名师导学2025版高考数学总复习第七章不等式推理与证明第40讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题练习理含解析新人教A版

第40讲二元一次不等式（组）与简洁的线性规划问题

J夯实基础【.、】

【学习目标】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用

平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简洁的二元线性规划问题，并

能加以解决.

2.驾驭确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，留意线性规划问题与其他学

问的综合.

【基础检测】

1.以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是（）

A.x-y+l<0B.2x+3y-6>0

C.2x+5y-10>0D.4x—3yW12

【解析】将点（0,0）分别代入四个选项，验证可知答案为〃

【答案】D

X-yel,

x+y21,则z=3x+y的最大值为（）

2x—yW4,

A.2B.6C.8D.11I

x—y21,

【解析】作出变量x,y满意约束条件<x+y2l,的可行域，如图，

2x—yW4

由z=3x+y知，y=—3x+z,

所以动直线y=-3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值.

X—y=1,

由'得A(3,2),

2x—y=4

结合可行域可知当动直线经过点A(3,2)时,

FI标函数取得最大值z=3X3+2=ll.

【答案】D

x+2y+l>0,x+2y+l<0,

【解析】由题得或

x—y+4<0x—y+4>0.

[x+2y+l>0,

先作出不等式组,八对应的可行域，是选项8中上面的一部分，

[x-y+4<0

fx+2y+l<0：

再作出一八对应的可行域，是选项8中下面的一部分，故选区

[x-y+4>0

【答案】B

4.某公司支配明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对

本地养缶场年利润率的调研，其结果是平均年利润率0.3,对玩洋捕捞队的调研结果是：平

均年利润率0.4,为确保不地的鲜田供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于

本地养鱼场的投资的2倍,依据调研数据，该公司如何安排投资金额，明年两个项目的利润

之和最大________千万.

【解析】依据题意，设本地养鱼场投资额为x千万元，远洋捕捞队投资额为y千万元,

'x+yW6,

2x-y,

目标函数z=0.3x+0.4y,

x20,

、y20,

画出线性约束条件的可行域如图所示:

由图可知,

此时z=0.3X2+0.4X4=2.2,

所以最大利润为2.2千万元.

【答案】2.2

【学问要点】

1.二元一次不等式表示的平面区域

（1）二元一次不等式Ax+By+C〉0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的

全部点组成的平面区域（半平面），不包括边界直线.

不等式Ax+By+C20所表示的平面区域（半平面一边界直线.

（2）在平面直角坐标系中,设直线Ax+By+C=O（B不为0）及点P（xo,y"

①若B>。，Axo+Byo+C>O,则点P（x。，y。）在直线的上方,此时不等式Ax+By+C>0表示

直线Ax+By+C=O的上方的区域.

②若B>0,Ax°+By°+C<0,则点P（x。，y。）在直线的下方.，此时不等式Ax+By+C<0表示

直线Ax+By+C=O的下方的区域.

③若是二元•次不等式组，则其平面区域是全部平面区域的公共部分.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件目标函数中的变量所要满意的不等式组

线性约束

条件由X,y的一次不等式（或方程）组成的不等式（或方程）组

目标困数关于x,y的函数解析式

可行解满意线性约束条件的解

可行域全部可行解组成的集合

线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值

3.常见简洁的二元线性规划实际问题

一是在人力、物力、资金等资源肯定的条件下，如何运用它们完成最多的任务；二是给

定一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

解线性规划问题的一般步骤：

审题、设元一一列出约束条件(通常为不等式组;一一建立目标函数一一作出—

可行域----求最优解.

------------------------^典例剖析[凸6]

考点1二元一次不等式(组)表示的平面区域

x+y—3<0,

例1(1)设不等式组,x—2y—3<0,表示的平面区域为直线y=k(x—3)分平面区域

.x21

Q1为面积相等的两部分，则k=.

