北师 九上 数学 第2章《2.2用配方法求解一元二次方程》课件

2用配方法求解一元二次方程第二章一元二次方程逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2用直接开平方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程用公式法解一元二次方程一元二次方程根的判别式用因式分解法解一元二次方程知识点用直接开平方法解一元二次方程知1－讲11.定义：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法.特别警示直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：1.不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；2.只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法的前提是x2=p中的p≥0.知1－讲2.适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型类型方程的根x2=p(p

≥0)(x＋m)2=p(p

≥0)(mx＋n)2=p(p

≥0，m≠0)知1－讲3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤知1－练例1用直接开平方法解下列方程：解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解.知1－练(1)9x2－81=0；解：移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3.所以

x1=3，x2=－3.将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为1，右边是非负数(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根)的形式。知1－练(2)2(x－3)2－50=0.解：移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.两边开平方，得x－3=±5.所以

x1=8，x2=－2.知1－练(3)81(x-2)2=16；

知1－练(4)(x-2)2=(2x+5)2。解：两边开平方，得x-2=±(2x+5)。所以x-2=2x+5或x-2=-(2x+5)，解得x1=-7，x2=-1。知1－练

D知1－练

知2－讲知识点配方法21.配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.知2－讲2.用配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤方法示例(2x2－7x＋3=0)一移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边2x2－7x=－3二配二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数知2－讲三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项、合并同类项知2－讲说明对于具体的某一个方程，并不一定要严格按照一般步骤求解，过程合理即可.知2－讲特别提醒1.用配方法解方程时，也可以先把方程化为x2+ax+b=0的形式，然后再在方程左边加上“一次项系数一半的平方”，再减去“一次项系数一半的平方”，使方程变为(x+m)2-n=0的形式，然后再移项得到(x+m)2=n。2.这里“一次项系数”是指在二次项系数化为1后的一次项系数。3.配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2=(a±b)2，其实质是将a

看成未知数，b看成常数，则b2

即是一次项系数一半的平方.知2－练用配方法解一元二次方程：例2解题秘方：先将方程配方化为(x＋m)2=n的形式，再用直接开平方法求解.知2－练

两边同时开平方时漏写“±”号.方程两边同时加一次项系数一半的平方.知2－练(2)4x2－6x－1=0；

注意：方程左边同时加上和减去一次项系数一半的平方，其前提是二次项系数为1.知2－练(3)2x2－4x＋5=0；

将一元二次方程配方后，若等号右边小于0，则一元二次方程无实数根.知2－练(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3=0.解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)=3.配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12=3＋12.所以(1＋x＋1)2=4.所以x1=0，x2=－4.巧将1＋x看作整体进行配方，可达到简化的效果.知2－练2-1.用配方法解方程x2－4x－1=0时，配方后正确的是(

)A.(x＋2)2=3B.(x＋2)2=17C.(x－2)2=5D.(x－2)2=17C知2－练

B知2－练2-3.用配方法解方程：(1)[中考·无锡]x2-2x-2=0；知2－练

知识点用公式法解一元二次方程知3－讲3

知3－讲知3－讲特别提醒1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2.只有当方程ax2＋bx＋c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式.知3－练例3用公式法解下列方程：思路导引：知3－练(1)2x2－7x＋4=0；

知3－练

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不要误认为方程只有一个实数根。知3－练(3)x2－2x＋3=0.解：这里a=1，b=－2，c=3.因为

b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0，所以方程无实数根.知3－练3-1.用公式法解下列方程：(1)y2－2y－2=0；知3－练(2)3x2－2x=4；知3－练(3)x2＋6=2(x＋1)；解：原方程可化为x2－2x＋4＝0.这里a＝1，b＝－2，c＝4.∵b2－4ac＝－12<0，∴方程无实数根．知3－练

知4－讲知识点一元二次方程根的判别式41.根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的情况可由b2－4ac

来判定.我们把b2－4ac

叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a

≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac.读作delta知4－讲2.根的情况与根的判别式之间的关系一元二次方程ax2＋bx＋c=0Δ=b2－4ac=0方程有两个相等的实数根Δ=b2－4ac<0方程没有实数根知4－讲特别提醒一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时Δ=b2-4ac≥0，切勿丢掉“等号”。知4－练【母题教材P43随堂练习T1】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：例4解题秘方：先计算根的判别式的值，再根据正负性判断根的情况。知4－练

