《多元统计分析》（第6版）课件 第7章：对应分析理论与实践应用

对应分析理论与实践应用CONTENTS目录01对应分析概述02列联表及列联表分析03对应分析的基本理论04对应分析的方法步骤CONTENTS目录05SPSS软件进行对应分析操作06对应分析案例分析07对应分析的应用价值与总结对应分析概述01对应分析的学习目标

理解列联表分析及对应分析的基本思想明确列联表用于描述属性变量状态及关系的作用，掌握对应分析通过降维同时处理行与列数据、揭示变量间关系的核心思路。了解对应分析的基本理论知晓对应分析中涉及的行剖面、列剖面、距离、总惯量等关键概念，理解R型与Q型因子分析的对等关系及原理。掌握对应分析的方法熟悉从列联表数据规格化、计算Z矩阵，到进行因子分析、提取公共因子并在低维图形呈现结果的完整分析流程。能用SPSS软件进行对应分析并正确理解输出结果能够运用SPSS的对应分析模块处理数据，对输出的列联表、总惯量、因子载荷、二维投影图等结果进行合理解释与分析。2026/5/14R型与Q型因子分析的结合对应分析整合了R型因子分析（研究变量间关系）和Q型因子分析（研究样品间关系），弥补单独分析的局限，实现对变量和样品的同时研究。降维思想的应用借助降维手段，将高维数据结构简化，把属性变量不同取值以二维图上的点表示，直观呈现行与列及各状态间的相互关系。行与列的同时处理区别于因子分析仅对行或列单独处理，对应分析同时对数据表的行与列进行分析，以低维图形形式清晰展示两者间的关联。对应分析的基本思想对应分析的发展历程

思想的提出1933年，理查森（Richardson）和库德（Kuder）首次提出对应分析的基本思想，为该方法的发展奠定了基础。

方法的详细论述与发展法国统计学家让·保罗·贝内泽（Jean-paulBenzécri）和日本统计学家林知己夫（Hayashichikio）对对应分析方法进行了深入且详细的论述，推动其进一步发展和完善。2026/5/14列联表及列联表分析02列联表的概念与形式列联表的定义列联表是描述属性变量（定类或定序尺度）各种状态或相关关系的表格形式，通过横栏与纵列交叉位置的频数呈现数据。两变量列联表示例以公司消费者满意度调查为例，横栏为不同职业（如一般工人、管理者等），纵列为评价等级（非常满意、比较满意等），交叉单元格为相应频数，底部和右侧为汇总行/列。经济研究中的列联表应用在企业研究中，可将横栏设为企业规模，纵列设为获利能力水平，通过列联表分析两者关系；也可按上市/非上市、行业等分类，研究盈利能力、偿债能力等指标。2026/5/14列联表的作用与信息提取基础信息获取从列联表可直接获取不同类别下的频数分布，如各职业消费者对产品的评价频数、所有被调查者的整体评价及职业构成情况。类别间相关关系判断通过比较交叉单元格频数（需抵消不同类别在总样本中的比例影响），判断类别相关性。例如，若管理者与“比较满意”交叉单元格频数相对较大，说明两者有较强相关性。综合指标分析支持列联表可容纳简单或综合指标，如将因子分析提取的公共因子按取值范围分类后，研究其与其他属性变量的关系，为多维度分析提供基础。2026/5/14频率列联表的构建将原始列联表中每个元素除以总频数T，得到频率意义上的列联表，其中每个单元格元素pij表示特性A第i状态与特性B第j状态同时出现的概率。边缘概率与符号定义记PⅠ=（p1·,p2·,…,pn·）为行边缘概率向量，PJ=（p·1,p·2,…,p·m）为列边缘概率向量，且满足PⅠ1=1、PJ1=1（1为全1向量），表格右下角合计为1。概率意义的应用频率列联表中，pij具有概率含义，可用于研究属性变量独立性：若A与B独立，则对任意i、j有pij=pi·×p·j，为后续对应分析等方法提供数据基础。频率意义上的列联表对应分析的基本理论03行剖面与列剖面

行剖面的定义当属性变量A的取值固定为i（i=1,2,…,n）时，变量B各个状态相对出现的概率情况，即矩阵P第i行元素除以行边缘概率pi·，坐标为（p_i1/p_i·,p_i2/p_i·,…,p_iq/p_i·），表示条件概率P(B=j|A=i)，且各分量之和为1。

列剖面的定义当属性变量B的取值固定为j（j=1,2,…,q）时，变量A各个状态相对出现的概率情况，即矩阵P第j列元素除以列边缘概率p·j，坐标为（p_1j/p·j,p_2j/p·j,…,p_nj/p·j），表示条件概率P(A=i|B=j)，且各分量之和为1。

