北师版九年级数学上册期末复习考点 清单03 概率投影和视图（8个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单03概率投影和视图(8个考点梳理+题型解读+提升训练)

V

直接列举法

【清单01】概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，

记为P(A).

(1)一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。

(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事

nj

件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(I)一般地，所有情况的总概率之和为I。

(2)在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

(3)在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

(4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接

近1：反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

1

(5)一个事件的概率取值：OWP(A)W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P(必然事件)=1

不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则OVP(A)<1

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

事件发生的可能性越来越小।

9_一I概率的值

不可能发生--------------------------必然发牛

事件发生的可能性越来越大’

2.求概率方法：

(I)列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出

来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以

通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

(2)列表法：当一次实验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)，并且可能出现的结果数H较多时，为不

重不漏地列出所有可能的结果时使用。

(3)列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便

了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

【清单02】频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附近

n

,那么，这个常数p就叫作事件A的概率,记为P(A)=Po

【清单03】平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有

被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影

叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图I所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

2

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身

的长度.

2.物高与影长的关系

(1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小

在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东,

影长也是由长变短再变长.

(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

叩甲物体的高甲物体的彩长

即：乙物体的高一乙物体的霆长.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

【清单04】中心投影

若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就

是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、

投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的

物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，

影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点

在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

注意：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方

3

向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

【清单05】正投影

正投影的定义:

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；

图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这

种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(I)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影而P时，它的正投影是线段AIBI,与线段AB的长相等;

②线段AB倾斜尸投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长;

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个

平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时,平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化,即会缩小,

是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

(3)立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过

立体图形的最大截面全等.

4

【清单06】三视图

(1)视图的定义

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

(2)正面、水平面和侧面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边

的面叫做侧面.

(3)三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，

叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

(4)画图方法：

画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具麻画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

注意：

画一个儿何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，

首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚

线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三

视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

于题型侪单

5

【考点题型一】概率有关运算

【典例1】如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A,B,C,D,现随机闭合两个开关,

小灯泡发光的概率为()

【变式1-1】某校开设了4门知识类拓展课程，每位同学都要选修其中的2门，课程的代号和名称如下表所

示，请完成下列问题：

课程代号ABCD

课程名称《趣味数学》《朝花文学社》《地理之窗》《物理与生活》

⑴用恰当的方法列举出小明选修2门课程所有可能的结果(用课程代号A,B,C,。表示).

(2)求小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的概率.

【变式1-2】在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为-2,0,2,TT,卡

片除了上面的实数不同外，其余都相同.

(1)从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为;

(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图的方

法求出两次抽取的卜片上的实数之积为有理数的概率.

【变式1-3】某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是从床铺整理，B：衣物清洗，C：手工

制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中

6

开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查.根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下

两幅不完整的统计图.

根据图中信息，请回答下列问题:

（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数;

⑵若该校共有1800名学生，清你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；

（3）小兰同学从B、C、。三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C、D、E三门课程中随机

选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率.

【考点题型二】利用频率估计概率

【典例2】如图I,长为10cm,宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为

了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该

点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据：

由此可估计不规则图案的面积大约为（）

A.32cm2B.24cm2C.16cm2D.8cm2

【变式2-1】在一个不透明的盒子里装有若干个白球和16个红球，这些球除颜色不同外其余均相同.摇匀

每次从盒子中摸出一个球记录下颜色后再放阿L经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左

7

右，则盒子中白球约有一个.

【变式2-21某农科院在相同条件下作了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表，根据以下数据,

估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为.（结果保留小数点后两位）

移植棵树〃1005001(X)04000150002000030000

成活棵树m864328653500131701758026430

成活频率%0.860.8640.8650.8750.8780.8790.881

n

【变式2-3］生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形

按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈

打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2,他在该二维码上随机掷点，经过大量重及

试验，发现点落在臼色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为.

【考点题型三】正投影

【典例3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个正方形纸板的正投影不可能是

()

A.一条线段B.一个与原正方形全等的正方形

C.一个邻边不等的平行四边形D.一个等腰梯形

【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放,光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（）

C.D.

【变式32］球在平面上的正投影是（)

8

A.圆面B.椭圆面C.点D.线段

【变式3-3】矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（）

A.矩形B.平行四边形C.线段D.点

【考点题型四】平行投影

【典例4］在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）

【变式4-1】下列各种现象中，属于平行投影的是（）

A.皮影戏中的影子B.阳光下旗杆的影子

C.台灯下的笔筒的影子D.汽车灯光照射下行人的影子

【变式4-2］在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为10m,那么

这根旗杆的高度为m.

