【高教版】中职数学拓展模块：11《两角和与差的正弦公式与余弦公式》教案设计

【高教版】中职数学拓展模块：1.1《两角和与差的正

弦公式与余弦公式》教案设计

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【高教版】中职数学拓展模块第I章第1节《两角和与差的正弦公式与余弦公式》

教案设计：

本节课主要内容包括高教版中职数学拓展模块第1章第1节《两角和与差的正弦

公式与余弦公式》。具体内容如下：

1.两角和与差的正弦公式:sin(a±p)=sinacosp±cosasinp；

2.两角和与差的余弦公式：cos(a±p)=cosacosp+sinasinp；

3.公式的推导过程及证明方法；

4.公式的应用，包括求解三角函数值、化简表达式、证明恒等式等；

5.两角和与差的正弦、余弦公式的拓展应用，如多角公式、倍角公式等。

核心素养目标

1.让学生通过探索和推导两角和与差的正弦和余弦公式，培养逻辑思维能力和

数学推理能力。

2.通过公式的应用练习，提高学生解决实际问题的能力和数学应用意识。

3.增强学生对数学公式的理解深度，提升数学抽象思维能力。

4.培养学生通过数学表达式进行有效沟通和表达数学概念的能力。

重点难点及解决办法

重点：

1.两角和与差的正弦和余弦公式的推导过程。

2.公式的记忆与应用。

难点：

1.推导过程中的数学逻辑和证明方法。

2.公式在不同类型问题中的灵活运用。

解决办法：

1.通过几何图形的直观演示，引导学生观察两角和与差对应的.三角函数值变化,

从而帮助学生理解并推导出公式。

2.采用归纳总结的方法，将公式中的变量和符号进行规律性总结，帮助学生记

忆。

3.设计不同难度的练习题，让学生在应用中发现问题，通过小组讨论和教师指

导，找到解决问题的策略。

4.通过变式练习，让学生在多种情境中运用公式，提高其灵活运用能力。

教学方法与手段

教学方法：

1.讲授法，系统讲解两角和与差的正弦和余弦公式的推导及应用。

2.讨论法，组织学生讨论公式在不同类型题目中的应用策略。

3.练习法，安排适量练习题，巩固学生对公式的理解和运用。

教学手段：

1.使用多媒体设备展示公式推导的动态过程，增强直观性。

2.利用教学软件设计互动练习，提高学生参与度和练习效果。

3.通过网络资源提供额外的学习材料，帮助学生自主学习。

教学过程设计

1.导入环节(5分钟)

-创设情境：利用多媒体展示不同角度的三角函数图像，让学生观察两角和与差

的三角函数值如何变化。

-提出问题：引导学生思考，如果知道两个角的正弦或余弦值，能否求出它们和

或差的正弦或余弦值？

-预设学生活动：学生观察图像，尝试回答问题。

2.讲授新课(15分钟)

-讲解两角和的正弦公式:通过几何图形和三角函数的定义，逐步推导出sin(a+p)

的公式。

■讲解两角和的余弦公式：同理，推导出cos(a+0)的公式。

-讲解两角差的正弦和余弦公式：引导学生通过类比推理得出sin(a-p)和cos(a-p)

