高中数学必修第2册第十章 综合测试卷A卷（解析版）

第十章概率综合测试卷A卷单选题（每小题5分，共40分）1．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话（）A．正确 B．错误C．不一定正确 D．以上都不对【答案】B【分析】根据概率的定义即可得出选项.【详解】虽然答对一道题的概率为，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.故选：B2．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数.则这个音序中不含宫和羽的概率为.故选：A.3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为0．4．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮中至多两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，312，458，569，683，431，257，393，025，556，488，730，113，537，920．据此估计，该运动员三次投篮中至多两次命中的概率为（）．A．0.25 B．0.35 C．0.85 D．0.90【答案】C【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮有三次全命中的有：312、431、113共3组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】解：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮有三次全命中的有：312、431、113共3组随机数，则运动员三次投篮中至多两次命中的概率为，故选：．4．某班级的班委由包含甲､乙在内的5位同学组成，他们分成两个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，另外一个小组有2位同学，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法求解即可【详解】这五位同学分别记为：甲､乙､､､，分组情况有：(甲乙，)､(甲乙，)､(甲乙，)､(甲，乙)､(甲，乙)､(甲，乙)､(乙，甲)､(乙，甲)､(乙，甲)､(，甲乙)，共种，其中甲和乙不在同一个组的有：(甲，乙)､(甲，乙)､(甲，乙)､(乙，甲).(乙，甲)､(乙，甲)，共6种，所以所求概率为.故选：B.5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（）A．0.27 B．0.31 C．0.42 D．0.69【答案】B【分析】利用条件分析出不能为A型血供血者的血型即可得解.【详解】当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.故选：B6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（）①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】按互斥事件的概念逐个判断即可.【详解】由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.8．甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.多选题（每小题5分，共20分）9．从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为是（）A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5【答案】BD【分析】首先求从1，2，3，4，5中随机选两个数，所包含的基本事件个数，再分别计算选项中的事件所包含的基本事件，再根据古典概型求概率.【详解】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个基本事件，其中两数之差绝对值为2的包含（1,3），（2,4），（3,5）共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率，故A不正确；两数之差绝对值为1包含（1,2），（2,3），（3,4），（4,5）共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率，故B正确；两数之和不小于6包含（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率，故C不正确；两数之和不大于5包含（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查古典概型，重点考查列举法表示随机事件的个数，属于基础题型.10．中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】求出各事件的概率，并结合对立事件的概率公式可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，，，事件与事件为对立事件，且事件、、互斥，，.故选：ABC.【点睛】本题考查事件的概率，涉及互斥事件和对立事件概率公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．已知是随机事件，则下列结论正确的是（）A．若是互斥事件，则B．若事件相互独立，则C．若是对立事件，则是互斥事件D．事件至少有一个发生的概率不小于恰好有一个发生的概率【答案】CD【分析】根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义即可求解.【详解】解：对于A，若是互斥事件，则，故A错误；对于B，若事件相互独立，则，故B错误；对于C，根据对立事件的定义，若是对立事件，则是互斥事件，故C正确；对于D，所有可能发生的情况有：只有A发生、只有B发生、AB都发生、AB都不发生四种情况，至少有一个发生包括：只有A发生、只有B发生、AB同时发生三种情况，故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A发生或只有B发生两种情况，故其概率是50%，故事件至少有一个发生的概率不小于恰好有一个发生的概率，故D正确.故选：CD.12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A． B．事件B与事件相互独立 C．事件B与事件相互独立 D．，互斥【答案】AD【解析】【分析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，由此求出，，，，再一一判断即可得出结论．【详解】解：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此，，，A正确；又，因此，B错误；同理，C错误；，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．【点睛】本题主要考查相互独立事件，互斥事件，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共20分）13．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．【答案】75%【分析】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,则,进而求解即可.【详解】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,因为,所以,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为,故答案为:【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.14．小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．从一堆产品正品与次品都多于2件中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件其中正确的有______填序号．【答案】【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项一一判断，即可得到正确结论．【详解】“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故正确；

