4.1数列的概念（2）B提高练（解析版）

4.1数列的概念（1）-B提高练一、选择题1．在数列中，，，则（）A． B． C． D．3【答案】A【详解】∵，，∴，，，.∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.2．已知数列，它的前n项和，则的值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【详解】，故选：A3．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】结合图象易知，，，，.4．数列的，且，则（）A． B． C．100 D．【答案】D【详解】因为，所以，即，所以，，，，，所以，所以，又，所以.故选：D5．（多选题）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：ABC.6.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022【答案】BCD【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.二、填空题7．已知数列的前项和为，且，，则______．【答案】，【详解】因为数列的前项和为，且，，当时，；又不满足上式，所以，.8．在数列中，，若，则_________.【答案】8【详解】当为偶数时，由得，解得符合；当为奇数时，由得，即，令，，在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示：由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程只有一个根，且，所以由得，由可知，所以不满足题意.综上，.9．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.【答案】8【详解】令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以取得最小值时的值为8.10．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为________.【答案】1347【详解】由题意可得，所以数列，所以数列是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1，所以数列的前2020项和为.三、解答题11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,求a【详解】由题意,得an+1-an=lnn+1∴an-an-1=lnnn-1an-1-an-2=lnn-…a2-a1=ln21∴当n≥2时,an-a1=ln(nn-1·n-1n-2·…·21)=lnn,∴当n=1时,a1=2+ln1=2,符合上式,∴an=2+lnn(n∈N*).12．设数列的前项和为，且方程有一根为（1）求、；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）时，有一根，于是，解得.时，有一根，于是，解得.（2）由题设，得，即①当时，，代入①得.②由于（1）知.由②可，由此猜想,A级必备知识基础练1.[探究点一]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为()A.5 B.6 C.7 D.82.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=1n,则a6的值等于(A.120 B.-120 C.130 D3.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=()A.52 B.68 C.96 D.1084.[探究点二]已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是()A.2n-1 B.nC.n2 D.n5.[探究点一](多选题)已知数列{xn}满足x1=a,x2=b,xn+1=xn-xn-1(n≥A.x2020=a B.x2022=a-bC.x11=x2021 D.x1+x2+…+x2020=2b-a6.[探究点一]若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=.

7.[探究点二]根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*);(2)a1=1,an+1=an+ann+1(n∈(3)a1=-1,an+1=an+1n(n+1)(nB级关键能力提升练8.已知数列{an},an+1=11-an,a1=3,则a2022A.23 B.3 C.-12 D9.在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于()A.259 B.2516 C.6116 10.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式a11.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=nn+1an,则数列{an}的最大项是12.已知数列{an}满足an+1=2若a1=67,试求a2021+a2022C级学科素养创新练13.在数列{an}中,a1=35,an+1=an+1,0<anA.15 B.35 C.65 14.已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=.

1.D因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.2.Da6=S6-S5=16−15=-13.B由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.4.D(方法1构造法)由已知整理,得(n+1)an=nan+1,∴an+1n+1=ann,∴数列ann是常数列(方法2累乘法)当n≥2时,anan-1=nn-1,an-1an-2=n-1n-当n=1时,an=n也成立,所以an=n.5.BCDx1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b,x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,∴{xn}是周期数列,周期为6,∴x2020=x4=-a,A不正确;x2022=x6=a-b,B正确;x2021=x5=x11,C正确;x1+x2+…+x2020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正确.6.194∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,解得a7=17又a7=2a6-1=172,解得a6=197.解(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(n∈N*).(2)a1=1,a2=32,a3=42=2,a4=猜想an=n+12(n∈N*(3)a1=-1,a2=-12,a3=-13,a4=-14.猜想an=-1n(n∈8.A由题意,可知:a1=3,a2=11-aa3=11a4=11-a5=11-a…∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.∵2022÷3=674,∴a2022=a3=239.C由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1a2a3a4a5=52,则a3=3222=94,a5=524210.1n把(n+1)an+12-nan2+an+1an=0分解因式,得[(n+1)·an+1-nan](an+1+an)=0∴an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0,∴an+1an=nn+1,∴a2a1·a3a又a1=1,∴an=1na1=1n.又a1=1也适合上式,∴an=1n,n∈11.a1因为a1>0,且an+1=nn+1an,所以an>0,所以an+1an=nn+1<1,所以an+12.解∵a1=67∴a2=2a1-1=57∴a3=2a2-1=37∴a4=2a3=67∴数列{an}是周期数列,且周期为3.∴a2021+a2022=a673×3+2+a674×3=a2+a3=5713.A由题意可得a1=35,a2=a1+1=85,a3=|2a2-3|=