【人教版】中职数学（拓展模块）：14《三角公式的应用》教案设计

三角之：三角公式的应用

一.同角间的三角函数关系式

1.平方关系：Sin1a+Cos2a=1

sinacost?

2.商数关系：tana=------,cola=

cosasina

3.倒数关系：tanacota=l

作用：（1）已知一个角的某一个三角函数值以及它所在的象限，我们就可以求出其他的三角

函数值。

（2）“切化弦”以及“1的巧用”在计算，证明中被广泛应用。

二.诱导公式

(I)终边相同的角的同名三角函数值相等。即：sin（cr+2^）=sin«

cosQ+2k冗)=cosa

tan(c+2k兀)=tana

终边互为反向延长线的角的同名三角函数值之间的关系。

即：：sin(a+M)=-sina

COS@+TF)=-cosa

tan(«+4)=tana

(3)终边关于x釉对称的两个角的同名三角函数值之间的关系。

即：：sin(-«)=-sina

cos^a)=cosa

tan(-a)=Tana

(4)终边关于y轴对称的两个角的同名三角函数值之间的关系。

即：：sin(^—«)=sin/z

cosb-a)=一cos。

tan，r-a)=-tana

(5)互余两个角之间的三角函数关系。

即：：sin(--a)=cosa

2

cos(y-«)=sina

（6）相差90°的两个角之间的三角函数关系。

・“冗、

即：：sin（—+（z）=cosa

cosg+a）=-sina

注意：（l）公式中的角可以是任意的角。通常情况下,我们将a看做锐角，这样容易确定

公式右边的符号。

（2）公式的做用是：将任意一个角的三角函数值转化成锐角的三角函数值。

（3）特别注意公式（5）,（6）,可以改变函数名。

三.两角和与差的公式

(1)5々+万：sin(a+4)=sina•CGS/3+costz•sinp

s.sin(a一力)=sina•cos//-cosa-sinp

(2)C・cosQ+夕)=cosa-cos/?-sina-sinp

Ca-fi：cos(a_p}=cosecos/y+sinasinp

/tana+lan

(3)Ta+fi:tan(a+J3)=-----------------

1-tanatanp

tana-tanft

Ta-。'tan(tz-p)=

1+tanatan0

应用：（I）公式可以“顺用”，“逆用”，“变形用”；“变形用”主要指两个

公式的变形应用。

（2）公式和5加＞广和。加力之间的相加与相减可以得到“和差化积”,

“积化和差”公式。

四.二倍角公式

（1）二倍角正弦公式：sin2a=2sinacosa

(2)二倍角余弦公式：cos2«=cos2a-sin2a=l-2sin2a=2cos2a-\

推论：2sin2a=l-cos2o;2cos2a=l+cos2a

.2l-cos2«,1+cos2a

即：sina=-------------;cos~a：

22

(3)二倍角正切公式：tan2a=―上口

\-tan-a

注意：二倍角余弦公式的推论十分重要，在解题中有占据重要地

位。是考试中的重点考察内容。

典型例题：

例1：若l+sina・Jl-cos2a+cosa・Jl—sin2a=o,则。的取值范围是(C)

A.第三象限角

B.第四象限角

C.2k4+71<a<2k冗+三(kGZ)

D.Ikjr+<a<2攵4+24(攵Ez)

例2：已知sina+cosa=g,a£(0,4)，求：

(1)sinacosa

(2)sincr,cosQ

方法总结：(1)遇到sina+cosa=/%将其平方，就可以求出2sina・cosa的值；

(2)遇到sina+cosa二n将其平方，如果条件给出角a的范围，我们

再根据2sina-cosa的符号和m的符号就可以进一步缩小角a的范围，从而判断出

sina,cosa的符号。(三结合判断角a范围)

(3)求出sina-cosa的值，再和已知等式联立方程组解出sina,cosa。

练习：已知sina+cosa=-1,求sin""a+cos200'。的值

例3：已知tana=2,求下列各式的值

⑴3sina-cosa

2sina+3cosa

(2)sin2a-2cos2a

(3)sinacosa

方法总结：将关干sinzcosa的齐次式.化为tana的表达式进行求值,这是一种常用

技巧，应熟练掌握。

练习：已知tana=2,求下列各式的值

sin2a,cos2a,tan2a。

例4：若cos。二一，求：

3

2cos3+sin2(2^--cr)+sin(—+cr)-3

2+2cos2(^+cr)+cos(2^-6z)

例5：已知cosfcz—75°)=-L且夕为第四象限角，求sin(a+105°)