【变式4-3］如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的弓线杆CD,

它们都与地面垂直.某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙

上的影子NF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子。，的长为5米，则落在围墙上的影子GH的

【考点题型五】中心投影

9

【典例5］如图，一墙墩(用线段48表示)的影子是BC,小明(用线段DE表示)的影子是EF,在M处有

一棵大树，它的影子是MN.

A

D

______________L

NMBCEF

(I)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的

位置(用点。表示)；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；

(2)在图中画出表示大树高的线段：

(3)若小明的身高是1.8m,他的影长1.8m.大树的高度为7.2m,它的影长MN=7.2m.且大树与

小明之间的距离ME=16.2m,求路灯的高度.

【变式5-1］如图，在平面直角坐标系中，点(2,3)是一个光源.木杆48两端的坐标分别为(一1,1),

(3,1).则木杆48在.1轴上的投影48,长为()

AB

Ox

A.2V3B.3V2C.5D.6

【变式5-1】如图，小明家的客厅有一张高0.6米的圆桌，直径BC为0.8米，在距地面2米的4处有一盏灯,

圆桌的影子最外侧两点分别为。，E,依据题意建立平面直角坐标系，其中点E的坐标为(4,0),则点0

的坐标是.

【变式5-2］如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(2,2)处,木杆力8两端的坐标分别为(0,1),(3,1).则

10

木杆4B在％轴上的影长CD为

上

CO

【考点题型六】几何体的视图

【典例6］如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（）

【变式6-1】中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成

如图所示的立体图形，它的左视图是（）

【变式6-2】（sunmao）是古代中国建筑的主要结构方式,凸出部分叫桦，凹进部分叫卯,如图是某

个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）

主视方向

II

E

B

【变式6-3］如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（）

【考点题型七】由三视图判断几何体

【典例7】用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图

左视图

俯视图

▽

A.长方体B.三棱锥C.三棱柱D.正方体

12

【变式7-2］如图所示的三视图对应的几何体是（）

▽

I

A.长方体B.三棱锥C.圆锥D.三棱柱

【变式7-3］如图是一个儿何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）

【考点题型八】根据三视图求面积和体积

【典例8］根据所给立体图形的三视图.

（1）写出这个立体图形的名称：

（2）求出这个立体图形的表面积.

【变式8-1］如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（）

A.8007T+1200B.160TT+1700C.3200〃+1200D.800〃+3000

13

【变式8-2］如图所示是某工件的三视图，此工件是形，它的体积是.(结果保留九)

【变式8-3］如图，是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆

柱的高是长方体的高的2倍.

(1)画出该几何体的主视图和正视图；

主视图：左视图：

(2)若长方体的长为10cm,宽为4cm,高为3cm,求该几何体的表面积和体积(n取3).

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清单03概率投影和视图(8个考点梳理+题型解读+提升训练)

才考直侪单

V

百榜列举法

【清单01】概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，

记为P(A).

(1)一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。

(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事

件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情况的总概率之和为1。

(2)在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

(3)在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

(4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接

近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

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(5)一个事件的概率取值：OWP(A)W1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P(必然事件)=1

不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则OVP(A)<1

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

n事件发生的可能性越来越小।

y■一।概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

3.求概率方法：

(1)列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出

来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以

通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

(2)列表法：当一次实验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)，并且可能出现的结果数H较多时，为不

重不漏地列出所有可能的结果时使用。

(3)列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便

了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

【清单02】频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常数p附近

n

,那么，这个常数p就叫作事件A的概率,记为P(A)=Po

【清单03】平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有

被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影

叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图I所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

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ffil图2

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身

的长度.

2.物高与影长的关系

(1)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小

在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，

影长也是由长变短再变长.

(2)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

叩甲物体的高甲物体的薪长

1：乙物体的高一乙喇体的琳长.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

【清单04】中心投影

若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就

是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、

投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的

物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，

影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点

在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

注意：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方

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向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

【清单05】正投影

正投影的定义：

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；

图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这

种情形为投影线垂直于投影面,像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(1)线段的正投影分为三种情况如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AIBI,与线段AB的长相等;

②线段AB倾斜于投影面P时，，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长;

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

⑵平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个

平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化,即会缩小，

是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

(3)立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有美，立体图形的正投影与平行于投影面且过

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立体图形的最大截面全等.