“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故正确；

“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，

不是互斥事件但不是对立事件，故不正确；

“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，正确．

故答案为．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件和对立事件的判断，考查判断和分析能力，属于基础题．16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.18．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用古典概率的求解方法进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解.【详解】依题意，设事件表示“第一次取出的是黑球”，事件表示“第二次取出的是白球”.（1）黑球有3个，球的总数为5个，所以.（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为.【点睛】本题主要考查古典概率模型和独立事件的概率求解，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养.19．高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；(2)求射击一次，至少命中8环的概率；(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．【答案】（1）P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59.【分析】（1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案；（2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解；（3）利用对立事件的概率计算公式，即可求解．【详解】设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率的计算问题，其中明确互斥事件和对立的事件的概念和互斥事件和对立时间的概率计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20．某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（2）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先分为互斥的三个事件，再根据独立事件的概率求解；（2）分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.【详解】解：（1）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.所以,,.,,.设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率为.设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则.所以至少有2个元件是一等品的概率为.【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率，考查计算能力与转化能力，属于基础题.21．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）【详解】分析：（1）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．22．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P．【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第十章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[湖南长沙天心校级考试]在某次试验中,事件A,B的概率P(A),P(B)满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(A∪B)=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.32.[河南安阳林州期末]下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定3.甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1,2,5,6,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数是3,4,从乙箱子中随机摸出1个球,则摸出红球的概率为()A.310 B.25 C.354.[山东烟台栖霞期中]已知A,B是两个随机事件,且A⊆B,则下列选项中一定成立的是()A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(A∩B)=P(A)·P(B)C.P(A⋃B)=1-P(D.P(A∪B)=1-P(5.某城市一年的空气质量状况如下表所示:污染指数T不大于30(30,60](60,100](100,110](110,130](130,140]概率P111721其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50<T≤100时,空气质量为良;当100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为()A.118 B.23 C.356.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设事件E表示“取出的3件产品全不是次品”,事件F表示“取出的3件产品全是次品”,事件G表示“取出的3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是()A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()A.45 B.3C.25 D.8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为()A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B)C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.[山西朔州怀仁月考]从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有()A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”10.[河南商丘期末]今年“五一”假期,各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机,积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动,若顾客小王中奖的概率为0.4,顾客小张中奖的概率为0.2,两人中奖与否互不影响,则下列说法正确的是()A.小王和小张都中奖的概率为0.08B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.9211.某次数学考试的一道多项选择题,要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做,下列表述正确的是()A.甲同学仅随机选一个选项,能得3分的概率是1B.乙同学仅随机选两个选项,能得5分的概率是1C.丙同学随机选择选项,能得分的概率是1D.丁同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是112.如图,由A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0<p<1),则()A.甲系统正常工作的概率为8p4B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率三、填空题13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件A={(正,反)},写出事件A的一个互斥事件:.(用集合表示,写出一个即可)

14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有条鱼.

15.某市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60),[60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在[50,60)内的概率为.

16.某自助银行有A,B,C,D四台ATM(自助取款机),在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为13(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为;

(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.[重庆长寿期末]已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球(记为A1,A2,A3)和1个红色小球(记为B),乙盒中是2个黑色小球(记为a1,a2)和2个红色小球(记为b1,b2).(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,共有多少种不同的结果?请列出所有的结果.(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率.18.某班倡议暑假期间每位同学每天至少进行1小时的体育锻炼.为了解同学们的锻炼情况,对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查,调查结果如表:一周锻炼时长/小时56789男生人数/人12434女生人数/人38531(1)试根据上述数据,分别求出这个班男生、女生在该周的平均体育锻炼时长;(2)若从该周锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动,求选到男生和女生各1人的概率.19.[山东滨州期末]某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,甲同学答对每道题目的概率都是0.8,乙同学答对每道题目的概率都是0.7,且甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直到第三次答完为止.(1)求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率;(2)求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率.20.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试.入学面试中有3道难度相当的题目,已知甲答对每道题目的概率都是35,乙答对每道题目的概率都是12.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.(1)求甲第二次答题通过面试的概率;(2)求乙最终通过面试的概率;(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.21.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232(1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游?(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中,随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率.(3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目?22.某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.(1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率.