【解析】作出可行域如图所示：

直线y=k(x—3)恒过定点(3,0),要使直线y=k(x—3)分平面区域以为面积相等的

两部分，则直线必过线段AB的中点«1,5故k=ka)=—/

【答案】

(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为

【解析】两直线方程分别为x—2y+2=0与x+y—1=0.

由(0,0)点在直线x-2y4-2=0右下方可知x—2y+22,

又(0,0)点在直线x+y—1=0左下方，可知x+y—120,

x+y—120,

即为阴影部分所表示的可行域.

lx-2y+2^0

x+y—120,

【答案】

x-2y+22O

【点评】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法：

(1)“直线定界，特别点定域”，即先作直线，再取特别点代入不等式组.若满意不等

式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特别点同侧的那部分区域；否则就对应于特别

点异侧的平面区域.

(2)当不等式中带等号时，边界为实线：不带等号时，边界应画为虚线，特别点常取原

点.

考点2求目标函数的最值

x—y+220,

例2已知上+y—420,求：

2x—y—5WD.

(1)z=x+2y—4的最大值；

(2)z=x24-y2-10y+25的最小值;

(3”=空普的取值范围；

x+1

(4)z=x+2：；2的取值范围.

AI1

【解析】作出可行域如图所示的阴影部分，求出顶点的坐标A(l,3),B(3,1),C(7,

9).

(1)易知可行域内各点均在直线x+2y—4=0的上方，

故x+2y-4>0,将C(故9)代入得z的最大值为21.

(2)2—乂2十(丫-5)2表示可行域内任一点6，y)到定点M(O,5)的距离的平方，过M作直

线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2=(|\p『=5.

厂O(n

⑶z=2,K表示可行域内任一点(x,y)与定点句连线的斜率的两

73

倍，因为kqa=7，kq«=W'

qo

"37"

故z的取值范围为亍7.

(4)2=立普工=1+2/，由(3)知，z的取值范围为

x+1x+1|_42_

【点评】充分理解目标函数并将目标函数给予几何意义，如截距、点到直线的距离、过

已知点的直线的斜率等是本例求解的关键和切入点.

x+3y—320,

例3⑴若实数x,y酒意不等式组'2x—y—3W0,旦x+y的最大值为9,则实数m=

,x—my+120

()

A.-2B.-1C.II).2

【解析】令z=x+\,则丫=一x+z,z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距.

当z最大值为9时，y=-x+z过点A,因此x—my+l=0过点A,所以m=l.

【答案】C

y20,

(2)已知实数x,y满意＜y—x+lW0,若z=y-ax取得最大值时的最优解有多数个,

.y—2x+420,

则a的值为.

【解析】依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域如图所示.要使目标函数

z=y—ax取得最大值时的最优解有多数个，则直线z=y—ax必平行于直线y—x+l=。，于

是a=l.

【答案】1

【点评】线性规划问题是在约束条件是线性的、目标函数也是线性的状况下的一类最优

解问题，在约束条件是线性的状况下，线性目标函数只在可行域的顶点或者边界上取得最值;

当求解目标中含有参数时，要依据临界位置确定参数所满意的条件.

考点3线性规划的实际应用

例4学生的体质与学生饮食的科学性亲密相关，养分学家指出，中学学生良好的口常饮

食应当至少供应0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，（）.06kg的脂肪.已知1kg

食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；1kg食物

B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满意中学

学生日常饮食的养分要求，每天合理搭配食物A和食物B,则最低花费是______元.

【解析】设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总花费为z元，则目标函数为z=28x

+21y.

f0.105x+0.105y>0.075,

0.07x+0.14y^0.06,

其中x,y满意的约束条件为q

0.14x+0.07y20.06,

、x20,y20,

'7x+7y25,

7x+14y26,

即《

14x+7y26,

、x20,y20.

作出可行域如图所示:

7

_4

~7

7-

2

7

1

K

7\

\J_1A1

'<777\7

\I4x+7,y=67x+7y=57x+l4-'=(

28x+2h=0

4z4z

将目标函数z=28x+21y变形为丫=一即十万，明显，当直线y=—yx+去过点M时，

纵截距最小.

