10.5 分式方程（第1课时 分式方程的概念）教学设计

2/210.5分式方程第1课时教学设计1.教学内容本课基于苏科版八年级下册第十章《分式》10.5分式方程第1课时，核心知识点是分式方程的概念及判定标准，分式方程“去分母—化整—验根”的基本思想与操作步骤。2.内容解析本节课通过“服装加工”“两位数互换”等熟悉情境，引出含未知数的分母，从而形成“分式方程”概念；再借助对比一元一次方程，突出分式方程“分母含未知数”的本质特征。随后选取可化为一元一次方程的典型例题，强调“最简公分母去分母—转化为整式方程—验根”的解题流程，渗透“转化与化归”思想。知识价值体现在：

①帮助学生完成从“分式”到“分式方程”的认知迁移；

②培养从实际问题抽象、建模、检验的数学建模能力；

③为后续学习“可化为一元二次方程的分式方程”及“分层函数”奠定解题方法基础。

教学重点是概念判定与去分母转化，难点是对“最简公分母”的选择及舍去增根的验根意识。全课以问题情境—探究归纳—例题训练—反思提升为主线，层层递进、突出学以致用。1.教学目标•能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程。•掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会转化和化归思想。2.目标解析•能说出分式方程的定义；

•给出5个含分式的方程，能准确判断其是否为分式方程并说明理由；

•能把“服装加工”“两位数互换”等情境正确转化为分式方程。

•面对20x=24x+1、3x-1-2x=0等典型题，能够：

①选取最简公分母并正确去分母；

②解得一元一次方程并做验根；

③解释“增根”产生的原因，能判断并剔除增根；

•3.重点难点•教学重点：分式方程概念及其判定方法，去分母并转化为一元一次方程的步骤与原因。•教学难点：正确确定最简公分母并全面去分母，增根的产生原因及验根环节的必要性。学生已系统学习了一元一次方程、分式及其运算，具备基本的化简、通分能力，对“等量关系列方程”也较熟悉。因此：

•识别“分母含未知数”这一概念认知较易建立；

•去分母操作与一元一次方程求解属于迁移学习，学生能较快掌握。

但存在两大易错点：忽视整式项也应同时乘最简公分母，导致去分母不完整；缺乏验根意识，易把增根误认为真根。此外，实际情境建模（如时间、速度、商品等量关系）对部分学生仍具挑战，需要通过多样化情境与小组讨论来降低抽象难度，强化模型思想。创设情景，引入新课问题情境：情景引入问题甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．怎样用方程来描述其中的等量关系？分析：设甲每天加工服装x件，加工服装20件用＿＿天．乙每天加工服装＿＿＿＿件，加工服装24件用＿＿＿天．甲、乙所用的时间相同，根据这个相等关系，可得方程_________．解：20x，(x＋1)，24x+1,【设计意图】通过“服装加工”“数字换位”两则贴近生活的故事，将学生熟悉的“速度×时间=路程”与“数字组成”自然过渡到含未知数分母的方程，让学生在自主填空与比较中发现“新面孔”，激发探究欲望，明确本节课的学习方向——认识并解分式方程。探究点：分式方程的概念1.讨论交流一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是74分析：设十位数字是x，则原两位数是＿＿＿＿，个位数字与十位数字互换后的两位数是＿＿＿＿．由新两位数与原两位数的比值是74解：10x＋4，4×10＋x，4×10＋x教师提问：20x=24x+1和4×10＋学生思考：分母中都含有未知数。教师总结：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2.新知巩固下列方程中哪些是分式方程？为什么？(1)x－12＝1；(2)xx－2＝(4)x2x＝8；(5)xπ－1＝1；(6)提示：①根据分式方程概念中的条件，判断方程中分母是否含未知数．②判断一个方程是不是分式方程，不能对方程进行约分、通分等变形，也不能用等式性质变形.③π是常数，不是未知数.解：（2）（4）是分式方程，4.典例分析例1解方程：20x＝解：方程两边同乘x(x＋1)，得20(x＋1)＝24x．解这个一元一次方程，得x＝5．把x＝5代入原方程：左边＝4，右边＝4，左边＝右边．原方程的解是x＝5．例2解方程：3x－2x－解：方程两边同乘x(x－1)，得3(x－1)－2x＝0．解这个一元一次方程，得x＝3．把x＝3代入原方程：左边＝33－23－1右边＝0，左边＝右边．所以原方程的解为x＝3．5.方法技巧解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程，本章只讨论可以转化为一元一次方程的分式方程．解分式方程的一般步骤：1.化：方程两边同乘以各分母的最简公分母,将分式方程转化为整式方程；2.解：解这个整式方程；3.验：将所求得的整式方程的解代入原方程检验；4.写：写出原分式方程的解．6.做一做解下列方程：(1)40＋x10x＋4＝74(3)15x－153x＝23；(4)x2x－解：(1)方程两边同乘4(10x＋4)，得4(40＋x)＝7(10x＋4)．解这个一元一次方程，得x＝2．把x＝2代入原方程：左边＝40+210×2+4＝7右边＝74所以原方程的解为x＝2．(2)方程两边同乘x(x－1)，得9(x－1)＝8x．解这个一元一次方程，得x＝9．把x＝9代入原方程：左边＝99＝1右边＝88＝1所以原方程的解为x＝9．(3)方程两边同乘3x，得45－15＝2x．解这个一元一次方程，得x＝15．把x＝15代入原方程：左边＝1515－1545＝右边＝23所以原方程的解为x＝15．(4)方程两边同乘2x－5，得x－5＝2x－5．解这个一元一次方程，得x＝0．把x＝0代入原方程：左边＝0－5＋55右边＝1．左边＝右边．所以原方程的解为x＝0．【设计意图】通过“先观察—再讨论—后归纳”的阶梯式活动，突破初学者在“分母含/不含未知数”上的易错点，巩固概念。1．解分式方程1x-2－3＝42-x时，去分母可得解：1－3(x－2)＝－42.已知x＝1是分式方程2ax＋3a－x＝3解：-3．3.对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a－1b．若(2x－1)⊕2＝1，则x解：C.4.小玉在解方程2x－13＝x＋a2-1去分母时，方程右边的“－1”项没有乘6，因而求得的解是解：错误去分母得4x－2＝3x＋3a－1，把x＝10代入，得a＝3．5.(1)已知3x－2x＋1(2)已知ax＋bx＋c＝a＋mx＋解：(1)∵3＋mx＋1＝3x＋∴－2＝3＋m，m＝－5．(2)∵由ax＋bx＋c＝a＋mx＋∴ax＋b＝ax＋ac＋m，