶的坐标，并求此时点𝑃，点𝑄【答案】(1)𝑣=3厘米/(2)𝑦1=−𝑡+4(2≤𝑡≤4)，当𝑡=2秒时，𝑦1=(3)点𝑃，点𝑄间的劣弧长为72可知，当𝑡=2.5秒时，𝑦2=22信息，运用待定系数法得到函数解析式，令𝑡=2运用待定系数法得到𝑦2CC得到点𝑃，点𝑄间的劣2可知，当𝑡=2.5秒时，𝑦2=2厘米，∴𝑣=2÷(2.5−1)=3厘米/（2）解：当𝑡=2秒时，𝑦1=2厘米，当𝑡=4秒时，𝑦1=0∴设𝑦1=𝑘𝑡𝑏(𝑘≠0,2≤𝑡≤2𝑘+𝑏=∴4𝑘+𝑏=0𝑘=解得，𝑏=4∴𝑦1=−𝑡+4(2≤𝑡≤ 当𝑡=秒时 1=−2+4=（3）解：设𝑦2=𝑚𝑡𝑛(𝑚≠0,1≤𝑡≤2可知，当𝑡=1秒时，𝑦2=0厘米，当𝑡=2.5秒时，𝑦2=2𝑚+𝑛=∴2.5𝑚+𝑛=2𝑚=

𝑛=−4

4(1≤𝑡≤2=

𝑦=−𝑡+∴当2≤𝑡≤2.5

𝑦=4𝑡−4

𝑡=𝑦=12，16∴𝐶7,7

当𝑡=7秒时，点𝑃AB7×1=7（厘米PA 4−7=7（厘米点𝑄A顺时针旋转到直径𝐴𝐵716 ∴此时点𝑃，点𝑄7−7=7（厘米8；1（2026·min．某轿厢从点𝐴出发，6min后到达点𝐵，此过程中，该轿厢所经过的路径（即𝐴𝐵）长度为（）

A．16 B．8 C．4 D．2【答案】【答案】【分析】先求出摩天轮半径，再求出∠𝐴𝑂𝐵=135°∴摩天轮的半径为95−50=∵摩天轮匀速旋转一圈用时16minA出发，6min∴∠𝐴𝑂𝐵=16×360°=42（2026·32.5°．冬至日正午时，太阳光线𝐵𝑀所在直线经过地心𝑂，此时点𝑃处的太阳高度角∠𝑁𝑃𝑄（即平行于𝐵𝑀的光线𝑃𝑁⊙𝑂的切线𝑃𝑄所成的锐角）的大小为（） 【答案】【答案】【分析】根据𝑃𝑂𝑂的切线，得出∠𝑂𝑃𝑄=90°，则∠𝑃𝑂𝑄∠𝑃𝑄𝑂=90°∠𝑃𝑂𝑄=56°，所以∠𝑃𝑄𝑂=34°【详解】解：∵𝑃𝑂𝑂∴𝑂𝑃⊥∴∠𝑂𝑃𝑄=∴∠𝑃𝑂𝑄+∠𝑃𝑄𝑂=∵∠𝐷𝑂𝐵=23.5°，∠𝑃𝑂𝐷=∴∠𝑃𝑂𝑄=∴∠𝑃𝑄𝑂=∵𝑃𝑁∥∴∠𝑁𝑃𝑄=∠𝑃𝑄𝑂=3（2026·【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为𝑥y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为𝐶1，𝐶2．【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm，锅深为16cm，锅盖高为请求出抛物线𝐶2求出圆弧𝐶124cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说【答案】【答案】(1)𝑦 (𝑥−16)2−16(0≤𝑥≤圆弧𝐶1所在圆的半径为𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=8，则𝑀𝐷=𝑀𝐵−8，由垂径定理可得，𝑀𝐵𝑂𝐴，𝐴𝐷=2𝑂𝐴=16，在Rt𝑀𝐴𝐷用勾股定理构造方程，解出圆𝑀（3）作组合图形的内接矩形𝐸𝐹𝐺𝐻，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼，连接𝑀𝐻，根据垂径定理和勾股定理容易计算出𝑀𝐼=16，则点𝐼(16,4)，点𝐻(4,4)．将𝑥=4代入抛物线解析式求出点𝐸(4,−7)，因此𝐸𝐻=11，由𝐸𝐻>10可判断锅盖能盖上．