高中数学必修第2册第六章 综合测试卷B卷（解析版）

第六章平面向量及其应用综合测试卷B卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．下列说法正确的是（）A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．就是所在的直线平行于所在的直线【答案】C【详解】方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，A错；共线向量只要方向相同或相反，表示向量的有向线段不一定在同一直线上，B错；长度等于0的向量是零向量，C正确；就是所在的直线与表示所在的直线平行或重合，D错．故选：C．2．在中，，，，则（）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】在中，因为，，，所以由正弦定理，可得，解得：，因为，可得，则.故选：A.3．已知向量，满足，则（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，则.故选：D．4．已知，分别是的边和的中点，若，，则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图，因为，分别是的边和的中点，.故选：D5．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，依题意，，，，于是得，，在中，，所以塔的高度约为.故选：A6．已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】把△如下图放在直角坐标系中，由于△的边长为1，故，点分别是边的中点，，设，，，，.故选：B.7．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】不妨设中，，边长，边长，以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系则、、,,设，则故可得，故的面积为，的面积为则与的面积之比为故选：C8．已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]【答案】A【详解】建立如图所示的坐标系，到直线的距离，则，的取值范围是，故选A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A． B．C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为【答案】BD【详解】解：，则，故A错误；，故B正确；，又，所以向量与的夹角为60°，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确.故选：BD.10．在平行四边形中，若，则（）A．B．C．D．若【答案】ACD【详解】∵在平行四边形中，，∴分别为AB、AD的中点，∴，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；若，则，又，∴，∴∴，故D正确.故选：ACD.11．下列说法错误的是（）A．若，则存在唯一实数使得B．两个非零向量，，若，则与共线且反向C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D．在中，，则为等腰三角形【答案】AC【详解】对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；对于B：两个非零向量，，若，则，所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．故选：AC．12．已知面积为12，，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C．的值可以为 D．的值可以为【答案】AD【详解】设所对的边为，因为面积为12，故，故.对于A，若，结合为三角形内角可得，故.因为，故，故，故.由正弦定理可得，故，故A正确.对于B，由余弦定理可得，所以即，当且仅当时等号成立.而，故，故，整理得到，而，因为，故，故的最大值为，当且仅当时等号成立，故B错误.对于C，，故，而，故，故C错误.对于D，若，则可得或，若，则，消元后得到：，所以，整理得到，但，故矛盾即不成立.若，则，消元后得到：，所以，整理得到，结合可得，此时，故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，．若，则______．【答案】【详解】解：∵，，∴故答案为：.14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则______．【答案】【详解】由题意知，则，由余弦定理得，即，则.故答案为:.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m.【答案】【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．16．如图，在梯形中，，，，，，（1）________．（2）P是上的动点，则的最小值为___________．【答案】411【详解】（1）由题设知：.（2）若且，∵，，∴，∴，故当时，的最小值为11.故答案为：4，11.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。17．已知，.(1)若与的夹角为，求；(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？【答案】(1)(2)(1)解：(2)解：∵向量与互相垂直，∴，整理得，又，，∴，解得.∴当时，向量与互相垂直.18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且的面积为.(1)求角A；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)(1)因为，所以，由余弦定理得，又，所以.(2)由及正弦定理可得，又的面积为.所以，则，解得：，所以，所以的周长为.19．