[7x+7y=5/I4、

由彳一।”「，得心，7•

I14x+7y=67

1414

所以每天同时食用小g食物A和7kg食物B的花费最小,为znin=28Xy+21Xy=16阮）.

【答案】16

【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：

(1)审题一一细致阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么；

(2)转化一一设元，写出约束条件和目标函数；

(3)求解一一关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；

(4)作答一一就应用题提出的问题作出回答.

体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年须要留意简洁的线性规划求

最值问题.

方法总结[PM7]

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法

第一种：若用y=kx+b表示的直线将平面分成上下两部分

不等式区域

y>kx+b--表示直线上方的半平面区域

yVkx+b--表示直线下方的半平面区域

其次种：用Ax+By十C—CKB^O)表示的直线将平面分成，下两部分(B—0读者完成)

不等式B>0B<0

Ax+By+C>0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域

Ax+By+CVO表示直线卜.方的半平面区域表示直线上方的半平面区域

联系：将Ax+By+C=0表示的直线转化成y=kx+b的形式即是第一利1.

第三种：选特别点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平

面区域包括该点，反之，则不包括.

2.线性规划问题求解策略

(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下:

①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域：

②移：由z=ax+by变形为丫=一永+东所求z的最值可以看成是求直线y=一永+侨

y轴上的截距的最值(其中a,b是常数，z随x,y的改变而改变)，将直线ax+by=O平移，

在可行域中视察使楙最大(或最小)时所经过的点；

③求:求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其飞入目标函数求得最大值和最小值;

④答：写出最终结论.

(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多

边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.

(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性H标函

数的距离为依据，在直线的旁边寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最

优解.

走进高考3】

x-2y-2W0,

1.（2024•全国卷I）若x,y满意约束条件“x-y-120,则z=3x+2y的最大值为

.yWO,

【解析1作出可行域如图所示，作出直线3x+2y=0,并平移该直线，当直线过点M2,

0)时，目标函数z=3x+2y取得最大值，且Z“”=3><2+2X0=6.

【答案】6

x—y20,

2.(2024•浙江)若x,y满意约束条件2x+yW6,则z=x+3y的最小值是,

.x+y22,

最大值是________.

【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以A(2,2),B(l,1),C(4,一2)为

顶点的三角形及其内部区域(如图).

由线性规划学问可知，目标函数z=x+3y在点A(2.2)处取得最大值，在点C(4,-2)

处取得最小值，则最小值Znin=4—6=-2,最大值Znin=2+6=8.

【答案】-2；8

A组题

x—2W0,

1.设变量筋y满意约束条件<%—2><0，则目标函数z=3x+y的最大值为()

d+2y—8W0,

A.7B.8C.9D.14

【解析】作可行域，如图所示，直线z=3x十y过点/(2,3)时2取最人值9.

【答案】C

x+y-3^0,

2.已知实数x,y满意线性约束条件，*—2y—3W0,则其表示的平面区域的面积为

.OWE,

x+y—3<0.

【解析】作出满意约束条件,x-2y-3W0,的可行域，如图所示:

0W后4

\3

可知范围扩大，实际只有其平面区域表示的阴影部分是一个二角形，

其面积为S=1(3+|)X34.

【答案】B

x+介1,

3.若x,y满意约束条件，x——1，目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小

.2x—yW2,

值，则实数a的取值范围是()

A.(—4,2)

B.(-4,1)

C.(-8,-4)U(2,+8)

D.(—8,—4)U(1,+8)

【解析】如图，z=ax+2y,"=—仅在点(1,0)处在y轴上的截距最小，工一

乙乙

l<--<2,A-4<a<2.

乙

【答案】A

3x+y+320,

2x—y+2W0,则z=Z+/的取值范围是（）

x+2—,

A.[1,13]B.[1,4]I

44

C.13D.4

?0

【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z=f+y2的最小值为

4

点。到直线/2x—y+2=0的距离的平方，为产小最大值为点。与点加一2,3)的距离

o

的平方，2„in=I0AI=13.