参考答案第十章综合训练1.A∵P(AB)=0,∴A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7.2.C由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.频率的数值是通过试验完成的,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,故B,D不正确.频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,故C正确.3.C掷到点数为1,2,5,6的概率为46=23,从甲箱子摸到红球的概率为510=12,掷到点数为3,4的概率为24.CA.∵A⊆B,∴P(A∪B)=P(B),A错误;B.∵A⊆B,∴P(A∩B)=P(A),B错误;C.∵A⊆B,∴P(A⋃B)=1-P(B),CD.∵A⊆B,∴P(A∪B)=1-P(A),D5.C空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为1106.D7.D该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15个样本点,b>a包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是3158.A设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,则B1,B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2由于m≠n,故2mn<m2+n2.故P(A)<P(B).故选A.9.AD从1~9中任取三个不同的数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:(1)三个均为奇数;(2)两个奇数一个偶数;(3)一个奇数两个偶数;(4)三个均为偶数.所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.10.ACDA,由题意知,小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08,故A正确;B,小王和小张都没有中奖的概率为(1-0.2)×(1-0.4)=0.48,故B错误;C,小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1-0.2)+(1-0.4)×0.2=0.44,故C正确;D,小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1-0.08=0.92,故D正确.11.ABC甲同学仅随机选一个选项,共有4种情况,分别为选A,选B,选C,选D,随机事件“随机选一个选项,能得3分”中有两种情况选C,选D,故随机选一个选项,能得3分的概率为12,故A正确乙同学仅随机选两个选项,共有6种情况,分别为选AB,AC,AD,BC,BD,CD,随机事件“随机选两个选项,能得5分”只有选CD一种情况,故随机选两个选项,能得5分的概率为16,故B正确丙同学随机选择选项(丙至少选择一项),结合A,B中的分析可知共有15种情况,分别为选择一项:A,B,C,D;选择两项:AB,AC,AD,BC,BD,CD;选择三项或全选:ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD,故丙同学随机选择选项,能得分共有选C,选D,选CD3种情况,故丙同学随机选择选项,能得分的概率为315=15,丁同学随机至少选择两个选项,由C的分析可知,共有11种情况,故丁同学随机至少选择两个选项,能得分只有选CD一种情况,故概率为111,故D错误故选ABC.12.BD甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少一个元件不能正常工作,∴甲系统正常工作的概率为P=1-(1-p2)(1-p2)=2p2-p4,故A错误,B正确;乙系统正常工作的情况为:A1,A2中至少一个元件能正常工作,且A3,A4中至少一个元件能正常工作,∴乙系统正常工作的概率为P=[1-(1-p)2][1-(1-p)2]=p4-4p3+4p2,故C错误;∵0<p<1,∴(2p2-p4)-(p4-4p3+4p2)=-2p2(1-p)213.{(正,正)}同时抛掷两枚质地均匀的硬币,所有可能的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),其中事件{(正,正)},{(反,正)},{(反,反)}与事件A都不可能同时发生,所以事件A的一个互斥事件可以是{(正,正)}.14.750设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n×50=2,∴n=15.710由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,解得a=0.030,b=0.015∵[50,60),[60,70)两段频率比为0.1∶0.15=2∶3,∴按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,从分数在[60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.∴该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,其中,至少有1人的分数在[50,60)内包含的样本点有7个,∴至少有1人的分数在[50,60)内的概率P=71016.(1)16(2)1130(1)该客户需要等待意味着A与B故所求概率为P1=13(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为P2=1317.解(1)共16种不同结果,样本空间Ω={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2,Bb1,Bb2}.(2)记A=“取出的2个小球中至少有一个是黑色”,则A={A1a1,