欧氏空间表示行剖面集合是n个点在q维欧氏空间超平面x₁+x₂+…+x_q=1上的分布；列剖面集合是q个点在n维欧氏空间超平面x₁+x₂+…+x_n=1上的分布，对应分析通过降维将两类点同时呈现在二维图中。2026/5/14距离与总惯量加权距离公式

为消除变量B各状态边缘概率影响，行剖面k与l的加权距离公式为：d(k,l)=√[Σ(p_kj/p_k·-p_lj/p_l·)²/p·j]，同理列剖面s与t的加权距离为：d(s,t)=√[Σ(p_is/p·s-p_it/p·t)²/p_i·]。行剖面总惯量

行剖面集合各点与其重心（坐标为√p·j）的加权欧氏距离之和，公式为I_r=Σp_i·Σ[(p_ij/p_i·-p·j)²/p·j]，反映行剖面间的总差异，与χ²统计量关系为χ²=T·I_r（T为总频数）。列剖面总惯量

列剖面集合各点与其重心（坐标为√p_i·）的加权欧氏距离之和，公式为I_c=Σp·jΣ[(p_ij/p·j-p_i·)²/p_i·]，且行剖面总惯量等于列剖面总惯量（I_r=I_c），均反映属性变量间的相关关系。2026/5/14R型与Q型因子分析的对等关系

协方差矩阵关系对行剖面数据做变换Z_ij=(p_ij-p_i·p·j)/√(p_i·p·j)，则R型因子分析协方差矩阵Σ_r=Z^TZ，Q型因子分析协方差矩阵Σ_c=ZZ^T，二者存在对等关系。

非零特征根相同矩阵Σ_r与Σ_c具有完全相同的非零特征根λ₁≥λ₂≥…≥λ_r，这些特征根表示各公共因子解释的总惯量份额，且最大维数为min(n,q)-1（n、q分别为行、列状态数）。

因子结果推导若u_j是Σ_r对应特征根λ_j的特征向量，则Z^Tu_j是Σ_c对应λ_j的特征向量，因此可由R型因子分析结果直接推导Q型因子分析结果，实现变量与样品在同一因子平面上的可视化。2026/5/14对应分析应用于定量变量的情况

适用数据类型适用于定距/定比尺度数据，可将每个观测视为一类（行）、每个变量视为一类（列），通过规格化处理转化为类似列联表的结构，分析观测与变量间的相关关系。

数据预处理要求对应分析要求数据阵中所有元素≥0，若存在负值，需先进行加工（如对变量各取值加常数），确保数据非负后再进行分析，例如经济截面数据可通过分类汇总转化为符合要求的格式。

分析思路与属性变量分析步骤一致：计算规格化矩阵→构建Z矩阵→进行R型/Q型因子分析→在低维图中呈现观测与变量的分布，直观揭示变量间依赖关系及观测分类特征。2026/5/14二维投影的局限性多维空间中相隔较远的点在二维投影图上可能距离较近，易产生误导，需结合状态对公共因子的贡献度（CTR(i)=p_i·a_ik²/λ_k）判断各点对维度的影响，避免误判。缺乏量化相关统计量对应分析仅通过图形提示变量间关系，无法提供具体统计量（如相关系数）度量相关程度，结论主观性较强，需结合列联表分析、χ²检验等方法交叉验证。对异常值敏感数据中极端值或频数较小的状态可能对总惯量和因子载荷产生较大影响，分析前需检查数据质量，必要时对小样本状态合并或剔除，确保结果稳健性。对应分析需要注意的问题对应分析的方法步骤04对应分析的步骤01计算规格化概率列联表将原始列联表中每个元素除以总和T，得到频率意义上的列联表，其中元素pij表示特性A第i状态与特性B第j状态同时出现的概率，边缘概率pi●和p●j分别为行、列之和。02计算Z矩阵基于规格化列联表，通过公式zij=(pij-pi●p●j)/√(pi●p●j)计算Z矩阵，该矩阵消除了边缘概率影响，用于后续因子分析。03进行R型或Q型因子分析并推导结果对Z矩阵进行R型因子分析（分析变量）或Q型因子分析（分析样品），利用二者协方差矩阵Σr=ZᵀZ与Σc=ZZᵀ的对等关系，由一种因子分析结果推导出另一种，提取主因子并确定特征根与特征向量。04在二维图上画变量状态并分析相关性取前两个公共因子，将行、列变量的各状态以二维坐标点形式绘制在同一张图中，通过点的距离直观判断变量间及各状态间的相关关系，距离越近表示关联性越强。2026/5/14对应分析的逻辑框图数据输入与预处理输入原始列联表数据，检查数据有效性（如非负性），若为定量数据需先分类汇总，确保符合对应分析数据格式要求。规格化与矩阵转换将原始频数列联表转换为频率列联表，计算边缘概率pi●、p●j，进而构建Z矩阵，完成数据标准化以消除量纲和边缘概率影响。因子分析与结果推导对Z矩阵进行R型或Q型因子分析，求解协方差矩阵特征根与特征向量，利用R型与Q型因子分析的对等关系，共享特征根并推导对应特征向量，确定低维（通常二维）因子空间。图形绘制与结果解释根据因子载荷计算行、列状态的二维坐标，绘制对应分析图，通过点的分布、距离及聚类情况，解释变量间相关性及各状态特征，结合专业知识得出结论。2026/5/14SPSS软件进行对应分析操作05SPSS对应分析模块介绍

模块功能定位SPSS的correspondenceAnalysis模块是专门用于对应分析的功能模块，能够实现对属性变量列联表数据的降维分析，直观展示行与列变量各状态间的关系。

核心分析目标该模块通过对数据的处理和分析，可在二维图上同时呈现两类属性变量的各种状态，帮助研究者揭示变量间及变量各状态间的相关关系，简化数据结构。2026/5/14数据窗口录入以高校星级排名与学校类型为例，将原始数据（如高校名称、星级排名、学校类型及类型取值）依次录入SPSS数据窗口，确保数据准确对应。变量名称设定在variableview窗口，为变量命名，如“university”“rank”“type”，明确变量含义，便于后续分析操作。变量标签设定对分类变量（如type）的取值设置标签，如“1=综合类”“2=理工类等”，使输出结果更具可读性，操作时通过valueLabels对话框完成标签添加。数据录入与变量设定对应分析对话框操作

模块调用路径在SPSS中依次点选Analyze→DimensionReduction→correspondenceAnalysis，打开对应分析主对话框，准备进行变量设置。

行变量选择与范围定义将行变量（如rank）选入Row框，点击DefineRange按钮，设定其取值范围（如4~8），点击Update确认，完成行变量配置。

列变量选择与范围定义按同样方法将列变量（如type）选入Column框，设定取值范围（如1~5），完成后点击OK运行分析，生成初步结果。2026/5/14模型与统计选项设置

模型参数设定在Model对话框中，可规定对应分析的最大维数（默认2）、距离量度方法（如卡方距离或欧氏距离）、标准化方法及正态化方法（如symmetrical），根据研究目的调整参数。

统计量选择输出在Statistics对话框中，可选中Rowprofiles和Columnprofiles选项，输出行剖面与列剖面数据，还可选择其他统计量以检验对应分析效果，丰富分析结果。2026/5/14参考线添加在SPSS结果输出窗口双击图形进入编辑窗口，通过Options→XAxisReferenceLine和YAxisReferenceLine，添加X=0和Y=0参考线，清晰展示各点相对位置。标记类型修改选中图形图例中变量对应的标记，双击打开properties对话框，在Marker中选择不同标记类型（如菱形），区分不同变量的状态点，提升图形辨识度。图形可读性优化通过调整标记大小、颜色等外观属性，使二维图上的各状态点分布更清晰，便于直观观察变量间及状态间的关系，辅助分析结论的得出。图形编辑与优化对应分析案例分析06高校星级排名与学校类型对应分析案例数据与列联表构建选取2025年中国“双一流”大学排行榜中73所高校，以星级排名（4-8星）和学校类型（综合类、理工类等5类）为属性变量，构建5×5列联表，观测总数73，如4星级仅1所综合类高校，8星级含7所综合类和4所理工类。总惯量与显著性检验总惯量为0.409，反映行列关联强度；χ²值29.848（自由度16），Sig=0.019<0.05，拒绝独立性假设，表明星级排名与学校类型显著相关。维度解释与二维投影分析前两维度累计解释90.5%总惯量，二维图显示：7星级集中于理工类，8星级集中于综合类，5-6星级与医药类、文法类等关联，4星级因样本量小无显著类型特征。2026/5/14农村居民人均可支配收入对应分析

01数据背景与标准化方法基于2022年全国31省区农村居民收入数据（工资性、经营净等4类收入），因数据为分类汇总指标，选择“Columntotalsareequalizedandmeansareremoved”标准化方法消除量纲与均数影响。

02维度提取与解释能力总惯量0.384，前两维度累计解释94.8%（第一维81.8%、第二维13.1%），特征根分别为0.314和0.050，可有效降维展示省区与收入类型关系。

03省区与收入类型关联特征二维投影显示：北京、上海等经济发达地区以工资性收入为主，内蒙古、吉林等农业区以经营净收入