数学+答案-东北师大2026届高三下五月模拟考试

2025-2026学年下学期

东北师大附中(数学)科试卷

高三年级5月模拟考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.

1．已知z=2+i，则i.(z_1)=

A．_1+iB．_1_iC．1+iD．1_i

2．命题“▽x∈R，x2_2x+6>0”的否定是

A．▽x∈R，x2_2x+6≤0B．▽x∈R，x2_2x+6<0

C．彐x∈R，x2_2x+6>0D．彐x∈R，x2_2x+6≤0

3．已知a=(3,m)，b=(1,_1)，且a.b=1，则la+b=

A．4B．1C．D．

4．已知一组数据：4,6,a,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为

A．6B．7C．8D．9

5．已知双曲线Ca>0,b>0)的渐近线方程为yx，则C的离心率为

A．B．C．D．

6．若tan，则sin2“的值为

A．_B．C．D．

7．已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为1:3，底面半径之比为1:2，则圆锥的体积为

A．27πB．36πC．72πD．108π

第1页共2页数学试题

8．已知函数f(x)的定义域为R，f(2x+1)为偶函数，f为奇函数，则

A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数

C．f(x)的最小正周期为4D．f(x)在(1,2)上单调递增

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．若α,β,Y表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出α丄β的是

A．lcβ,l丄αB．l丄β,l//α

C．α//Y,β丄YD．α丄Y,β丄Y

10．将函数f=sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将

π

所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的有

6

π

A．g(x)的最小正周期为4πB．g(x)在[0,]上只有一个零点

3

C．g(x)在[0,]上单调递增D．点是g(x)图象的一个对称中心

11．已知椭圆C，公众号悦爱学堂F1，F2分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，

P是椭圆C上任意一点，点A(1,1)，则下列结论正确的有

A．VF1PF2的周长为6B．VF1PF2的面积为3时，L

5

C．VF1PA周长的最小值是3+5D．VF1PA面积的最大值为

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a5=6，2a3+a4=8，则S10=．

13．设直线2x_y=0与圆x2+y2_2my+2=0交于A，B两点，若|AB|=2，则实数m的

第2页共2页数学试题

值为．

14．在4x4的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之

和均为6，则不同的填法种数为．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2c一b).cosA=a.cosB．

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，b+c=23，求VABC的面积．

16．（15分）

袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回．

（1）第二次随机取出1个小球，求两次取出的球的颜色相同的概率；

（2）第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为X，求X的概率分布列及数学期

望．

第3页共2页数学试题

17．（15分）

如图，四棱锥P_ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC,AB丄AD，

PA=PB=PD=AB=AD=2，BC=1．

P

（1）证明：PC丄AD；

（2）求二面角A__PC_D的正弦值．

A

D

BC

18．（17分）

已知函数f=xalnx

（1）若a=2，判断f(x)的单调性；

（2）若f(x)有唯一零点，求a的取值范围；

11

_

（3）若p,q>0，且qep=peq，证明：p_q>2．

第4页共2页数学试题

19．（17分）

已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=2与抛物线E交于点R，且

（1）求抛物线E的方程；

（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与抛物线E分别交于点A，B和C，

D，其中点A，C在第一象限．

（i）设M，N分别为AB，CD的中点，H为直线AC与直线BD的交点，求ΔHMN面

积的最小值；

(ü)过F作x轴的垂线，分别交AC，BD于P，Q两点，判断是否存在以PQ为直径的

圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由．

第5页共2页数学试题

2025-2026学年下学期

东北师大附中(数学)科答案

高三年级5月模拟考试

题号12345678

答案ADCBDBCB

题号91011

答案ABCBDACD

8.【解析】

因为f(2x+1)为偶函数，所以f(_2x+1)=f(2x+1)，从而f(_x+1)=f(x+1)；因

①

为f为奇函数，所以f，从而f

故f(x+1)=_f(_x).由得f(_x+1)=_f(_x)，f(x)=_f(x_1)，

②①②

f(x+1)=_f(x)，f(x+2)=f(x)，故2为f(x)的周期.

由得f(_x)=_f(x+1)，又f(x)=_f(x_1)，f(x)周期为2，所以

②

f(x+1)=f(x_1)，

所以f(_x)=f(x)，故f(x)的偶函数.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.7013.14.90

14.【解析】

第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行

和第四行的数字唯一确定；如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种

填法，第四行由第三行完全确定；第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同，另

外两个位置与第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为

6×(1+6+4×2)=90.

