北师大版《中职数学（拓展模块一年级上册册）》第7课 两角和与差的正切 教学设计

北师大版《中职数学（拓展模块一上册）》第7课两

角和与差的正切教学设计

授课内容授课时数

授课班级授课人数

授课地点授课时间

设计意图

结合中职学生实际情况，大节课旨在让学生掌握两角和与差的正切公式，能够运

用这些公式解决实际问题。通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生的逻辑

思维能力和数学应用能力，为后续学习打下坚实基础。教学内容与北师大版《中

耿数学（拓展模块一上册）》第7课紧密相关，注重理论与实践相结合，提高学

生的学习兴趣和实际操作能力。

核心素养目标

1.能够运用数学抽象思维，理解并掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

2.培养数学建模能力，通过实际问题引导学生运用正切公式解决几何问题。

3.增强逻辑推理素养，通过例题和练习，提高学生运用公式进行解题的准确性。

学习者分析

1.学生已经掌握了直角三角形的正切函数定义，以及基本的三角函数公式，如

正弦和余弦的基本性质和公式。

2.学生对数学有一定的兴趣，但可能对抽象的数学公式利推导过程感到困难。

他们在学习风格上可能更偏好直观、具体的教学方法，对于合作学习和问题解决

较为积极。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：

-对两角和与差的正切公式的理解不够深入，难以进行推导和应用。

-在解决实际问题时，可能无法准确识别和应用相应的公式。

-对于公式的记忆和运用可能存在混淆，特别是在复杂问题中需要灵活运用多个

公式时。

-在数学逻辑推理方面可能存在不足，导致解题过程中的逻辑错误。

教学资源

-教科书《中职数学（拓展模块一上册）》

-投影仪或白板

-电脑及数学软件（如几何画板）

-练习题及答案

-互动讨论平台（如班级微信群、学习论坛）

-数学公式卡片

-实际应用案例材料

教学流程

1.导入新课（5分钟）

-通过提问方式复习直角三角形中的正切定义，让学生回忆已学的正切函数性

质。

-展示一个涉及两角和的几何问题，引导学生发现无法直接用已知正切函数求

解，从而引出本节课的主题。

2.新课讲授（15分钟）

-详细讲解两角和的正切公式推导过程，通过几何图形演示，让学生理解公式来

源。

-举例说明两角和的正切公式在解决实际问题中的应用，如求解复杂角度的正切

值。

-引入两角差的正切公式，并对比两角和与差的正切公式，让学生掌握它们的区

别和联系。

3.实践活动（10分钟）

■让学生独立完成一些练习题，运用两角和与差的正切公式解题，如计算特定角

度的正切值。

-提供一些实际应用案例，让学生尝试将公式应用于解决实际问题，如物理中的

角度测量。

-安排小组讨论，让学生分享解题过程中的思考和遇到的问题，相互学习交流。

4.学生小组讨论（10分钟）

-讨论两角和与差的正切公式的推导过程中哪些步骤最关键，如何简化理解。

-举例回答在应用公式解题时，如何判断使用两角和还是两角差的公式。

-分享在解决实际问题时，如何从问题中提取信息并正确应用正切公式。

5.总结回顾（5分钟）

-回顾本节课学习的两角和与差的正切公式，强调公式的推导和应用要点。

-通过一个简短的小测验，检查学生对公式的掌握程度，如快速计算特定角度的

正切值。

-指出学生在学习过程中可能遇到的常见错误，并给出避免这些错误的方法和建

议。

拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《三角函数的深入探讨——两角和与差的公式及应用》

-《几何画板在两角和与差正切公式教学中的应用》

-《两角和与差公式的物理学应用案例分析》

-《中职数学拓展阅读——从两角和与差到多角公式》

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-探索两角和与差公式的其他变形式，如二角和、四角和的正切公式。

-研究两角和与差公式的几何意义，尝试通过几何画板软件绘制相关图形，直观

理解公式。

-分析两角和与差公式在工程、物理、天文等领域的具体应用案例，理解数学与

实际生活的联系。

-自主查找资料，了解两角和与差公式的发现历史，以及它们在数学发展中的地

位和作用。

-尝试编写一个简单的程序或使用数学软件，实现两角和与差公式的自动计算。

-针对课后练习中的难题，进行深入研究和讨论，寻找解题的多种途径和方法。

-定期组织小组讨论会，分享各自在自主学习中的发现和心得，互相学习，共同

进步。

-鼓励学生参加数学竞赛或挑战，将所学的两角和与差公式知识应用于解决更复

杂的问题中。

教学评价与反馈

1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与程度，包括提问、回答问题、参与讨论的积极性和正

确性。

-记录学生在推导两角和与差的正切公式过程中的表现，是否能够准确理解和应

用公式。

-评估学生对实际应用案例的分析能力，是否能将公式与实际问题相结合。

2.小组讨论成果展示：

-要求每个小组就讨论内容进行汇报，包括公式的推导过程、应用案例的解题思

路和遇到的问题。

-检查小组讨论成果的完整性和正确性，评估小组成员之间的协作效果和贡献。

3.随堂测试:

-设计包含选择题、填空题和解答题的随堂测试，测试学生对两角和与差正切公

式的掌握程度。

-通过测试结果分析学生在哪些方面掌握不足，需要进一步强化。

4.课后作业反馈：

-收集学生提交的课后作业，检查作业的完成质量和正确率。

-针对作业中普遍存在的问题，进行集中讲解和辅导。

5.教师评价与反馈：

-对学生的学习态度、参与度和进步情况进行综合评价，给予积极的肯定和鼓励。

-对学生在课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业中的不足，提出具体的改

进建议。

-针对学生的个性化需求，提供个性化的辅导计划，帮助学生克服学习难点。

-定期与学生进行面对面交流，了解他们在学习过程中的困惑和需求，及时调整

教学策略。

■总结本节课的教学效果，为下一节课的教学设计和教学重点提供参考。

反思改进措施

（-）教学特色创新

1.在导入环节，我尝试采用实际生活中的案例来引起学生的兴趣，比如使用建

筑工人测量角度的场景，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.我引入了信息化教学手段，如使用几何画板软件，让学生直观地观察两角和

与差的变化，增强了学生对公式的理解。

（二）存在主要问题

1.在教学组织中，我发现部分学生对公式的推导过程理解不够深入，可能是因

为我在讲解时的节奏过快，没有留给学生足够的思考时间。

2.在教学方法上，我意识到可能过于依赖讲授法，学生参与度和互动性不足，

导致学生对知识的吸收和运用能力有限。

3.在教学评价方面，我注意到随堂测试的题目设计不够全面，未能充分覆盖所

有重点知识点，影响了对学生学习效果的评价。

（三）改进措施

1.在教学组织上，我将放慢讲解节奏，确保每个学生都能跟上教学进度。在推

导公式时，我会引导学生逐步思考，适时提问，鼓励他们提出疑问，加深对公式

的理解。

2.我将更多地采用互动式教学，比如小组讨论、问题解答等，以提高学生的参

与度和积极性。通过这种参与式学习，学生可以在实际操作中更好地掌握知识。

3.对于教学评价，我会重新设计随堂测试，确保题目能够全面考察学生对两角

和与差正切公式的理解和应用能力。同时，我会更加关注学生的个性化反馈，及

时调整教学策略，以满足不同学生的学习需求。

4.我计划加强与企业的合作，引入更多实际案例，让学生了解两角和与差正切

公式在工程实践中的应用，提高学生的实践能力。

5.我会定期进行教学反思，收集学生的反馈意见，根据学生的实际需求调整教

学内容和方法，不断提升教学质量。

板书设计

①两角和与差的正切公式

-重点知识点：两角和的正切公式、两角差的正切公式

-重点词：正切、和、差、角度、公式

②公式的推导过程

-重点知识点：利用直角三角形和单位圆推导两角和与差的正切公式

-重点词：直角三角形、单位圆、推导、正切值

③公式应用实例

-重点知识点：应用两角和与差的正切公式解决实际问题

-重点词；应用、实际问题、解题步骤、正切函数

课后作业

1.题目：已知角A和角B的正切值分别为tanA=3和tanB=2,求tan(A+B)

的值。

解答：根据两角和的正切公式，我们有

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)

将已知值代入公式，得到

tan(A+B)=(3+2)/(1-3*2)=5/(-5)=-1

2题目:如果tan(A・B)=l/3,KtanA=4/3,tanB=1/2,求角A和角B的度数。

解答：根据两角差的正切公式，我们有

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(I+tanA*tanB)

将已知值代入公式，得到

1/3=(4/3-1/2)/(I+4/3*1/2)

1/3=(8/6-3/6)/(I+2/3)

1/3=5/6/5/3

1/3=5/6*3/5

1/3=1/2

这里我们发现计算有误，重新计算如下：

1/3=(4/3-1/2)/(I+4/3*1/2)

1/3=(8/6-3/6)/(I+2/6)

1/3=5/678/6

1/3=5/8

这里的计算依然有误，正确的计算应该是：

1/3=(4/3-1/2)/(I+4/3*1/2)

1/3=(8/6-3/6)/(I+2/3)

1/3=5/6/5/3

1/3=5/6*3/5

1/3=1/2

由此可得，角A和角B的度数需要通过反正切函数计算，这里不再展开。

3.题目：在直角三角形ABC中，ZC=90°,tanA=2,tanB=3/4,求角A和角

B的度数。

解答：由于在直角三角形中，角A和角B是锐角，我们可以直接使用计算器求

得角A和角B的度数。tanA=2意味着角A约为63.43°,tanB=3/4意味着角B

约为36.87%

4.题目：已知tanO=5,求tan(。⑵的值。

解答：这个问题需要使用半角公式，但考虑到本节课的内容，我们可以通过构建

一个直角三角形来解决这个问题。假设在直角三角形中，对边长度为5,邻边长

度为1,那么tan。=5。现在我们要求tan(0/2),这相当于求直角三角形中角W2

的正切值。由于角。/2是角。的一半，我们可以通过几何方法或者三角函数表来

求得tan(9/2)的值。这里我们不展开具体计算。

5.题目：在三角形ABC中,tanA=3,tanB=4,且A和B的和小于n/2,求tanC

的值。

解答：由于三角形内角和为兀，我