设抛物线𝐶2的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−16)2−16，0=解得𝑎= (0≤𝑥≤∴抛物线的解析式为𝑦 (𝑥−16) 由题意可知，𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=∴𝑀𝐷=𝑀𝐵−𝐵𝐷=∴𝑀𝐵⊥∴𝐴𝐷=𝑂𝐷=2𝑂𝐴=在Rt△𝑀𝐴𝐷中，𝐴𝐷2+𝑀𝐷2=∴162+(𝑟−8)2=𝑟2，解得𝑟=20，∴圆弧𝐶1所在圆的半径为（3）解：如图，矩形𝐸𝐹𝐺𝐻是组合图形的内接矩形，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼，连由（由（1）和（2）可知，组合图形关于直线𝑥=16∴结合图形可知，当矩形𝐸𝐹𝐺𝐻关于直线𝑥=16对称时，𝐸𝐻∴𝑀𝐵⊥∴𝐻𝐼=2𝐺𝐻=由（2）可知，𝑀𝐻=20，𝐵𝐷=在Rt△𝑀𝐻𝐼中，𝑀𝐼 𝑀𝐻2+𝐻𝐼2 202−122=∴𝐵𝐼=𝑀𝐵−𝑀𝐼=∴𝐼𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐼=∵𝐺𝐻𝑥轴，𝐻𝐼=将𝑥=4代入𝑦 (𝑥−16)2−16，得𝑦=∴𝐸𝐻=4−(−7)=∵11>4（2026·测量工具：块三角板(Rt△𝐴𝐵𝐶)2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计甲组的测量方法：2A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边C，D，利用刻度尺测得𝐵𝐷的长．乙组的测量方法：3C靠在杯口上，直角的两边𝐶𝐴、𝐶𝐵E，F，利用刻度尺测得𝐸𝐹10cm．根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为4E，另一边与杯口F，G两点，利用刻度尺测得𝐹𝐺8cm．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直5MCA落在刻度尺有刻度的一边5中𝐶𝑀5cm，请求出杯口的直径．理由见解析，杯口直径为（2）乙组中，三角板直角顶点𝐶在圆上，∠𝐶90°，已知𝐸𝐹10cm，故杯口直径为10cm．由切线性质以及由切线性质以及𝐹𝐺为矩形硬纸板的边，可得𝑂𝐸∵𝐹𝐺∴𝐹𝐻=2𝐹𝐺=∵𝐸𝐻=2cm（硬纸板宽度∴𝑂𝐻=在Rt𝑂𝐹𝐻𝑂𝐹2=𝑂𝐻2+𝐹𝐻2即𝑟2=(𝑟−2)2+42，解得：𝑟=5，因此杯口直径为2𝑟=由切线性质可得：𝑂𝑀𝐴𝐶，𝑂𝑁又∠𝐶=∴∴𝐶𝑀=𝑂𝑁=𝑟，已知𝐶𝑀=5cm，因此𝑟=5cm，杯口直径为2𝑟=1（2026·1，在直角𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°𝑂是𝐴𝐵𝐶𝑂1，则𝐴𝐵𝐶的斜边长为．2𝐷𝐸进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在𝐵要尽可能贴着𝐵边和𝐷边，观察到𝐸和𝐷的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过𝐷边和𝐸𝐹边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的△𝐵（A𝐷C𝐵上，应使得𝐴尽可能短，同时𝐴𝐵𝐶的周长和面积尽可能的小．经过测量，∠𝐵=60∘，𝐵𝐸=156mm，𝐵𝐷=175mm．