第1页共7页数学答案

四、解答题（共77分）

15.（13分）

【解析】

（1）因为(2c_b).cosA=a.cosB，所以由正弦定理

(2sinC_sinB)cosA=sinAcosB，

1分

整理得：2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)，3分

因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)≠0，故cosA分

因为0<A<π,所以A分

（2）由余弦定理，得a2=b2+c2_2bccosA，即b2+c2_a2=bc，9分

2

整理得(b+c)_a2=3bc，又a=3，b+c=23，所以bc，所

以bc=3，

11分

故VABC的面积为bcsinA分

16.（15分）

【解析】

（1）设事件A1为“第一次抽取红球”，事件A2为“第二次抽取红球”，事件B1为“第一次抽取

黑球”，事件B2为“第二次抽取黑球”，

则P

所以两次取出的球颜色相同的概率为

221123

P=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=×+×=．…7分

333545

（2）由题意可得随机变量X的可能取值为1,2,3，

当X=1时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个黑球；第一次抽取一个黑

球，第二次抽取一个黑球和一个红球，

第2页共7页数学答案

P分

第一次

当X=2时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取一个黑球和一个红球；

抽取一个黑球，第二次抽取两个红球，

P分

当X=3时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个红球，

P……13分

可得X的分布列为

X123

P854

45915

所以公众号悦爱学堂E分

17.（15分）

【解析】

（1）证明：取AD中点M，连PM,CM,BC//AM,BC=AM，ABCM为平行四边形，

所以AB//CM，因为AB丄AD，所以CM丄AD，又PA=PD，所以PM丄AD，

又PMCM=M，PM,CMC平面PCM，所以AD丄平面PCM，又PCC平面PCM，

所以PC丄AD．6分

（2）取MC中点O，连PO，取AB中点N，连ON，PM=PC=3，PO丄CM，PO=2，

以O为坐标原点，建系如图，则A(1,一1,0)，C(0,1,0)，D(一1,一1,0)，P(0,0,2)，

z

AC=(一1,2,0)，CP=(0,一1,2)，CD=(一1,一2,0)，8分

P

设平面PAC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，

则

AM

D

x

O

令y1=1，则x1=2,z……10分N

B

yC

设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，

第3页共7页数学答案

则，令y2=1，则x2=_2,z

2

n=(_2,1,)，12分

2

设二面角A_PC_D的大小为θ,则

|cosθ|=|cos分

sin分

所以二面角A_PC_D的正弦值为

18.（17分）

【解析】

（1）由题意f=xlnx，定义域为(0,+∞)，f,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．3分

（2）定义域为(0,+∞)，f,分

设g(x)=x2_ax+1(x>0)

若a≤0，则g(x)>0，f,(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．5分

①

若0<a≤2，则Δ=a2_4≤0，g(x)>0，f,(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．

又f(1②)=0，有唯一零点，符合题意；6分

若，令2，，

a>2g(x)=x_ax+1=0x1=∈(0,1)x

③

当x∈(0,x1)，g(x)>0，f,(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(x1,x2)，g(x)<0，f,(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(x2，+∞)，g(x)>0，f,(x)>0，f(x)单调递增．7分

又f(1)=0，f(x1)>0,f(x2)<0，

a_a2

f(ea)=e_e_a，

第4页共7页数学答案

设h(a)=ea_e_a_a2，a>2，

h,(a)=ea+e_a_2a>ea_e_a_2a，

由（1）知ea_e_a_2a>e2_e_2_4>0，

所以h(a)在(2,+∞)单调递增，

h(a)=ea_e_a_a2>h(2)=e2_e_2_4>0，

a

即f(ea)>0，由零点存在定理可知彐x0∈(x2,e)，使得f(x0)=0，不合题意．……9分

综上，a≤2．10分

_

（3）因为p,q>0，且qe=pe，所以ln

令t，则t>1,lnt分

所以p_q

t2_1

要证p_q>2，只需证>2，

tlnt

1

即证t__2lnt>0(t>1)，14分

t

由（1）知f=xlnx单调递增，

所以当t>1时，f=tlnt>f

所以p_q>2．17分

19.（17分）

【解析】

（1）依题意，设R(x0,2)，由抛物线的定义得|RF|=xp，解得：x0=2p，

因为在抛物线2上，所以2，所以2，解

R(x0,2)E:y=2px(p>0)2=2px02=2p.2p

得：p=1，故抛物线E的方程为y2=2x．3分

（2）抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为F，

当l1的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，

第5页共7页数学答案

当l1的斜率不存在时，l2的斜率为0，此时l2与抛物线只有1个交点，不合要求，

故设l1:x=my，则l2:x，不妨设m>0，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

由，消去x得y2_2my_1=0，

2

Δ=4m+4>0，y1+y2=2m，y1y2=_1．4分

（i）连接BN，BC，CM，取BC的中点I，连接NI,MI,HI，又M,N分别为

AB,CD的中点，所以HB∥NI,HA∥MI，所以SNIH=SNIB，SMIH=SMIC，

所以ΔHMN的面积S=SΔNIH+SΔMIH+SΔMIN=SΔNIB