工程力学教学课件 第8章应力状态分析

第八章应力状态分析1第八章应力状态分析

应力状态的概念

用解析法分析二向应力状态

用图解法分析二向应力状态

主应力迹线

三向应力状态

广义胡克定律目录2回顾与比较内力应力FAyFSM目录3低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1、问题的提出8—1应力状态的概念4脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁8—1应力状态的概念5

PPmmnnPnnkmmPk一、一点的应力状态8—1应力状态的概念68—1应力状态的概念

一、一点处的应力状态

对弯曲或扭转的研究表明，在构件的同一横截面内，点的位置不同，其应力就不同。所以，一点的应力是该点坐标的函数。此外，在通过构件内同一点、不同方位的截面上，应力也不同，即应力随截面方位角的变化而变化。

一般地，在受力构件的同一横截面内，点的位置不同应力就不同，而且在通过同一点的不同截面上，应力也随截面的方位而变化。78—1应力状态的概念一点处的应力状态是指受力构件内某一点处各截面上的应力的集合。二、一点处应力状态的表示方法

为了研究受力构件内某一点处的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的正六面体——单元体来研究。当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。88—1应力状态的概念yxz98—1应力状态的概念单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元体。10yxz8—1应力状态的概念11空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零8—1应力状态的概念128—1应力状态的概念

⒈若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。PP

⒉若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。ABP

x

x

x13xya1.斜截面上的应力

8-2解析法分析二向应力状态yx14xya1.斜截面上的应力

8-2解析法分析二向应力状态dAαnt15列平衡方程dAαnt

8-2解析法分析二向应力状态16利用三角函数公式并注意到化简得

8-2解析法分析二向应力状态17

8-2解析法分析二向应力状态符号：

角由x轴逆时针转向外法线n时为正，反之为负。2.正应力以拉应力为正，压应力为负；dAαnt18

8-2解析法分析二向应力状态dAαnt符号：剪应力则以对单元体内任意点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。19xya2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx

8-2解析法分析二向应力状态20确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零

8-2解析法分析二向应力状态21由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1

σ2

σ3

8-2解析法分析二向应力状态22

8-2解析法分析二向应力状态

这两个主应力分别与

和所确定的主平面相对应。至于两个主平面中，哪个面上作用，哪个面上作用，这种对应关系由下述规则确定：由和确定了两个主平面之后，的矢所指向的那一侧即为的矢的位置。23

8-2解析法分析二向应力状态4、极值剪应力及其所在平面作用面方位角为两个极值剪应力为剪应力极值的数值，等于两个主应力差值的一半。24

8-2解析法分析二向应力状态4、极值剪应力及其所在平面

所以，这说明两个极值剪应力所在平面与主平面各成45°角。极值剪应力所在平面上的正应力一般情况下不等于零，通常用表示25试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知

8-2解析法分析二向应力状态

26解：（1）斜面上的应力

8-2解析法分析二向应力状态27（2）主应力、主平面

8-2解析法分析二向应力状态28主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：

8-2解析法分析二向应力状态29（3）主应力单元体：

8-2解析法分析二向应力状态30n

[练习1]求图示单元体a－b斜截面上的正应力和剪应力。解：已知

8-2解析法分析二向应力状态31[练习2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知

8-2解析法分析二向应力状态32

3

3

1

1

0=－67.5°

8-2解析法分析二向应力状态33[练习3]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知

8-2解析法分析二向应力状态34

1

1

3

3

0=18.43°

8-2解析法分析二向应力状态35由解析法知，任意斜截面的应力为将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加

8-3图解法分析二向应力状态得：36取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。

x

x

x

y

ynt

yr圆心坐标为半径为

8-3图解法分析二向应力状态37这个方程表示一个圆，这个圆称为应力圆

8-3图解法分析二向应力状态38RC1.应力圆：

8-3图解法分析二向应力状态392.应力圆的画法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRADxy

8-3图解法分析二向应力状态40点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3、几种对应关系D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHnH

8-3图解法分析二向应力状态418-4梁的主应力及主应力迹线124512345mm153

1

1

1

1

3

3

3

323442梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力

1和压主应力

3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主应力迹线的画法：8-4梁的主应力及主应力迹线43拉力压力

1

3

1

3图示为悬臂梁的主应力迹线实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。8-4梁的主应力及主应力迹线44q

1

3

3

1图示混凝土梁自重下的主应力迹线。混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强度。8-4梁的主应力及主应力迹线45定义三个主应力都不为零的应力状态

8-5三向应力状态46s1s2xyzs31、空间应力状态

8-5三向应力状态472、三向应力圆

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

8-5三向应力状态48

max

min3、最大剪应力

1

2

3最大剪应力所在的截面与

2平行，与第一、第三主平面成45°角。

8-5三向应力状态491.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

8-6广义胡克定律502、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

8-6广义胡克定律51

8-6广义胡克定律523、广义胡克定律的一般形式

8-6广义胡克定律53[例2]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为

，顶面受铅直压力P作用，求钢块的应力

x、

y

、

z

和应变

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：

8-6广义胡克定律54Pxyz

x

y

z

8-6广义胡克定律55[例3]已知E=10GPa、

=0.2，求图示梁n－n截面上

k点沿30°方向的线应变

30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°

8-6广义胡克定律56nnk1m1m2mAB2001507575k30°

8-6广义胡克定律57nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°

8-6广义胡克定律58nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°

8-6广义胡克定律59[例4]薄壁筒内压容器(t/D≤1/20)，筒的平均直径为D，壁厚为t，材料的E、

已知。已测得筒壁上

k点沿45°方向的线应变

45°，求筒内压强p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一点的轴向应力：