求，手镯的内圈直径为56mm，外圈直径为70mm𝑂的直径为56mm⊙𝑂的直径为请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在𝐵𝐷和𝐵𝐸AC使得覆盖大圆𝑂的𝐴𝐵𝐶周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△𝐴𝐵𝐶的周长及面积；若不存在，请说明理由．【答案】【答案】(1)23(2)存在，2103mm，3675（2）参照（1）中思路可得𝐶△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=703+2𝐴𝐶，所以要使△𝐴𝐵𝐶的周长最小，则求最小值即可，由𝑂𝑃35，∠𝐴𝑂𝐶120°𝑂𝐴𝐶接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶，则𝑂𝐷=𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝑅，∵∠𝐴=∴设𝐵𝐶=𝑥，则𝐴𝐵=2𝑥，𝐴𝐶=3𝑥，由内切圆可得，𝐶𝐸=𝐶𝐹=𝑅，∴𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝑅，𝐵𝐷=𝐵𝐹=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐴𝐶+∴𝑅=解得𝑥=3𝐴𝐵=2𝑥=23+2，即斜边长为23+2，故答案为：23+2；解：由题意可知大𝑂与𝐴𝐵𝐶O作𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶M、N∵大⊙𝑂的直径为∴𝑂𝑀=𝑂𝑃=𝑂𝑁=∵∠𝐵=∴∠𝑂𝐵𝑁=∠𝑂𝐵𝑀=30∘，∠𝐴𝑂𝐶=∴𝐵𝑀=𝐵𝑁=35∵𝐴𝑀=𝐴𝑃，𝐶𝑁=∴𝐶△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶+=𝐵𝑀+𝐴𝑀+𝐴𝐶+𝐵𝑁+=𝐵𝑀+𝐵𝑁+𝐴𝑃+𝐶𝑃+=703

+2∠𝐵

要使𝐴𝐵𝐶的周长最小，则求𝐴𝐶如图，作𝐴𝑂𝐶⊙𝑄，连接𝑂𝑄Q作𝑄𝐻⊥𝐴𝐶∵∠𝐴𝑂𝐶=∴∠𝐴𝑄𝐶=设𝑄𝐴=𝑄𝐶=𝑄𝑂=𝑟，则𝐴𝐶=3𝑟，𝑄𝐻=∵𝑄𝐻+𝑂𝑃≤∴35+2𝑟≤∴𝑟≥∴𝐴𝐶∴𝐴𝐶=3𝑟≥703，即当𝐴𝐶=703此时𝐶△𝐴𝐵𝐶=703+2𝐴𝐶=210𝑆△𝐴𝐵𝐶(𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶)⋅𝑅 ×𝐶△𝐴𝐵𝐶⋅𝑅 ×2103×35=3675 （建议用时：100分钟1（2026·圆𝐶𝐷上一点，连接𝐶𝐸、𝐵𝐸，若∠𝐴𝐵𝐷=126°，则∠𝐵𝐸𝐶的度数为（） 【答案】【答案】【分析】连接𝑂𝐵，根据题意，得∠𝑂𝐵𝐴=90°，∠𝑂𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐷−∠𝑂𝐵𝐴=36°∠𝐵𝐸𝐶=∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐵𝐷=【详解】解：连接由线段𝐴𝐵𝑂相切于点𝐵，得𝑂𝐵⊥𝐴𝐵，故∠𝑂𝐵𝐴=∵∠𝐴𝐵𝐷=∴∠𝑂𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐷−∠𝑂𝐵𝐴=∵𝑂𝐵=∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐵𝐷=∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐵𝐷=2（2026·=𝑃𝑄的中点为𝑀，连结𝑂𝑃，𝑂𝑀，则线段𝑂𝑀的最小值是（ 