山西省晋中市2026年5月高三年级模拟高考测试（晋中三模）数学+答案

7.已知a>0且a≠1,若函数的值域为R,则a的取值范围为

AB.[√2,2]C.(√2,+∞)D.(2,+∞)

8.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点，过点A,B分别

向C的准线作垂线，垂足为A',B',若,AB中点的纵坐标为2,则C的方

程为

A.y²=3x或B.y²=4x或

C.y²=6x或D.y²=8x或

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正整数数列{an}满足且a₄=4,则{an|的前4项和S₄的值

可以是

A.11B.22C.33D.44

10.已知双曲线(的左、右焦点分别为F₁,F2,0为坐标原点，以OF₂

为直径的圆与C的两条渐近线分别交于点A,B(均与点0不重合),若,则下

列结论正确的是

A.IAF₁I-IAF₂I=2aB.IAF₂I=b

C.C的离心率e≥√2D.若C的焦距为2,则OA·

11.已知函数f(x)=ax³-3x²+3,则

A.x=0是f(x)的极大值点

B.当-1<a<0时，f(a)<f(a-1)

C.3a∈R,使得点(1,f(1))是曲线y=f(x)的对称中心

D.3a∈R,使得Vb∈R,直线与曲线y=f(x)均只有一个公共点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(√3,1),1bl=√3,la+2bl=2,则a与b的夹角为

13.已知函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)是偶函数，f(x+1)=-f(3-x),f(1)=1,则3f(3)+

4f(4)+5f(5)=·

14.如图，点A,B,C是函数f(x)=sin(wx+φ)(w>0)的图象与直线的相邻的三个交点，

是f(x)的图象与y轴的交点，若,则

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

(1)求C;

(2)若2(c²-b²)=ab,b=2,求△ABC的面积.

16.(15分)

已知椭圆(a>b>0)的上、下焦点F₁,F₂与左顶点A是等腰直角三角形的三

个顶点，且C过点(√2,2).

(1)求C的方程；

(2)过点且不与坐标轴垂直的直线交C于P,Q两点，求证：AP⊥AQ.

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17.(15分)

“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性

转变.某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到

如下的统计表：

类型医疗机器人特种机器人表演机器人服务机器人工业机器人

人数1040301010

(1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人.

(i)分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数；

(ii)再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为X,关注“表演

机器人”的人数为Y,设Z=1X-YI,求Z的分布列.

(2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为

若输人n次动作指令，其能准确完成指令的次数为W,记事件W=k(k=0,1,2,…,n)的

概率为P(W=k),假设每次输入指令相互独立，且n≥8,则当n为何值时，P(W=8)的

值最大?

18.(17分)

已知函数

(1)若a=1,求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)设函数g(x)=f(x)-f(a).

(i)讨论g(x)的零点个数；

(ii)若a∈(0,1),g(x)的较大零点为x₀,证明：xo<2-a.

19.(17分)

如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD=4√2,E为AB的中点，连

接DE,将△ADE沿DE折起到△P,DE(n∈N·)的位置，得到四棱锥Pn-BCDE.

(1)求证：DE⊥CP.

(2)设二面角Pₙ-DE-C的平面角为θn,且

(i)求直线BD与平面P₃DE所成角的正弦值；

(ii)求四面体P。-Pn+IDE体积的最大值.

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2026年5月高三年级模拟高考测试

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案A

命题透析本题考查集合的运算.

解析由题可知CRB={xlx<2},则A∩(CB)={-2,-1,0,1}.

2.答案C

命题透析本题考查复数的运算.

解析因为(1+i)z=1,所以i,则

3.答案D

命题透析本题考查经验回归方程.

解析经验回归直线多=bx+0.3一定经过点(x,y),即0.8=56+0.3,解得b=0.1.