【答案】C

x—y—2W0,

5.设实数x,y满意*+2y—520,则z=1+4的取值范围是（）

4y

L—2W0,

11015'

?2_

-

C.-2,-51D.「|_2,—10

【解析】由于上表示可行域内的点Or,y)与原点(0,0)的连线的斜率，如图，求出可行

X

]1yI

域的顶点坐标4(3,D,£(I,2),C(4,2),则正》域=2,2亍可见长于2,结

合函数的图象,

【答案】D

—1,

6.设变量必y满意约束条件•，x—y22,若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷

.3x+yW14,

多个，则实数a的取值集合是

【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示.

易知直线z=ax+y与x—y=2或3x+y=14平行的取得最大值的最优解有无穷多个,

即一a=l或一a=—3,.'・a=­1或a=3.

【答案】{T,3}

7.已知〃是以点力(4,1),M-1,-6),C(—3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与

内部).

(1)写出表示区域〃的不等式组；

⑵设点8(—1,-6),。(一3,2)在直线4x—3y—a=0的异侧，求a的取值范围.

【解析】⑴直线版AC,比的方程分别为7*—5/—23=0,x+7y-ll=0,4叶y+

pA-5y-23<0,

10=0.原点(0,0)在区域〃内，故表示区域〃的不等式组为,%+7y-llW0,

4x4-y+10^0.

⑵依据题意有[4X(-D-3X(-6)-a][4X(一3)—3X2一司V0,即(14一a)(一18

一向V0.

解得一18VaV14.

故a的取值范围是(一18,14).

8.电视台播放甲、乙两套进续剧，每次播放迷续剧时，须要播放广告.已知每次播放

甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

连续剧播放时长广告播放时长收视人次

（分钟）（分钟）（万）

甲70560

乙60525

已知电视台每周支配的甲、乙连续剧的总播放时间入多于600分钟，广告的总播放时间

不少干30分钟,日甲连续剧播放的次数不多干乙连续剧播放次数的2倍.分别用x、y表示

每周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数.

⑴用必y列出满意题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

〃70x+60yW600,*x+6y《60,

5*+5/30,

【解析】（1）由已知，x,y满意的数学关系式为《》W2y，即〈x-2j<0,

GO,

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.

⑵设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y.

考虑z=60x+25%将它变形为广—圣+舟这是斜率为一?随z改变的一族平行

直线.』为直线在y轴上的截距,当5取得最大值时，z的值最大.又因为y满意约束条

件，所以由图2可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点必时，截距!最大，即z最大.

y

7%+6K=60,

解方程组0-得点."的坐标为（6,3）.

[x~2y=Qn,

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

B组题

1.已知变量居y满意约束条件,“一工1，若2=>—2了的最大值与最小值分别为输

y—1W0,

b,且方程>2—履+1=。在区间（°,a）上有两个不同实数解，则实数4的取值范围是（）

A.(—6,—2)B.(—3,2)

【解析】作出可行域（如图所示阴影部分）,

则目标函数z=x-2」在点（1,0）处取得最大值1,在点（一1,1）处取得最小值一3,J

a=l,b=—3,从而可知方程1=0在区间（一3,1）上有两个不同实数解.令/'（x）

丁（-3）>0,

/（I）>0,

=J—4x+l,贝!J<3<*']

、一4>0.

【答案】C

■2x-y+l>0,

2.设关于x,y的不等式组，x+水0,表示的平面区域内存在点产（死，用）,满意

j-m>0

照-2H=2,则勿的取值范围是()

【解析】由线性约束条件对应的平面区域如右图阴影部分，要使平面区域内存在点P(施,

㈤，满意照一2耳=2,只要点力(一勿，勿)在直线x—2y—2=0下方，所以一加一2m—2〉0,

2

求得成一不

<5

【答案】C

x+y—4W0,

3.设J/为不等式组dx-y+420,所表示的平面区域，N为不等式组二[3所表

〔介0

示的平面区域，其中fe[0,4],在必内