【答案】【答案】𝑀为𝑃𝑄的中点，𝑁为𝑂𝑃𝑀𝑁△𝑃𝑂𝑄∴𝑀𝑁=2𝑂𝑄𝑂的半径为2，即𝑂𝑄=2∴𝑀𝑁=1∴点𝑀在以𝑁为圆心，1𝑂𝑃=4，𝑁为𝑂𝑃∴𝑂𝑁=2𝑂𝑃=2𝑂𝑀的最小值为𝑂𝑁−𝑀𝑁=2−1=3（2026·𝑃𝐶，将射线𝑃𝐶绕点P顺时针旋转45°，交𝐵𝐶于点D，设𝐴𝑃=𝑥，𝐶𝐷=𝑦，则y与x之间的函数关系图象大 yx 𝑥2−2𝑥+∴𝑦= =2𝑟−𝑥，则𝐵𝐷 ∵𝐶𝐷=∴𝐶𝐴=∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=∵∠𝐶𝑃𝐵=∠𝐶𝐴𝑃+∠𝑃𝐶𝐴=∠𝐶𝑃𝐷+∠𝐷𝑃𝐵，∠𝐶𝑃𝐷=∠𝐶𝐴𝑃=∴∠𝐴𝐶𝑃=∵△𝐴𝐶𝑃∽△∴𝐴𝐶=设半径𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑟，则𝐴𝐵=2𝑟，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2𝑟，𝐵𝑃=∵𝐴𝐵∴∠𝐴𝐶𝐵=∵CO∴𝐶𝐴=x【详解】解：如图，连接2𝑟，则𝑦 𝑥2−2𝑥r，则可表示𝐴𝐶=𝐵𝐶=2𝑟，𝐵𝑃=2𝑟−𝑥，𝐵𝐷=【答案】 【分析】先根据题意，得∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=45°，∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐵𝑃𝐷△𝐴𝐶𝑃∽△𝐵𝑃𝐷，则𝐴𝐶=𝐵𝑃∵∵2>∴当𝑦=0时，𝑥2−2𝑥+2𝑟=0，Δ=2−4 ×2𝑟=−2<0，方程无实数根4（2026·⊙⊙⊙𝐷，𝐸，且𝐶𝐴=𝐶𝐷，𝐶𝐸=1，𝐴𝐶=5，求阴影部分的面积 【答案】【答案】𝑂𝐴∠𝑂𝐴𝐵∠𝐶𝐴𝐵=90°∠𝐵𝐷𝑂+∠𝐵=90°，设𝑂𝐴=𝑂𝐸=𝑥，则𝑂𝐶=𝑥1，根据勾股定理列方程𝑥2+52=(𝑥1)2，即可求得半径，再根据阴影部分的面积=𝑆扇形𝑂𝐵𝐸−𝑆△𝑂𝐵𝐷即可求解．𝑂𝐴为⊙𝑂∴𝑂𝐴⊥𝐴𝐶∴∠𝑂𝐴𝐶=90°∴∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐶𝐴𝐵=90°∵𝐶𝐴=𝐶𝐷,𝑂𝐴=𝑂𝐵∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐷𝐴,∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵∵∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐷𝐴∴∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐴𝐵∴∠𝐵𝐷𝑂+∠𝐵=90°∴∠𝐵𝑂𝐷=90°𝑂𝐴=𝑂𝐸=𝑥，则𝑂𝐶=𝑥1∵∵𝑂𝐴2+𝐴𝐶2=𝑂𝐶2∴𝑥2+52=(𝑥+1)2，解得𝑥=12，∴𝑂𝐶=13,𝑂𝐵=𝑂𝐸=12∵𝐶𝐴=𝐶𝐷=5∴𝑂𝐷=𝐶𝑂−𝐶𝐷=13−5=8∴𝑆△𝑂𝐵𝐷=2𝑂𝐷⋅𝑂𝐵=2×12×8=48∵𝑆扇形𝑂𝐵𝐸=36π∴阴影部分的面积=𝑆扇形𝑂𝐵𝐸−𝑆△𝑂𝐵𝐷=36π−485（2026·为直径的⊙𝑂与边𝐶𝐷F．