4.答案B

命题透析本题考查空间线线位置关系及充分必要条件的判断

解析直线与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱所成的角相等，即与同一顶点出发的三条棱所成的角相等，显然

四条体对角线满足条件.因此，m//n时，由等角定理可知结论成立，即必要性成立.反之，m,n可能平行、相交、

异面，充分性不成立.故选B.

5.答案C

命题透析本题考查等差数列的基本量计算.

解析设{a}的公差为d.由题可知,则a₃=0,a₅-2a₂=(a₃+2d)-2(a₃-d)=12,

解得d=3.因为所以,即是公差为的等差数列，所

6.答案B

命题透析本题考查二项式定理的应用.

解析的展开式的通项为,所以含有的项的系数为-C³×2³-C6×2²=

-160-60=-220.

—1—

7.答案D

命题透析本题考查函数的性质.

解析当x≤a时，单调递增，则f(x)≤f(a)=1,当x>a时，f(x)=log(x+a)-1,要使函数

f(x)的值域为R,则需f(x)在x>a时的值域包含(1,+∞),故需满足解得a≥2.

8.答案C

命题透析本题考查抛物线的方程与性质.

解析由题可知,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则两式相减得,则直

线AB的方程为,令y=2,得,由抛物线的定义可知IAA'I+IBB'I=x₁+

,即,解得,故C的方程为y²=6x或

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.答案AC

命题透析本题考查数列的递推关系及前n项和.

解析因为a₃=8或a₃=1.当时，a₂=2,a₁=4,此S₄=11;当

a₃=8时，a₂=16,a₁=5或a₁=32,此时S₄=33或S₄=60.故选AC.

10.答案BCD

命题透析本题考查双曲线的几何性质.

解析对于A,若IAF₁I-IAF₂I=2a,则A应在C的右支上，而已知中A不在C上，故A错误；

对于B,因为0F₂为直径，所以OA⊥AF₂,直线OA的方程为bx-ay=0,故1,故B正确；

对于C,设C的半焦距为c(c>0),由题可知,在△A0F₂中，

,解得e≥√2,故C正确；

对于D,若焦距为2,则c=

,当时取等号，故D正确.

—2—

11.答案ACD

命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析对于A,由题可知，f'(x)=3ax²-6x=3x(ax-2),当a=0时，f'(x)=-6x,易知x=0是f(x)的极大值

点，当a≠0时，令f'(x)=0,得,当a>0时，f(x)在(-∞,0)上单调递增，上单调递减，在

上单调递增，当a<0时，f(x)在上单调递减，不上单调递增，在(0,+∞)上单调

递减，两种情况x=0均是f(x)的极大值点，故A正确；

对于B,当-1<a<0时，由A可知上单调递增，又因为,-2<a-1<-1,所以f(a-1)<

f(a),故B错误；

对于C,f"(x)=6ax-6,若曲线y=f(x)存在对称中心，则a≠0,令f"(x)=0,得,即存在a=1,使得点

(1,f(1))是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；

对于D,若直线与曲线y=f(x)只有一个公共点，则方程.只有一个实根，令

,则,由△=0,可得a=2,此时g'(x)≥0,g(x)在R上单调

递增，故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.答案

命题透析本题考查向量的数量积及夹角的计算.

解析由题可知lal=2,Ibl=√3,la+2bl²=(a+2b)²=a²+4b²+4a·b=4,解得a·b=-3,cos<a,b>=

13.答案2

命题透析本题考查函数的奇偶性.

解析由f(2x+1)是偶函数，可知f(x+1)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，由f(x+1)=-f(3-x),

可知f(x)的图象关于点(2,0)对称，故T=4是f(x)的周期.由f(1)=1,f(2)=0,可得f(3)=-1,f(5)=f(1)=1,

f(4)=f(2)=0,因此3f(3)+4f(4)+5f(5)=2.

14.答案

命题透析本题考查三角函数的图象与性质.