3

解：发现(a+105°)-(。-75。)=180°

2V2

r

练习：已知cos0+750)=L且。为第三象限角，求sin(a-105°)+cos(1050-a)

3

解：发现(a+75°)十(1()50-a)=180°

2行-1

3

222c22

例6：求sin210+Sin20+sin3°+---+sin87+sin88°+sin89°

解：发现首尾两个角之和为定值90°

44.5

方法总结：在三角的计算中，注意到已知和所求中的角是什么关系十分重要。

即：两个角之和是否为9()0,180°；两个角之差是否为90°,180°；我仅可以

采取相应的诱导公式。(保角变换)

例7：AA8C中，已知5皿4=3,<：008=工，则85(：的值为(0

513

16561656、1616

A.—,—B.----,----C.—D.----,

656565656565

解：本题难点是判断A是锐角。

在AA3C中，有A>B>Coa>Z?>cosinA>sin4>sinC

例8：己知tana=4A/3,COS((Z+6)=--,0<a,fl〈工，求cos/?。

解：0.5

443万

例9：己知cosQ+p)=—,cos(a-/7)=———<。+4<2兀,

552

一/<乃,求cos2a,cos2/7

7

解:

25'

“Irj71、371,3冗——乃、

例10：已知cozs@WaW——，求cos(2a+—)

45224

TCn7F

解：(法一)2a+—=a+(a+—),我们去求sin(a+—),sina,cosa的值即可。

444

3〃■,4747133兀兀7万

因为我.—<a+—<—.Xcos(a-—)=->0,/.—<a+—<——

22444244

..文、4jr37T4

/.sin(a+—)=—由cos(<z+—)=—与sin(cr+-)=--得

45

sina+cosa=--(1),cosa-sinar=—(2)由两式得sina二一辿

5510

冗乃

cosa=------。所以cos(2a+^)=cosa+(a+巳)=cos«cos^z+—)-

1044444

sinasin®」)二-互支(-,4、31V2

4105

।।i-jj/1.TC、3

另解：cos(a+—)=cosacos----sinasin—=——(cosa-sina)=—

44425

7§力3尤

即：coscr-sin«=-----(1),平方得：2sinacosa=—>0,得：——<a<一

52542

所以sina+cosa=一J(sina+cosa)2=~~~,(2)由(1),(2)两式得

sina=--,cos«=--o所以sin(a+巳)=一士

101045

71乃7T出也。注意：遇到a+2,的正

所以cos(2a+—)=cosa+(a+—)=

4445044

弦值或余弦值可以展开得到(na+ccsa=m,sina-ccsa=m。反之亦可。

(法二)2a+工=2(a+马一工，我们去求sin2(a+-),cos2(a+工)的值即可。

44444

cos2(6z+-)=2cos2(a+-)-1=---,因为工W。

442522

3%，71171/4\3八3万71171

—Wan—<—.又COSQH—)=—>0,—<aH—<—

44445244

n471717t24

/.sin(a+—)=一《.所以5山2(0+])=2sin(«+—)-cos(cr+—)=

〜冗、4冗、.冗

cos(2cr+—)=cos2(a+—)——=cos2(a+—)•cos—Fsin2(a+—)-sin—=

4444444

74131V2

(3)»

50

练习：尸i知*in(a+—)—求:cos(——2a),(——)

方法总结:角的保值变换十分重要。(观察已知和所求角之间的关系:

和，差，倍，互余，互补，差九十度，一百八十度等)

例11.已知sina=—,sin0=斗&,0<a,夕<二,求二十尸的值

5102

解:第一步：确定角a+〃所在的范围

第二步：求力的某一三角函数值

第三步：确定角a+尸的值

Q71

0+作了。

练习：已知a,(0,乃),tan(。一/?)=-!■tan"=-'，求2a—〃的值。

2,7

解：先求出tana=g,再求出tan(2a-0=1,因为pG(0,/r),tan〃=一;

所以pG(2,笈),因为aG(0,^-),tana=-<1,/.0<a<—,

23

二.2ae(0,y),.\2a—4w(—肛0),「.2a-fi=-^-

(tan100-石)cos10°

例例化简:

sin50°

原式JcoslO°一百)c°sl°°=(sinlO°—V5coslO°)

解:

sin50°-sin50°

]V3

2(5Sin[0()一^coslO。)_2sin(10°-60°)_2420。

sin50°-sin50°-siii500

1

练习：（1）

sin100cos10

sin4O°(tanlO°-V3);

tan70°cos10°(gtan200-1);(4)sin50°(l+V3