5.2.1基本初等函数的导数B提高练（解析版）

5.2.1基本初等函数的导数-B提高练一、选择题1．已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由求导公式可知.2．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因此，.3．已知函数，则（）A． B． C．1 D．3【答案】B【详解】∵，∴，∴。4．记函数表示对函数连续两次求导,即先对求导得,再对求导得,下列函数中满足的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】；；；，综上可知，只有满足，故选C.5．（多选题）下列求导过程正确的选项是（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由，可知A错误；由，可知B正确；由，可知C正确；由，可知D错误；故选：BC6.原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A．12贝克 B．12ln2贝克 C．6贝克 D．6ln2贝克【答案】A【详解】，所以，，(贝克).二、填空题7．已知函数且，为的导函数，且满足，则____________.【答案】【详解】，，.8．能说明“若为偶函数，则为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】(答案不唯一)【详解】若，则是偶函数，但，所以不是奇函数；能满足“若为偶函数，则为奇函数”为假命题.9．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r).相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝_______(写出关于r的表达式).【答案】【详解】由题意有：，因为,所以，则.10．已知函数，则_____________【答案】【详解】∵，∴∴.三、解答题11．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【详解】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．12.已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程．【解析】，，设两曲线交点的横坐标为，由已知得解得，．所以两曲线交点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列结论中,正确的是()A.若y=1x3,则yB.若y=3x,则y'=C.若y=1x2,则y'=-2xD.若f(x)=3x,则f'(1)=32.[探究点三(角度2)]若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为()A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(-1,0) D.(-1,0)∪(2,+∞)3.[探究点四·2023宁夏银川兴庆月考]若函数f(x)=alnx-bx的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则a2+b2的最小值为(A.12 B.22 C.32 4.[探究点三(角度3)]已知函数y=f(x)的图象经过点A(1,3),且f'(1)=5,请写出一个符合条件的函数表达式:f(x)=.

5.[探究点三(角度1)]已知函数f(x)=f'(π4)cosx+sinx,则f(π4)的值为6.[探究点二]求下列函数的导数:(1)y=5x(2)y=log2x2-log2x;(3)y=cosx(4)y=-2sinx2(1-2cos2x4B级关键能力提升练7.已知曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1))处切线的倾斜角为3A.1 B.-1C.7 D.-78.已知曲线f(x)=(x+a)·lnx在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则实数a等于()A.12 B.1 C.-32 D.9.(多选题)已知函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x),则()A.f'(x)为偶函数 B.f'(x)为奇函数C.f'(0)=1 D.fπ2+f'10.(多选题)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是()A.f(x)=x2 B.f(x)=e-xC.f(x)=lnx D.f(x)=tanx11.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是12.已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出条f(x)图象的切线.

13.已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=lnx的切线,则a=,b=.

C级学科素养创新练14.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下两个条件:(1)其图象在闭区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),其中ξ称为拉格朗日中值.函数g(x)=lnx+x在区间[1,2]上的拉格朗日中值ξ=.1.ACD由(xα)'=αxα-1知,y=1x3=x-3,则y'=-3x-4=-3x4,选项A正确.y=3x=x13,则y'=13x-23≠3x3,选项B错误.y=1x2=x-2,则y'=-2x-3,选项C正确.由f(x)=32.B∵f(x)=x2-2x-4lnx,∴f'(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x(x>0),f'(x)=2x2-2x-4x>03.A因为f'(x)=ax+bx2,所以f'(1)=a+b=1,又a2+b2≥(a+b)4.5x-2(答案不唯一)可设f(x)=ax+b(a≠0),则f'(1)=a=5,又函数y=f(x)的图象经过点A(1,3),则a+b=3,所以b=-2.所以f(x)=5x-2.5.1∵f'(x)=-f'(π4)sinx+cosx,∴f'(π4)=-f'(π4)×22+22,得f'(π4)=2-1.∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,6.解(1)y'=(x35)'=(2)∵y=log2x2-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=1x(3)(方法1)y'=(1x·cosx)'=(1x)'cosx+1x(cosx)'=(x-12)'·cosx-1xsinx=-12xsinxx=-(方法2)y'=(cosxx=(=-=-xsinx+(4)∵y=-2sinx2(1-2cos2x4)=2sinx2(2cos2x4-1)=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx7.C∵f'(x)=2x∴f'(1)=3-a4,又f'(1)=tan3π4=-8.C因为f(x)=(x+a)·lnx,x>0,所以f'(x)=lnx+(x+a)·1x,所以f'(1)=1+a.又因为曲线在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,所以f'(1)=-12,所以a=-9.AC因为函数f(x)=xcosx的导函数为f'(x)=cosx-xsinx,所以f'(x)是偶函数,故A正确,B错误;f'(0)=cos0-0sin0=1,故C正确;fπ2+f'π2=π2cosπ2+cosπ2−π2sinπ2=0+0-10.AC若f(x)=x2,则f'(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故A符合要求;若f(x)=e-x,则f'(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,B不符合要求;若f(x)=lnx,则f'(x)=1x,若lnx=1x,在同一直角坐标系内作出函数y=lnx与y=1x的图象可知两函数的图象有一个交点,可知方程有解,C符合要求;若f(x)=tanx,则f'(x)=sinxcosx'=1cos2x,即sinxcosx=1,变形可得到sin11.21∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),∴ak+1=12ak,即数列{ak}是首项a1=16,公比q=12的等比数列,∴a3=4,a5=1,∴a1+a12.2设切点坐标为(x0,x03-4x0),由f(x)=x3-4x,得f'(x)=3x2-4.所以f'(x0)=3x02-4,因此切线方程为y-(x03-4x0)=(3x02-4)·(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2x03+3x02=0,解得x0=0或x0=-3213.18-1由y=lnx,得y'=1x.因为直线y=x+b是曲线y=lnx的切线,所以1x=1,解得x=1,所以y=ln1=0,即切点为(1,0),所以0=1+b,解得b=-1,即y=x+b=x-1.由y=ax2+1,得y'=2ax,因为直线y=x-1是曲线y=ax2+1的切线,所以2ax=1,解得x=12a,所