湖北部分省级示范高中2025-2026学年下学期高二期中测试数学试卷

湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个n为正整数，则(n4)(n5)L(n2026)等于（

f(2xf(2)1y

f(x在点(2,f(2处的切线的斜率为（

C. D.已知数列anSnna1a2a33a4a5a69S9（A. B. C. D.2026IP“星星人”5个不同造型的“星星人”5个“星星人”个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（）A. B. C. D.f(x2exa(x4aRf(x在[1,1a的取值范围为（2,2e2

2e,2

2e,2

e

e 律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60，再沿直线繁2OA11，然后分叉AAAA1OA….若OA4cm11 11 径r（rN*，单位：cm）至少为 A. B. C. D.62名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.64名参加比赛，并预先选定其22名划右桨，则不同的选定方案共有（）A.15 B.19 C.23 D.36定义在Rf(xf(-x+f(x=0x0f(xfx)exf(xfx)ex，则下列说法正确的是（A.f(x)在(0,)上单调递 B.f(2)fxf(x)

f(x)选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. a2nS为数列an a

1 anS2n1

22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（）百位为2的五位回文数有100 B.十位大于个位的六位回文数有360C.2n1nN*位回文数有910n D.2nnN*位回文数有10n已知l1l2yaexylnxlna的图象的两条公切线，记l1的倾斜角为αl2的倾斜角为且ll的夹角为θ0θπ，则下列说法正确的有（1 2

若tanθ3a3

l与l 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分100 C98C6C6100 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一 已知函数f(x)ax2a,g(x)ex，若f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围 解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a1b1a2b2anbn2fxalnxaR求fx在1ega

1

,

1AI6ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek4个研发项目进56A、B已知数列a满足：a1, 3a1；数列b满足：blog2a12 求数列an和bn设c1n ，求数列c的前n项和S b Mn，数列xnn项和Tn都满足TnMxM13 a n用他的名字命名.如对一组数据（xi,yi（i12,Ln,xi互不相等）进行研究时，记l1xxxxLx

i23,Ln1 lxx1xx2Lxxi1xxi1Lxxnlxx1xx2Lxxn1 xxxxLx x Lxx xxxxLx

fxl1y1l2y2

lnyn为这组数据的拉格朗日插值多项式湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个n为正整数，则(n4)(n5)L(n2026)等于（

【答案】【分析】根据题意，结合排列数的计算公式，即可求解【详解】由【详解】由

n2026n2025Ln4

f(2xf(2)1y

f(x在点(2,f(2处的切线的斜率为（

C. D.【答案】f22，结合导数的几何意义，即可求解

f2Δxf2

1

f2Δxf2

f2limf2Δxf2f22 y

fx在点2f2处的切线的斜率为2已知数列anSnna1a2a33a4a5a69S9（A. B. C. D.【答案】a1a2a33a4a5a69q3a4a5a63aaaaaaq39327aa

S9a1a2a3a4a5a6a7a8a93927392026IP“星星人”5个不同造型的“星星人”5个“星星人”个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（）A. B. C. D.【答案】5个“星星人”按1,13和22,1两种方式分组，再进行全排列，即可求解5个“星星人”3①按1,13分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2 5可得不同的分组数为C3C25 10

2②按22,152个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1C2 10的分组数为 3 15 23个不同的盒内，共有10156150种不同的装法f(x2exa(x4aRf(x在[1,1a的取值范围为（2,2e2

2e,2

2e,2

e

e 【答案】f(x2exaf(x在[1,1gxf(x2exa(x4)f(x)2exa

f(xf(xgxf(x2exagx2ex0f(1)2e1a则f(12e1a

，解得2ea2a的取值范围为2e2 e 律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60，再沿直线繁2OA11，然后分叉AAAA1OA….若OA4cm11 11 径r（rN*，单位：cm）至少为 A. B. C. D.【答案】 ,1, 3,L， 4 则42 311 3553587 411+L 3211L 3 1643168即

r（rN*cm）8cm，62名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.64名参加比赛，并预先选定其22名划右桨，则不同的选定方案共有（）A.15 B.19 C.23 D.36【答案】A

B

C

2A2BC中选两人，共有C2C26222A1人划左桨，从C1BC32人划右桨，共有C1C1C2222从C2B中的两人划右桨，共有C2C21219定义在Rf(xf(-xf(xfx)exf(xfx)ex，则下列说法正确的是（

f(x=0x0A.f(x)在(0,)上单调递

f(2)

fxf(x)

f(x)【答案】

fxexfxexgxf(xfxfx0fxfxfxgx

fxexfxex

fxexexgxfxfxexfxfxex，x0f(xf(x)exf(xf(x)ex，即f(xf(x)exf(xf(x)ex0

fxexex在0∞gx

fxexexfxexexgxgx

fxexex在∞0

fxexex在Rx0exex0g(x)0fx0；x0fx0，AfxABx0fx0f(30x0fx0f(2)0f(2)f(3BCx0fx0xfx0C错误Dx0fx0x0fx0f00fxD正确选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. a2nS为数列an a

1 anS2n1

【答案】a2n，利用等比数列的性质，通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判定方Aa2na29512ABa2n

1，则

1

11

0

即1

1，所以数 为递减数列，所以B错误 a

n

Ca2n

2n12C1D，假定anamam1am2mN，则2am1amam2，即22m12m2m2，整理得22122，矛盾，22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（）百位为2的五位回文数有100 B.十位大于个位的六位回文数有360C.2n1nN*位回文数有910n D.2nnN*位回文数有10n【答案】A错误，B理分析2nnN*和2n1nN*C正确，D错误A29种选法，10种选法，故总的个数为91090A错误；B，十位大于个位，有C2种方法，此时个位和十位的数字被确定，10种选择，符合条件的六位回文数C210360360BC，对于2n+19种选法，10种选法，……n1个数字，10种选法，则共有9101010910n即2n1nN*位回文数有910nCD，对于2n910种选法，LLnn110种所以共有9101010910n1D错误.已知l1l2yaexylnxlna的图象的两条公切线，记l1的倾斜角为αl2的倾斜角为且ll的夹角为θ0θπ，则下列说法正确的有（1 2

若tanθ3a3

l与l 【答案】 2 Cyaexylnxlnayx对称，则l1l2yx对称，故αβπA正确；由题意，αβtanα0tanβ0，tan𝛼tan𝛽=tan𝛼tanπ−𝛼=tan𝛼 ≥2当且仅当tanα1，即αβπB设lMNOQN若tanθ3

21tan2

3，解得tanθ1或3（舍去，故 =

+45°= 3=2yexyexyex2xln2，所以切点为ln22，yex的斜率为2y2x2ln22，yaexexlna的斜率为2y2(xlna2ln22，ylnx的斜率为2y2xln21，ylnxlna的斜率为2y2xln21lna所以ln21lna2lna2ln22则lna3ln23a3

C由图可知点QD填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分100 C98C6C6100 【详解】C98C6C6C98C6C2C310099987495084100

324个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一 【答案】nann1次传球后，所有可能的传球方法总数为3n1.另一类是球不在甲手中，有3n1ann1 因此，a3n1 ，即a a10．a2303,a33336,a4333621,a533332160这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60已知函数f(x)ax2a,g(x)ex，若f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围 a0f(x0g(x)ex，因为ex0f(xg(xa0a0h(xg(xf(xexax2a，要使f(x)g(x)h(x)0恒成立，对hxh(x)exah(x)0，即exa0xlnaxlnah(x0hxxlnah(x0hx所以hxxlna h(lna)elnaalna2aaalna2a3aalna，h(x)0h(x)min0，即3aalna0，a0a得3lna0，即lna3，解得0ae3；a0h(x)exa0恒成立，所以hx在R上单调递增，xex0ax∞hx∞；xexax∞h(x)，xex趋近于0ax为负数且绝对值较大，h(x0a0不符合题意，a0e3.解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a1b1a2b2anbn2（1）ann

1

,

1（2）

1 （1）设等差数列and，由b1b2b364，得到2

d11 （2）由（1）anbnn2，利用乘公比错位相减法求和，得到Tn22n12n，进而证得结论 11

1

1因为a11且bn2，可得b12,b22 ,b32 11

1

1 又因为由b1b2b36422

2

2

d1 a1n11n，即数列a

n,nN 2

1

1 证：由（1）ann，可得bn2anbnn2 1

1

1设Tna1b1a2b2Lanbn1222

32

Ln2 1

1

1

1则2Tn122232Ln2 1

1

1

12Tn22

2

L2

n2 1 1n212

可得T2 2n1

21n 1

因为1

0，可得21n2aba

La

2

1 2 nfxalnxaR求fx在1ega（1）a,a（2）galna,1a1,a（2）a1、1aeaefxfx单调性，由此可得最值点，1

1xa \fxa0x0afx0xafx0\fx在0a上单调递减，在a\fxfa1lna综上所述：当a0fxa0fx的极小值为1lna，无极大值2

f f1a当1aex1afx0xaefx0\fx在1a上单调递减，在aef fa1lna当aefx0在1e上单调递减，f

fea1；a,a1,aAI6ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek4个研发项目进56A、B（1）65个，将其分成四组，再进行全排列，结合分步计数原理，即（2）AB两个团队视为一个整体，将其分成四组，再进行全排列，即可求解165个，有C5541个团队负责，5个团队分为：2，1，1，1四组，有C2种方法，46 由分步计数原理，可得不同的安排方案有C5C2A4610246 2AB两个团队视为一个整体（一个元素54种项目，每个项目至少有一个团队，即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有C2种方法，4种项目进行全排列，有A4 所以共有C2A41024240

1；数列b

12 求数列an和bn设c1n ，求数列c的前n项和S b Mn，数列xnn项和Tn都满足TnMxM13 a

2n

n Sn12n【分析（1）由题意整理得 13a1，根据等比数列的定义，即可得数列a的通项公式， 由（1）得bn2n1，代入可得cn的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案 1 的前n项和T的表 a 式，根据条件，分析即可得证1

n因为 3a1，所以 13a1

a13，所以a13为首项，3

a133n113na13n113n1 则bnlog32an121log(3n)212n1.2由（1）得bn2n则c1n

b

(2n1)(2n

2n 2n1 所以S111111111n 3 5 7 9 2n 2n1

2n3由（1）

3nn13112311n23n133n1123n13n1123n1所以3n123n1,nN*，则 13n 2

1所以数列

项和Tn

1

1

3n3

13n3

n