4.4数学归纳法 B提高练（学生版）

4.4数学归纳法-B提高练一、选择题1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A． B． C． D．2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A． B．C． D．3．已知，则（）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（）A． B．C． D．5．用数学归纳法证明：的过程中，从到时，比共增加了（）A．1项 B．项 C．项 D．项6.（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（）A.；B.；C.对任意正数，都存在正整数使得成立；D..二、填空题7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______________.9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.三、解答题11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．A级必备知识基础练1.[探究点一·2023福建福州检测]用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3+…+13nA.13B.1C.13D.12.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=()A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+2k+1k+1 D.f(3.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时也成立,则下列判断中正确的是()A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立4.[探究点一](多选题)对于不等式n2+n≤n+1(n∈①当n=1时,12+1≤1+②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k<k+1,则n=k+(k2+3k+2)+(k关于上述证明过程的说法正确的是()A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.[探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.

6.[探究点四]在数列{an}中,a1=12,an+1=3(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数f(n)=n(B级关键能力提升练9.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1314A.增加了12B.增加了12C.增加了12D.增加了110.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是()A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立12.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为.

13.是否存在a,b,c使等式1n2+2n2+3n2+14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1(fn((1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.C级学科素养创新练16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,….(1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题;(2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题.1.D当n=k时,不等式的左边等于1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1,且k∈N*,当n=k+1时,不等式的左边等于1k+2故选D.2.B由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1),则f(k+3.AD由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.4.BCDn=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.34(34k+2+52k+1)-56·52k+134(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.6.(1)解由a1=12,an+1=3anan+3,得a2=3a1a1+3=(2)证明①当n=1时,a1=12=3②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=3k+5,那么,当n=k+1时,ak+1=3a由①和②可知对任意n∈N*,都有an=3n+57.证明①当n=5时,25=32,52=25,显然25>52,所以此时命题成立.②假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k>k2.因为k≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式当n=k+1时也成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.8.证明①当n=2时,两条直线只有一个交点.而f(2)=1,命题成立.②假设当n=k(k≥2)时,命题成立,即f(k)=k(k-1)2.那么,当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点.即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1由①②知,对于n≥2原命题成立.9.D当n=k时,1k+1+1k+2+…+1k+k>1314,当n=k+10.C依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.AD选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.12.A=4(5k+3k-1)因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1).13.解取n=1,2,3可得a解得a=13,b=12,c=下面用数学归纳法证明1n2+2n即证12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3),由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=13,b=12,c=114.证明①当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,当n=k+1时,因为α>-1,所以1+α>0.根据假设知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因为kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.这表明,当n=k+1时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数n都成立.15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=f1(x)1+f12(x)=x1+2x2,f猜想:fn(x)=x1+nx2(n∈(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=x1+nx2(n①当n=1时,f1(x)=x1+x2②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=x1+kx2,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=x1+kx2结合①②可知,猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈1