5.1.2导数的概念及其几何意义A基础练（解析版）

5.1.2导数的概念及其几何意义-A基础练一、选择题1．若（m为常数），则等于（）A． B．1 C．m D．【答案】D【详解】由题意，根据导数的概念可得，，所以.2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，又，所以.3．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】直线经过，两点，.直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，所以.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1，1) B．(－1，1)C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)【答案】C【详解】因为y＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).5．（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.【答案】ACD【详解】A在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确.6．（多选题）下列命题正确的是（）A．若，则函数在处无切线B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点C．曲线在处的切线方程为，则当时，D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为【答案】BD【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；因为曲线在处的切线方程为，所以又，故选项错误；因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确．二、填空题7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.【答案】2【详解】∵f′(1)＝2，又eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴eq\f(b,a)＝2.8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．【答案】2【详解】由图像的信息可知．9．已知曲线y＝f(x)＝eq\r(x)，y＝g(x)＝eq\f(1,x)，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．【答案】(1，1)；x－2y＋1＝0【详解】[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴两曲线的交点坐标为(1，1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．【答案】2【详解】由导数的定义，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(a·Δx＋b)＝b.因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a＞0，))所以ac≥eq\f(b2,4)，所以c＞0，所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.三、解答题11．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）倾斜角为．【详解】设点P的坐标为，则，∴当趋于0时，．（1）∵切线与直线平行，∴，即，∴，，即．（2）∵切线与直线垂直，∴，即，∴，，即．（3）∵切线的倾斜角为，∴，即，∴即，即．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．【详解】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,3)))eq\s\UP10(2)－9－eq\f(a2,3)≥－9－eq\f(a2,3).由题意知f′(x)的最小值是－12，∴－9－eq\f(a2,3)＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.A级必备知识基础练1.[探究点四(角度1)]若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则()A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在2.[探究点三](多选题)若函数f(x)=3x3+2x2+x+1在x=x0处存在导数,则limℎ→0A.与x0有关 B.与h有关C.与x0无关 D.与h无关3.[探究点二]已知f(x)=-23x2,若f'(a)=13,则a的值等于(A.-14 B.1C.-49 D.4.[探究点二]若limΔx→0f(x)-f(x+ΔxA.2x B.13x3 C.-x2 D.3x5.[探究点四(角度2)](多选题)曲线y=9x在点P处的切线的倾斜角为3π4,则点PA.(3,3) B.(-3,-3)C.(9,1) D.(1,9)6.[探究点二]设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=.

7.[探究点四(角度2)]已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)f'(b).(填“<”或“>”)

8.[探究点四(角度1)]曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是.

9.[探究点二]利用导数的定义求函数y=f(x)=x+2在x=2处的导数10.[探究点四(角度1)]已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处的切线的方程.B级关键能力提升练11.若曲线y=x+1x上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(A.(-∞,-1) B.(-1,1)C.(-∞,1) D.(1,+∞)12.已知函数f(x)在R上有导函数,f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是()A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)13.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率14.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应率(单位时间的供应量)不逐步提高的是()15.曲线f(x)=2x在x=-2处的导数为,在点(-2,-1)处的切线方程为.16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=.

17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为.

18.已知直线y=4x+a和曲线y=f(x)=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.C级学科素养创新练19.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.1.A由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.2.AD由导数的定义与函数f(x)=3x3+2x2+x+1知,f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关,故选AD.3.A由导数的定义得f'(x)=lim=lim=limΔx→0因此f'(a)=-43a=13,则a=-4.C由导函数的定义可知,f'(x)=lim=-limΔx→5.AB由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0[-9x(x+Δx)]=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-6.af'(x0)=limΔx→0f(x7.>f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).8.4x+y-2=0因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),所以斜率k=y'x=-1=limΔx→0(-1+Δx)2-2(-1+Δx)+3-(1+2+3)9.解∵Δy=(2+Δx)∴f'(2)=limΔ10.解(1)由题意得,割线AB的斜率为ΔyΔx=f(由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=limΔx→0ΔyΔx=lim又f(2)=-2,所以所求切线方程为y+2=-3(x-2),即y=-3x+4.11.C设P(x0,y0),曲线y=x+1x上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=limΔx→0(x0+Δx)+1x12.A如图,分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,l2,l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f'(a)=k1,f'(b)=k2,f'(c)=k3,所以f'(a)<f'(b)<f'(c).故选A.13.AD∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a14.ACD15.-12x+2y+4=0f'(-2)=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)Δx=limΔ16.-1∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.17.4y'=limΔx→0Δy