的公式。

・预设学生活动：学生在教师的引导下，跟随推导过程，理解公式背后的数学逻

辑。

3.巩固练习（10分钟）

-练习1：让学生独立完成教材中的基础练习题，巩固公式记忆。

-练习2：设计一些应用题，让学生运用公式解决问题。

-练习3：小组讨论，共同解决一道较复杂的综合题。

-预设学生活动：学生独立完成练习，小组讨论交流答案。

4.课堂提问与师生互动（10分钟）

-提问1：让学生解释两角和的正弦公式中的各项代表什么。

-提问2：让学生举例说明如何使用公式解决实际问题。

-提问3：讨论两角和与差的公式在物理、工程等领域的应用。

-预设学生活动：学生回答问题，与教师互动，分享自己的想法。

5.解决问题及核心素养能力的拓展（5分钟）

-教师展示一道拓展性问题，要求学生运用所学知识解决。

-学生思考并尝试解答，教师提供必要的引导和提示。

-预设学生活动：学生积极思考，尝试解答拓展性问题。

6.总结与反馈（5分钟）

-教师总结本节课的重点内容，强调公式的推导过程和应用。

-学生反馈本节课的学习感受，提出疑问或分享收获。

-教师根据学生的反饿进行点评，给予鼓励和指导。

总用时：45分钟

学生学习效果

1.学生能够理解和掌握两角和与差的正弦和余弦公式，并能够熟练运用这些公

式进行计算。

2.学生能够通过几何图形的直观演示，理解两隹和与差的正弦和余弦公式的推

导过程，提高了数学逻辑推理能力。

3.学生能够将两角和与差的正弦和余弦公式应用于解决实际问题，如求解三角

形的边长或角度，提高了数学应用能力。

4.学生通过课堂讨论和练习，能够有效地运用数学语言进行交流和表达，提升

了数学沟通能力。

5.学生在解决拓展性问题过程中，能够独立思考，提出解决问题的策略，增强

了问题解决能力。

6.学生能够将所学知识应用于物理、工程等相关学科，认识到数学在跨学科领

域中的重要作用，提升了数学核心素养。

7.学生在课堂提问和反馈环节中，能够自信地表达自己的观点和疑问，积极参

与课堂互动，提高了学习积极性。

8.学生通过本节课的学习，对三角函数有了更深入的理解，为后续学习其他三

角恒等式和公式打下了坚实的基础。

9.学生在完成练习题和拓展性问题时，能够自我检查和评估，发现了自己在理

解和应用方面的不足，并能够主动寻求改进和提升。

10.学生通过本节课的学习，不仅掌握了具体的数学知识，还培养了批判性思维

和创新能力，为未来的学习和职业生涯奠定了基础。

重点题型整理

题型一：公式推导题

题目：已知sina=1/2,cos0=43/2,且a、。均为锐角,求sin(a+0)的值。

解答：由sina=1/2,得a=30。；由cos[3=//2,得[3=60。。因此，sin(a邛)=

sin(30°+60°)=sin90°=1。

题型二：公式应用题

题目：在AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,b=4,sinC=3/5。

求sinA的值。

解答：由sinC=3/5,得cosC=Wl-sin人2c)=«1-(3/5)人2)=4/5。利用两角和的余弦公

式,cosA=cos(180°-B-C)=-cos(B+C)="(cosBcosC・sinBsinC)。出于b>a>B>C,

因此sinB=b*sinC/a=(4*3/5)/3=4/5。代入公式得cosA=-(4/5*4/5-3/5*3/5)=

-l/5o因此，sinA=A/(1-COSA2A)=A/(1-(-1/5)A2)=2A/6/5O

题型三：恒等式证明题

题目：证明：sin(2a+p)=2sinacosacosp-2cosasinasinpo

解答：利用两角和的正弦公式和余弦公式，sin(2a+p)=sin(a+a+p)=sinacos(rz+p)

+cosasin(a+p)=sina(cosacosp-sinasinp)+cosa(sinacosp+cosasinp)=

2sinacosacosP-2cosasinasin0。

题型四：实际问题应用题

题目：一艘船从港口出发，以30。的航向角向东航行，航行速度为vkm/h。已知

海流以10。的夹角向北流动，流速为ukm/h。求船的实际航向角。

解答：设船的实际航向角为0,则sin0=(u*sinl0o+v*sin30o)/WuA2+vA2)：,通

过计算得到sinO的值，再求出0的具体角度。

题型五：综合应用题

题目：在目ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,b=Y3,C=120。。

求sinB的值。

解答：由余弦定理，c八2二a八2+b八2-2ab*cosC=2人2+(43)八2-2*2*也*(-1/2)=7

+2^3。因此，C=A/(742A/3)。由正弦定理，sinB=b*sinC/c=(A/3*(-1/2))/A/(7+

2也)。通过计算得到sinB的具体值。

板书设计

①重点知识点：

-两角和的正弦公式：sin(a±P)=sinacosP±cosasinp

-两角和的余弦公式：cos(a±p)=cosacosp+sinasinp

-两角差的正弦公式：sin(a-p)=sinacosp-cosasinp

-两角差的余弦公式：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

②重点词句：

-推导过程

-公式应用

-练习巩固