【清单06】三视图

(2)视图的定义

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

(2)正面、水平面和侧面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面,正面下面的面叫做水平面，右边

的面叫做侧面.

(3)三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图：

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，

叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

(4)画图方法：

画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具为画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”：

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

注意：

画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，

首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚

线表示看不到的轮廓线：其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三

视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

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白验型循单

【考点题型一】概率有关运算

【典例1】如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A,B,C,D,现随机闭合两个开关,

小灯泡发光的概率为（）

H,-----

A.1B.\C.；D.1

3342

【答案】A

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有

等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

•・•共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，

・••小灯泡发光的概率为三=1

1L/*5

故选：A.

【变式1-1】某校开设了4门知识类拓展课程，每位同学都要选修其中的2门，课程的代号和名称如下表所

示，请完成下列问题：

课程代号ABCD

课程名称《趣味数学》《朝花文学社》《地理之窗》《物理与生活》

（1）用恰当的方法列举出小明选修2门课程所有可能的结果（用课程代号4B,C,。表示）.

⑵求小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的概率.

【答案】（1）见解析

20

（2）；o

【分析】本题考查的是用树状图法求概率.

（1）画出树状图即可：

（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》却《朝花文

学社》的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】（1）解：画树状图如下：

开始

一

ABCD

BCDACDABDABC

共有12种等可能的选法；

（2）解：由（1）中树状图得：

共有12种等可能的结果，其中小明选修的2门课程恰好是《趣味数学》和《朝花文学社》的结果有2

种，

.••他们两人恰好选到同一门的概率为尚=

1Z6

【变式1-2】在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为-2,0,2,IT,卡

片除了上面的实数不同外，其余都相同.

（1）从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为:

（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图的方

法求出两次抽取的卡片上的实数之枳为有理数的概率.

【答案】（%

丽

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、实数的运算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率

公式是解答本题的关键.

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2利1，利用概率公式可

得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的结果数，再利用

概率公式可得出答案.

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种，

21

・••从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率为a

故答案为：I;

(2)解：列表如下:

-202TT

-2(-2,0)(-2,2)(-2,TT)

0(0,-2)(0,2)(OJO

2(2,-2)(2,0)(2,n)

1T(n,-2)5,0)6,2)

共有12种等可能的结果,其中两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的结果有：(-2,0),(-2,2),

(0,-2),(0,2),(O.TT),(2,-2),(2,0),(IT,0),共8种,

・••两次抽取的卡片上的实数之积为有理数的概率为：^=|

【变式1-3】某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是从床铺整理，B：衣物清洗，C：手工

制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中

开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查.根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下

两幅不完整的统计图.

根据图中信息，请回答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；

(2)若该校共有1800名学生，清你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；

(3)小兰同学从B、C、。三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从D、E三门课程中随机

选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率.

【答案】(1)补充条形统计图见解析，72。

(2)540人

22

【分析】（1）根据选择的人数及比例求出总人数，总人数乘以。占的比例求得“D”的人数，总人数

减去其他类别的人数求得2”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用360。乘以“C”占的比例即

为“手工制作”对应的扇形圆心角度数;

（2）利用样本估计总体思想求解;

（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符介条件的情况数，再利用概率公式

计算即可;

本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，利用画树状图或者列表法求概率，解题的

关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理.

【详解】（1）解：参与调查的总人数为：30+30%=100人,

T的人数100x25%=25人,

二•,VT的人数100-10-20-25-30=15人,

补充条形统计图如图:

“手工制作”对应的扇形圆心角度数360。x^=72°：

(2)解：1800X30%=540,

答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人;

（3）解：画树状图如下:

开始

乂-

二BCD

小亮心心搐

由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种,

・••甲乙两位同学选择相同课程的概率为

【考点题型二】利用频率估计概率

23

【典例2】如图1,长为10cm,宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为

了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该

点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据：

点落在不规则图案内的频率

A.32cm2B.24cm2C.16cm2D.8cm2

【答案】B

【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折

线统计图的含义，随着‘实心次数的增加，频率稳定于0.3附近，由此得实验的频率，并把它作为概

率.这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求.根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样

本的频率稳定在0.3,因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为

0.3,即可求得不规则图案的面积.

【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3,广是

把0.3作为概率.

设不规则图案的面积为“cmZ,则有a=0.3

10x8

解得：x=24,

即不规则图案的面积为24cm2.