先化为一般形式知4－练(2)3x2-2x=-9；解：原方程可化为3x2-2x+9=0，所以a=3，b=-2，c=9。所以Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×9=-104<0。所以原方程无实数根。知4－练(3)x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0。解：因为a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，所以Δ=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2。因为8k2≥0，所以8+8k2﹥0，即Δ﹥0。所以原方程有两个不相等的实数根。知4－练4-1.[中考·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是()A.x2+1=0B.x2-x+1=0C.x2+x+1=0D.x2+x-1=0D知4－练4-2.[中考·潍坊]已知关于x

的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是()A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定C知4－练

例5知4－练解题秘方：根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可解答.

答案：D知4－练5-1.[中考·北京]若关于x

的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A.-4B.-1C.1D.4C知4－练工人师傅要用一根铁丝围成一个周长为56cm的矩形框，请帮他解决以下问题：例6思路导引：知4－练(1)当矩形框的面积为180cm2

时，长、宽分别为多少(长边为长，短边为宽)？

知4－练(2)能围成面积为200cm2的矩形框吗？请说明理由.解：不能.理由如下：若能围成面积为200cm2的矩形框，则可列方程为x(28－x)=200，即x2－28x＋200=0.因为Δ=(－28)2－4×1×200=－16<0，所以原方程无实数根.所以不能围成面积为200cm2

的矩形框.知4－练6-1.学校为了美化校园环境，计划在一块长为40m，宽为20m的矩形空地上新建一个长为9m，宽为7m的矩形花圃.(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃，使它的面积比学校计划的面积多1m2.请给出你认为合适的三种不同的设计方案.知4－练解：学校计划新建的矩形花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1m2的矩形花圃的面积为64m2。因此，可设计以下三种方案：方案一：长和宽都为8m；方案二：长为10m，宽为6.4m；方案三：长为20m，宽为3.2m。(设计方案不唯一)(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能否增加2m2

？如果能，请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.知4－练解：不能。理由如下：假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2m2。计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)．知4－练设面积增加后的矩形花圃的长为xm，则宽为(16－x)m。根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2。整理，得x2－16x＋65＝0。∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0，∴此方程没有实数根。∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2m2。知识点用因式分解法解一元二次方程知5－讲51.

因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。体现了转化思想.知5－讲2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤知5－讲3.因式分解法常见应用类型常见类型因式分解方程的解x2＋bx=0x(x＋b)=0x1=0，x2=－bx2－a2=0(x＋a)(x－a)=0x1=a，x2=－ax2±2ax＋a2=0(x±a)2=0x1=x2=ax2＋(p＋q)x＋pq=0(x＋p)(x＋q)=0x1=－p，x2=－q知5－讲4.一元二次方程解法的比较适用范围理论依据关键步骤直接开平方法形如(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)的方程平方根的意义开平方配方法所有一元二次方程完全平方公式配方公式法所有一元二次方程配方法代入求根公式因式分解法一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0因式分解知5－讲特别解读1.用因式分解法解一元二次方程的关键：(1)将方程的右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解的方法;(3)方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式.2.选择解法的步骤：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法。若无特殊说明，一般不使用配方法，当二次项系数为1、一次项系数为偶数时，选择配方法解一元二次方程比较方便。知5－练例7用因式分解法解下列方程：解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法.知5－练(1)(x－5)(x－6)=x－5；解：移项，得(x－5)(x－

6)－(x－5)=0.因式分解，得(x－5)(x－7)=0.所以

x－5=0或x－7=0.∴x1=5，x2=7.方程的两边不能同时除以x-5，这样会使方程丢一根。知5－练(2)(2x＋1)2=(3－x)2；

知5－练(3)3x2－18x=－27.解：原方程可化为3(x2－6x＋9)=0，即3(x－3)2=0，所以x1=x2=3.知5－练7-1.一元二次方程(x＋1)2=2(x＋1)的解为(

)A.x=2B.x=－1C.x=2或x=－1D.x=1或x=－1D知5－练7-2.解下列方程：(1)x2－4x－5=0；解：x2－4x－5＝0，(x－5)