已知坐标平面内，，，，．(1)当，，三点共线时，求的值；(2)当取最小值时，求的坐标，并求的值．【答案】(1)；(2)，.(1)∵，，，，∴，，∴，当，，三点共线时，有，，解得．(2)∵，，∴，∴当时，取得最小值，此时，∴，，，，∴．20．已知：是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2,4）或（-2，-4）（2）π（3）【详解】解：设，∵，且，∴，解得或，∴或；（2）∵与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为；（3）与的夹角为锐角则，且与不同向共线，，解得：，若存在，使，则，，解得：，所以且，实数的取值范围是．21．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.(1)∵且,∴，即，∴，又，∴；(2)选①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为；②因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.22．在三角形ABC中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．（1）设，，设，求；.（2）求的取值范围；（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）而，．（2）在三角形中，，，，①不妨设，①式，．（3）为线段的中点不妨设,、M、D三点共线．即.第六章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=()A.(-2,-1) B.(2,1)C.(3,-1) D.(-3,1)2.在△ABC中,若A=60°,BC=43,AC=42,则角B的大小为()A.30° B.45°C.135° D.45°或135°3.[2023山东滨州期末]如图,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,AC,BD交于点O,BF=14BO,若AF=xAB+yAD,则A.316 B.-316 C.764 4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为()A.33 B.233 C.35.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(A.-3 B.-2 C.2 D.36.设D为△ABC所在平面内一点,BC=2CD,则()A.AD=-1B.AD=-1C.ADD.AD7.不解三角形,下列问题中有两组解的是()A.a=2,b=3,B=105° B.a=2,b=3,B=35°C.a=2,b=3,A=90° D.a=3,b=2,B=35°8.在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC=23,BM+12CB=0,DC=λDN,若AM·A.18 B.17 C.16二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是()A.(4,-8) B.(8,4)C.(-4,-8) D.(-4,8)10.已知向量a=(1,k),b=(2-k,-3),则下列说法正确的是()A.若k≠3,则{a,b}可以是这个平面内所有向量的一个基底B.若|a-b|=|a+b|,则k=1C.若a2>b2,则k>3D.若k<12,则a与b11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是()A.若acosA=bB.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形12.[2023云南曲靖会泽模拟]在平面直角坐标系xOy中,定义变换T:将点A(x,y)变为点AT(x+y,x-y),下列说法正确的是()A.若AB∥CD,则ATBT∥CTDTB.若AB⊥CD,则ATBT⊥CTDTC.若|AB|=1,则|ATBT|=1D.若∠AOB=60°,则∠ATOTBT=60°三、填空题13.[2023安徽滁州琅琊月考]已知P1(-1,1),P2(2,3),若P1P=-3PP2,则点14.设一条河的两岸互相平行,河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向46m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为m/s.

15.若向量a=(1,1)与向量b=(1,x)的夹角为锐角,则x的取值范围是.

16.在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为θ,求cosθ的值;(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.18.设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=7.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|.19.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.(1)求ba(2)若c2=b2+3a2,求B.20.[2023山西朔州怀仁月考]已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b+c)2=a2+2+152bc.(1)求sinA的值;(2)如图,D为AB上的一点,且AD=2BD,若∠BCD=2∠ACD,B为锐角,求cos∠BCD,sinB的值.21.在△ABC中,内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,且满足cacosB-12b=a2-b2.(1)求角A;(2)若a=3,求b+c的取值范围.22.要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.