1，若∠𝑂𝐹𝐶=60°，求𝐵𝐶2，若𝑂与𝐴𝐷H，求𝐴𝐸【答案】【答案】(1)8（1）𝑂𝐶𝐹为等边三角形，进而得到∠𝐵𝐶𝐸30°，再解三角形得到𝐶𝐸，结合扇形弧长公（2）连接𝑂𝐻并延长𝐻𝑂交𝐵𝐶于𝑀𝑂的半径为𝑟，利用勾股定理求出𝑟，再解三角形得到𝐵𝐸，进而得∴𝐶𝐸=2𝑂𝐶=∴𝐵𝐸 𝐶𝐸2−𝐵𝐶2=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=4 8 由对称性可知𝑀,𝐻分别为𝐵𝐶,𝐴𝐷中点，且𝑀𝐻在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=∴𝑀𝐻=𝐴𝐵=𝐵𝐶=∴𝐶𝑀=2，𝑂𝑀⊥设⊙𝑂的半径为𝑟，则𝑂𝐶=𝑟,𝑂𝑀=在Rt△𝑂𝑀𝐶中，𝑂𝑀2+𝐶𝑀2=即+2 ，解得𝑟=180π𝑟=3π ∴𝐵𝐶∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵=30°,∠𝐵𝑂𝐶=180°−∠𝑂𝐵𝐶−∠𝑂𝐶𝐵=43𝑂半径𝑟=𝑂𝐶=2𝐶𝐸=3 8∴𝐸𝐶=cos∠𝐵𝐶𝐸=cos30°∵𝑂𝐵=∵∠𝑂𝐹𝐶=60°，𝑂𝐹=∴△∴∠𝑂𝐶𝐹=∴∠𝐵𝐶𝐸=90°−∠𝑂𝐶𝐹=6（2026·𝐴𝐷𝐶𝐹于𝐷，与⊙𝑂交于点𝐸，连接 (2)求证：𝐶𝐷𝑂(3)若𝐵𝐶=8，𝐶𝐹=12，求𝐴𝐸【答案】(3)𝐴𝐸=（1）F是𝐵𝐸的中点，得出𝐸𝐹=𝐵𝐹（2）连接𝑂𝐹，先根据直径所对的圆周角是直角得到∠𝐴𝐹𝐵=90°∠𝐶𝐹𝐵=∠𝑂𝐹𝐴，进而可得∠𝐶𝐹𝑂=90°作𝑂𝐺𝐴𝐷G，则𝐴𝐸=2𝐴𝐺．设𝑂𝐹=𝑥，则𝑂𝐵=𝑥，𝑂𝐶=8+𝑥，在Rt𝐶𝑂𝐹中，利用勾股定理x值，则𝑂𝐹=5，𝑂𝐶=13，𝐴𝐶=18．证明△𝐶𝑂𝐹∽△𝐶𝐴𝐷，利用相似三角形的对应边成比例得到𝐴𝐷=13，证明四边形𝑂𝐹𝐷𝐺是矩形求得𝐷𝐺=𝑂𝐹=5，进而求得𝐴𝐸（1）解：∵F是𝐵𝐸∴𝐸𝐹=∴∠𝐸𝐴𝐹=∵𝐴𝐵𝑂∴∠𝐴𝐹𝐵=∵𝑂𝐹=∴∠𝑂𝐴𝐹=∵∠𝐶𝐹𝐵=∴∠𝐶𝐹𝐵=∴∠𝐶𝐹𝐵∠𝐵𝐹𝑂=∠𝑂𝐹𝐴∠𝐵𝐹𝑂=∠𝐴𝐹𝐵=90°，即∠𝐶𝐹𝑂=90°，∴𝑂𝐹𝐶𝐷，又𝑂𝐹⊙𝑂∴𝐶𝐷𝑂（3）解：作𝑂𝐺𝐴𝐷G，则𝐴𝐸=设设𝑂𝐹=𝑥，则𝑂𝐵=𝑥，𝑂𝐶=8+在Rt△𝐶𝑂𝐹中，𝑂𝐶2=𝑂𝐹2∴(8+𝑥)2=𝑥2+122．解得𝑥=5，∴𝑂𝐹=5，𝑂𝐶=13，𝐴𝐶=∵𝐴𝐷⊥∴∠𝐷=∴∠𝐶𝐹𝑂=∴𝑂𝐹∥∴△𝐶𝑂𝐹∽△∴𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=∵∠𝑂𝐹𝐷=∠𝑂𝐺𝐷=∠𝐷=∴𝐷𝐺=𝑂𝐹=∴𝐴𝐺=𝐴𝐷−𝐷𝐺=∴𝐴𝐸=2𝐴𝐺= 7（2026·⊙△⊙𝑂𝐶的延长线交𝐷𝐸E，𝑂𝐷交𝐴𝐶F，若∠𝐴𝐶𝐷=求证：𝐷𝐸𝑂(2)若tan∠𝐴𝐶𝐷=4，𝐴𝐷=①求𝑂⊙𝑂5；②𝐶𝐸=7（1）证明𝑂𝐷𝐴𝐶，得到𝑂𝐷𝐷𝐸，即可证明𝐷𝐸是𝑂 （2）①根据正切函数的定义求得𝐵𝐷=4，得到𝐵𝐷=8②设𝐷𝐹=3𝑥，𝐶𝐹=4𝑥，由勾股定理求得𝑥=5（1）证明：∵𝐶𝐷=∴∠𝐶𝐴𝐷=∵∠𝐴𝐶𝐷=∴∠𝐴𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=∴𝑂𝐷⊥∴𝑂𝐷⊥∵𝑂𝐷𝑂∴𝐷𝐸是𝑂（2）解：①∵𝐴𝐵𝑂∴∠𝐴𝐷𝐵=∵𝐴𝐷=∴∠𝐵= ∴tan𝐵=tan∠𝐴𝐶𝐷=4，即𝐵𝐷=∵𝐴𝐷=∴𝐵𝐷=∴𝐴𝐵 62+82=∴⊙𝑂②∵∠𝐴𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=∵𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，tan∠𝐴𝐶𝐷= ∴𝐶𝐹=设𝐷𝐹=3𝑥，𝐶𝐹=∴𝐶𝐷 𝐶𝐹2+𝐷𝐹2=5𝑥=解得𝑥=∴𝐷𝐹∴𝐷𝐹=5，𝐶𝐹=5 ∴𝑂𝐹=𝑂𝐷−𝐷𝐹=5−5= ，即 ∴𝐶𝐸=78（2026·⊙⊥1，𝐶𝐷不经过圆心𝑂，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶，𝑂𝐷．