解析,可得,k∈Z,由题图可知,wxB+

,所以I,因为,故w=4.因为.,即sinφ=

,又因为点D在单调递减区间上，所以φ可取则,从而

—3—

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题透析本题考查解三角形.

解析(1)由A+B+C=π,可得

则有

由正弦定理及倍角公式有……………(3分)

而,sinB≠0,所以有

则·.……………(6分)

(2)由余弦定理有c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab,则c²-b²=a²-ab,

故2(c²-b²)=2(a²-ab)=ab,解得2a=3b,(9分)

又因为b=2,所以a=3,

故△ABC的面积.……………………(13分)

16.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系.

解析(1)由△AF₁F₂是等腰直角三角形，可得,故a²=2b².………………(2分)

由C过点(√2,2),不,解得a²=8,b²=4,………(4分)

故C的方程…………………(5分)

(2)由题可知，l的斜率存在且不为0,设其方程为

与C的方程联立可得…………………(8分)

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则,……(10分)

由(1)可知A(-2,0),所以AP=(x₁+2,y₁),AQ=(x₂+2,y₂),…………(11分)

又因为

故AP·AQ=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

=0,

从而有AP⊥AQ(15分)

(垂直证明不体现计算过程扣3分)

—4—

17.命题透析本题考查概率的计算及随机变量的分布列.

解析(1)(i)由题可知，抽取的10人中，关注“特种机器人”的有人，关注“表演机器人”的有

人.………………(3分)

(ii)Z的所有可能取值为0,1,2,3,

……………(7分)

则Z的分布列为

Z0123

P

………………(8分)

(2)由题可知，1,故,n≥8.………………(10分)

,则……………(12分)

,可得n<9,,可得n>9,,可得n=9,

所以n=9或n=10时，P(W=8)取得最大值.……………(15分)

18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析(1)当a=1时，

贝,f'(1)=0,…………(2分)

又因为.

所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为,即…………(4分)

(2)(i)由题可知，f(x)与g(x)的定义域均为(0,+∞),故a>0.

—5—

令g'(x)=0,可得x=a或x=1(6分)

若0<a<1,则当x∈(0,a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(a,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈

(1,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

g(a)=0,g(1)<g(a)=0,又x→+∞时，g(x)→+∞,

所以存在x₁∈(1,+∞),使得g(x₁)=0,此时共有两个零点；……………(8分)

若a=1,则,g(x)单调递增，此时g(a)=g(1)=0,有一个零点；…(10分)

若a>1,则当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1,a)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(a,+∞)

时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

g(a)=0,g(1)>g(a)=0,又x→O+时，g(x)→-∞,

所以存在x₂∈(0,1),使得g(x₂)=0,此时共有两个零点.

综上，当0<a<1或a>1时，g(x)有两个零点，当a=1时，g(x)有一个零点.…………(12分)

(ii)由a∈(0,1),可知2-a>1.

由f(x)在(1,+∞)上单调递增，可知即证f(x。)=f(a)<f(2-a).……(13分)

即证h(a)<0,也即证2(a-1)+In(2-a)-Ina>0.

令t(a)=2(a-1)+In(2-a)-Ina,则

故t(a)在(0,1)上单调递减.………………(16分)

又t(1)=0,所以t(a)>t(1)=0,得证.…………………(17分)

19.命题透析本题考查空间垂直关系的证明，线面角与几何体的体积计算.

解析(1)如图，设DE的中点为0,连接OC,OP.

因为AE=DC=AD,且AE//DC,所以四边形ADCE是菱形.

在△P,DE中，有OP⊥DE,在△CDE中，有OC⊥DE,

又OP.nOC=0,故有DE⊥平面OCP,则DE⊥CP.……………………(4分)

(2)(i)由(1)知，DE⊥平面OCP,作Oz1平面BCDE,又OC⊥0E,所以分别以直线OE,OC,Oz为x,y,z轴

建立空间直角坐标系Oxyz,则E(2,0,0),D(-2,0,0),B(4,2,0)(5