参考答案第六章综合训练1.A∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.B由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,则sinB=ACsinABC=42sin60°3.C因为F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,AC,BD交于点O,BF=14BO,所以BF=14BO=14×12BD=18BD=18(AD−4.C将c2=a2+b2-2abcosC与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=12absinC=35.C∵AB=(2,3),AC=(3,t),∴BC=AC−AB∴|BC|=12+(t-即BC=(1,0).则AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选6.B∵BC=2CD,∴AC−AB=2(AD−AC),∴∵由已知可知AB,AC∴AB,AC前边的系数唯一确定.故选7.D选项A中,a<b,B为钝角,只有一组解;选项B中,a<b,B为锐角,只有一组解;选项C中,a<b,A为直角,无解;选项D中,a>b>asinB,B为锐角,有两组解.故选D.8.D建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y),因为AC=23,∠ABC=120°,所以BO=1.因为BM+12CB=0,所以BM=12所以A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(所以AM=332,12,DC=(3,1)=λDN=λ(x,y+1),由题意知故N3λ,1λ-1,所以AN=3λ+3,1λ-1,所以AM·AN=3323λ+3+121λ-9.AD当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).10.BC当a与b不共线,即-3×1-k(2-k)≠0时,解得k≠3且k≠-1,选项A错误;若|a-b|=|a+b|,则a⊥b,所以1·(2-k)+(-3)·k=0,解得k=12,选项B正确若a2>b2,有1+k2>(2-k)2+9,解得k>3,选项C正确;当k=-1时,a与b平行,夹角不是锐角,选项D错误.故选BC.11.AC由acos利用正弦定理可得sinA即tanA=tanB=tanC,即A=B=C,所以△ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理的推论可得cosC=a2+b2-c22ab>0,C12.ABD设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则AT(x1+y1,x1-y1),BT(x2+y2,x2-y2),CT(x3+y3,x3-y3),DT(x4+y4,x4-y4).而AB=(x2-x1,y2-y1),CD=(x4-x3,y4-y3),设y2-y1=m,y4-y3=n,x2-x1=p,x4-x3=q,则AB=(p,m),CD=(q,n),对于A,因为AB∥CD,所以AB∥CD,所以np=mq,而ATBT=(x2+y2-x1-y1,x2-y2-x1+y1)=(p+m,p-m),CTDT=(x4+y4-x3-y3,x4-y4-x3+y3)=(q+n,q-n),所以(p+m)(q-n)-(p-m)(q+n)=2mq-2np=0.所以ATBT∥CTDT,又点AT,BT,CT,DT是4个不同的点,所以ATBT∥CTDT,故A正确;对于B,因为AB⊥CD,所以AB·CD=0,即pq+mn=0,而ATBT·CTDT=(p+m)(q+n)+(p-m)(q-n)=2pq+2mn=0,且向量ATBT与CTDT均不是零向量,所以B正确;对于C,因为|AB|=1,所以|AB|2=m2+p2=1,而|ATBT|2=(而cos∠ATOTBT=O=(=2=12,故D正确故选ABD.13.72,4设P(x,y),由P1(-1,1),P2(2,3),P1P=-3PP2,得(x+1,y-1)=-3(2-x,3-y)可得x+1=-3(2-x),y-1=-3(3-y),解得x=72,y=4.所以点P的坐标为714.10为了使航向垂直河岸,船头必须斜向河的上游,设船在静水中的速度为v1,方向斜向河的上游,河水的速度为v2,方向平行于河岸,指向河的下游.|v2|=2m/s.船在静水中的速度与河水的速度的合速度v垂直于河岸,且|v|=46m/s.则|v1|=(v-v15.(-1,1)∪(1,+∞)设向量a与向量b的夹角为θ,则cosθ=a·因为夹角为锐角,所以0<cosθ<1,即0<1+x2所以x>-1,且(1+x)2<2(1+x2),解得-1<x<1或x>1,故x的取值范围是(-1,1)∪(1,+∞).16.3由AB=DC=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且|AB|=|DC|=2,因为1|AB|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为2,且对角线BD长等于边长的3倍,即BD=3×2=6.设对角线BD与AC交于点E,则CE2=17.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cosθ=a·b|(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=±2218.解(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cosθ=7,于是cosθ=12,故θ=π3,即a与b的夹角为(2)|2a+3b|=|=4=19.19.解(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=2sinA.故sinB=2sinA,所以ba(2)由余弦定理的推论和c2=b2+3a2,得cosB=(1+由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.可得cos2B=12,又cosB>0,故cosB=22,所以B=20.解(1)(b+c)2=a2+2+152bc可化为b2+c2-a2=152bc,由余弦定理得cosA=b2∵A∈(0,π),∴sinA=1-(2)设∠ACD=θ,由∠BCD=2∠ACD可得∠BCD=2θ.在△ADC中,由正弦定理得2c3sinθ=CDsinA,得2在△BCD中,由正弦定理得c3sin2θ=CDsinB,可得cCD=3sin2θsinB,可得又因为sinθ>0,所以sinB=co