求∠𝐴𝑂𝐶∠𝐷𝑂𝐵2，𝐶𝐷经过圆心𝑂，且使得𝐷𝐸=𝐸𝑂，点𝑀是弧𝐴𝐶上一点，连接𝐵𝑀交𝑂𝐸于点𝐹，连接𝐶𝑀𝐵𝐴的延长线于点𝑁，当∠𝑁=45°，求𝐹𝐷【答案】【答案】(1)∠𝐴𝑂𝐶∠𝐵𝑂𝐷=(2)𝐷𝐹=（1）连接𝐵𝐶，由圆周角定理得∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶，由𝐶𝐷𝐴𝐵∠𝐵𝐶𝐷∠𝐴𝐵𝐶=90°（2）连接𝑂𝑀，𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐷△𝐹𝑂𝑀∽△𝐹𝐸𝐵，进而得出𝐵𝐸=𝐵𝐸=3，进而得出𝐷𝐹（1）1，连接𝐵𝐶，由圆周角定理得∠𝐵𝑂𝐷2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶．由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵得∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐴𝐵𝐶=90°，从而∠𝐴𝑂𝐶∠𝐵𝑂𝐷= 又∵𝐷𝐸=𝐴𝐵垂直平分𝐴𝑂𝐷𝐵𝑂𝐷是等边三角形，∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐸=60°，∠𝐴𝑂𝐶=120°．∠𝐹𝐴𝐸=2∠𝐹𝐴𝐷=∵∠𝑁=∴∠𝐸𝑂𝑀=∠𝑀𝑂𝐶=∴∠𝐴𝑂𝑀=∠𝑂𝐴𝐸=∴△𝐹𝑂𝑀∽△∴𝐸𝐹=在𝐵𝑂𝐸中，sin∠𝐵𝑂𝐸=𝑂𝐵=tan60°=即𝐵𝐸=𝐵𝐸=∴𝐸𝐹= 设𝑂𝐹=2𝑎,𝐸𝐹=3𝑎，则𝐸𝑂=𝑂𝐹+𝐸𝐹=(2+∴𝐶𝐹=𝑂𝐹+𝐶𝑂=𝑂𝐹+2𝐸𝑂=2𝑎+2×(2+3)𝑎，𝐷𝐹=𝑂𝐷−𝑂𝐹=2𝐸𝑂−𝑂𝐹=2(2+𝐷𝐹=2𝐸𝑂−𝑂𝐹=2×(2+3)𝑎−2𝑎 2𝑎+2×(2+9（2026·【问题提出】如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，∠𝐵=70°，则∠𝐷的度数 2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷=90°，连接𝐴𝐶，𝐴𝐶𝐵𝐶C作𝐶𝐸𝐶𝐷交𝐴𝐵于E，𝐵𝐶=9，𝐴𝐶=𝐴𝐸=12，求𝐴𝐷的长；△上修一个入水口𝑀，再修一个经过点𝐵、𝐶、𝑀的圆形水池𝑂，𝑀𝑁𝑂的直径，沿𝐵𝑀、𝐵𝑁和𝑀𝑁架设木桥，在△𝐵𝑀𝑁区域内种植荷花，已知∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=20m，𝐵𝐶=60m，设𝐴𝑀的长为𝑥(m)，△𝑆(m2)（②由于预算有限，要求𝐵𝑀𝑁区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（𝐵𝑀𝑁面积𝑆的最．