故选:B.

【变式2・1】在•个不透明的盒子里装有若干个白球和16个红球，这些球除颜色不同外其余均相同.摇匀

每次从盒子中摸出一个球记录卜.颜色后再放回，经过多次重狂试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左

右，则盒子中白球约有一个.

【答案】24

【分析】本题考查了利用频率估计概率，涉及到了解分式方程，一般地，随着试验次数的增大，频率

偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为

频率的稳定性，由题意得：摸到白球的概率为0.6,设盒子中白球约有％个，则f=0.6,据此即可求

X+16

24

解.

【详解】解：由题意得：摸到白球的概率为0.6,

设盒子中白球约有％个，则唉=0.6,

X+16

解得：％=24,经检验，符合题意；

故答案为：24.

【变式2-2】某农科院在相同条件下作了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如卜.表，根据以下数据,

估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为.（结果保留小数点后两位）

移植棵树〃1(X)5(X)1(X)04(X)0150(X)20(X)()3000()

成活棵树m864328653500131701758026430

成活频率丝0.860.8640.8650.8750.8780.8790.881

n

【答案】0.88

【分析】本题考查了利用频率估计概率.

表中数据实验频率逐渐稳定在0.881左右，则这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率约为0.88.

【详解】解：根根据表中数据，实验频率逐渐稳定在0.881左右，

则这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为0.88,

故答案为:0.88.

【变式2-3］生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形

按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈

打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2,他在该二维码上随机掷点，经过大量重复

试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为.

【答案】5.4cm2

【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式.用总面积乘以落入黑色部

分的频率稳定值即可.

25

【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在04左右

则1-04=0.6

・••点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

据此可以估计黑色部分的面积为9cm2x0.6=5.4cm2

故答案为：5.4cm2.

【考点题型三】正投影

【典例3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个正方形纸板的正投影不可能是

()

A.一条线段B.一个与原正方形全等的正方形

C.一个邻边不等的平行四边形D.一个等腰梯形

【答案】D

【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可；

【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面

与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，

得到一个平行四边形：正投影不可能得到等腰梯形；

故选：D.

【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是()

【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接近择即可.

【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是

故选:B.

26

【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同.

【变式3-2］球在平面上的正投影是（）

A.圆面B.椭圆面C.点D.线段

【答案】A

【分析】根据正投影的定义即可求解，正投影是指平行投射线垂直于投影面.

【详解】解：球在平面上的正投影是圆面，

故选：A.

【点睛】本题考查了正投影的定义，熟练掌握正投影的定义是解题的关键.

【变式3-3】矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（）

A.矩形B.平行四边形C.线段D.点

【答案】D

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案.

【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行.得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形.

故长方形的正投影不可能是点，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影

依旧平行是解题关键.

【考点题型四】平行投影

【典例4】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光卜影子的图形的可能是（）

【答案】D

【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键：平行投影特点是在同一

时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例.

27

根据平行投影特点结合选项判断即可.

【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误：

B、影子的方向不相同，故本选项错误；

C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；

D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；

故选：D.

【变式4-1】下列各种现象中，属于平行投影的是（）

A.皮影戏中的影子B.阳光下旗杆的影子

C.台灯下的笔筒的影子D.汽车灯光照射下行人的影子

【答案】B

【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影；根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳

光，找到是太阳光的光源即可.

【详解】解：A.皮影戏中的影子为中心投影，故此选项不合题意；

B.阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意；

C.台灯下的笔筒的影子为中心投影，故此选项不合题意；

D.汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；

故选：B.

【变式4-2］在某一时刻，测得一根高为16m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为10m,那么

这根旗杆的高度为m.

【答案】6

【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物而与影长成正比”列式计算即可得

解.解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质.

【详解】解：设旗杆高度为xm,

由题意得：盘二.，

解得：x=6,

・•・这根旗杆的高度为6m.

故答案为：6.

【变式4-3］如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆48和一根高7米的旦线杆CD,

它们都与地面垂直.某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子B尸的长为10米，落在围墙

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上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的

长为米.

【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出

方程成为解题的关键.

如图：过点£作£用_148于W,过点G作GN1CD于M利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到

比例式黑=段即2=乎，然后求出G"即可.

MENG105

【详解】解：如图：过点E作EMJ.力8于M,过点G作GN_LCO于M

由题意得：四边形EFBM,GHDN是矩形，

则MB=EF=2m,ND=GH,ME=BF=10m,NG=DH