《函数的极值与最大（小）值》课件

第五章35.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大（小）值学习目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最（大）小值的关系.核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、数学建模新知学习在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

函数极值的概念

典例剖析

200单调递增单调递减单调递增

极大值一定大于极小值吗？思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

（1）

（2）

（3）

（4）

10单调递减0单调递增

0单调递减单调递增

问题饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

随堂小测

①②

4

（2）该商场2019年第5个月的月利润最大，最大月利润为3125元.课堂小结

12345678910111213141516A级必备知识基础练171.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(

)A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19C解析

f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.12345678910111213141516172.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:A.6h B.7h C.8h D.9hC6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当

t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究点四]当0<x<1时,f(x)=,则下列大小关系正确的是(

)A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)D12345678910111213141516175.[探究点一(角度2)]函数f(x)=(x+1)ex的最小值是

.

解析

函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为12345678910111213141516176.[探究点二(角度2)·2023山东东营期末]若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是

.

(-1,2]解析

由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减,12345678910111213141516177.[探究点三]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式;(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?解

(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).1234567891011121314151617(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1

340可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1

340.即该企业的产量为15

t时,可获得最大利润,最大利润为1

340万元.B级关键能力提升练12345678910111213141516178.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(

)A.30元

B.60元 C.28000元

D.23000元D解析

设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8

300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11

700p-166

000,所以L'(p)=-3p2-300p+11

700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23

000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23

000元.12345678910111213141516179.函数f(x)=6-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为(

)A.-46 B.-35 C.6

D.5B(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B.123456789101112131415161710.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(

)A.-13 B.-15 C.10

D.15A解析

对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.123456789101112131415161711.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(

)A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]D解析

∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减1234567891011121314151617由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<-3时,f(x)>f(-3)=1.又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,∴a的取值范围为[-3,0].故选D.123456789101112131415161712.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是

.

(-4,-2)123456789101112131415161713.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是

.

[4,+∞)h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.123456789101112131415161714.已知函数f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在[,e]上的最大值.12345678910111213141516171234567891011121314151617解

(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2+3x+2,x∈R,f'(x)=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3),当x<-1或x>3时,f'(x)<0,当-1<x<3时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,因此当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=,当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=11,所以f(x)的极小值为

,极大值为11.12345678910