【答案】【答案】(3)①𝑆=𝑥2−610𝑥+（3）根据四边形内角和定理可得∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐶，根据同角的余角相等，可证∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐸，根据相似三角形对应边成比例即可求出𝐴𝐷的长度；（3）①利用勾股定理可以求出𝐴𝐶=2010m，根据𝐴𝑀的长为𝑥(m)，可得𝑀𝐶=(2010−𝑥)m接四边形的性质可证△𝐴𝐵𝑀∽△𝐶𝐵𝑁，根据相似三角形对应边成比例可得𝐶𝑁=3𝑥m𝑀𝑁2=10𝑥2−4010𝑥+4000，根据圆周角定理可证△𝐴𝐵𝐶∽△𝑀𝐵𝑁似比的平方可得𝑆=𝑥2−610𝑥+∴∠𝐵+∠𝐷=∵∠𝐵=∴∠𝐷=180°−70°=∴∠𝐸𝐶𝐷=∵∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐸𝐶𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=在四边形𝐴𝐸𝐶𝐷中，∠𝐴𝐸𝐶∠𝐴𝐷𝐶∠𝐸𝐴𝐷+∠𝐸𝐶𝐷=∴∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°，又𝐴𝐸𝐶∠𝐵𝐸𝐶=180°，∴∠𝐵𝐸𝐶=∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐶𝐸⊥∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=∴∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐸+∴∠𝐵𝐶𝐸=∴△𝐴𝐶𝐷∽△ ∴𝐴𝐶=∵𝐵𝐶=9，𝐴𝐶=𝐴𝐸=∴𝐴𝐵 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 122+92=∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=15−12= ∴12=∴𝐴𝐷=∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=20m，𝐵𝐶=∴𝐴𝐶 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2 202+602=20∵𝐴𝑀=∴𝑀𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝑀=(20四边形𝐵𝑀𝐶𝑁𝑂∴∠𝐵𝑀𝐶+∠𝐵𝑁𝐶=180°，又∠𝐵𝑀𝐶∠𝐵𝑀𝐴=180°，∴∠𝐵𝑀𝐴=𝑀𝑁⊙𝑂∴∠𝑀𝐵𝑁=∠𝑀𝐶𝑁=∴∠𝑀𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝑁=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝑀𝐵𝐶+∠𝐴𝐵𝑀=∴∠𝐴𝐵𝑀=∴△𝐴𝐵𝑀∽△ ∴𝐵𝐶=∵𝐴𝐵=20m，𝐵𝐶=60m，𝐴𝑀= ∴60=∴𝐶𝑁=∴𝑀𝑁2=𝐶𝑀2+𝐶𝑁2=(2010−𝑥)2+(3𝑥)2=10𝑥2−4010𝑥+∴𝑀𝑁2

10𝑥2−40∵𝐵𝑀= 10𝑥−40∴𝑆△𝑀𝐵𝑁(10𝑥2−4010𝑥+4000)=𝑥2−610𝑥+∴𝑆=𝑥2−610𝑥+②解：整理𝑆=𝑥2−610𝑥+可得：𝑆=2(𝑥−210)∵𝑎=2>𝑆当𝑥=210m时，𝑆的最小值为∴∠𝐵𝐶𝑀=∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑀𝐵𝑁=∴△𝐴𝐵𝐶∽△∴ 10𝑥−40∵=𝐴𝐵·𝐵𝐶=×20×60=∴ 10（2026·E，F，从直尺刻度中读出𝐴𝐸=6cm．小明认为线段𝐵𝐸M，边𝐵𝐶G，从直尺刻度中读出𝐴𝑀8cm．接着添加辅助线，通过推理和