2025北京市中考数学真题(解析版)

2025年北京市初中学业水平考试数学试卷姓名_______准考证号_______考场编号_______座位号_______考生须知1．本套试卷全长6页，由两大部分组成，包含3道大题及28道小题。总分100分，答题时长为120分钟。2．请在试卷及草稿纸的相应位置，正确地写上自己的姓名、准考证号、考场编号以及座位号。3．所有答案必须统一填写或涂写在答题卡中，直接在试卷上作答将不予计分。4．请使用2B铅笔在答题卡上完成选择题与作图题，其余题目则统一使用黑色签字笔填写。5．在考试结束时，请将本试卷、答题卡以及草稿纸全部统一上交。一、单项选择题一、单项选择题（总分16分，每小题2分）第1至8题均为单选题，每题有四个选项，其中仅有一个正确答案。1.在以下给出的图形中，能够同时满足轴对称和中心对称条件的图形是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．由此即可得出结果。【解析】解答：A选项中，该图像具备轴对称特性，但并不具备中心对称特性，因此不满足题目要求；B．此图形仅具备轴对称特性，不具备中心对称特性，因此不满足题目要求；C．此图形具备中心对称特性，但并不具备轴对称特性，因此不满足题目要求；D.该图像同时具备轴对称和中心对称的特性，满足题目要求。因此，正确选项为：D。2.观察数轴上实数$a$与$b$对应点的位置分布，在下列选项中，正确的一项是（）A.B.C.D.【正确选项】D【解析】【解析】本题旨在考察如何通过点在数轴上的坐标来判定代数式的正负，以及对绝对值定义的理解。解题的核心在于熟练运用数轴来衡量有理数的大小并掌握其相关性质。先由数轴得，，且，再逐项分析即可．【详解】解：由数轴得，，且，，因此，选项A、B、C均不符合题目要求，应予以排除；而选项D表述正确，与题意相符。因此，正确选项为：D。3.若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（）A.60

B.90

C.120

D.150【答案】C【解析】【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式及正多边形的性质求解即可．【详解】解：一个六边形的每个内角都是，每个内角的度数为：，正确选项为：C。4.某不透明口袋内装有3个红球、2个黄球以及1个白球，除颜色不同外，各球完全相同。若从中随机抽取一个球，求抽到白球的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详细解析】解答：袋内共包含3个红色球、2个黄色球以及1个白色球。若从中随机抽取一个球，摸出的球是白球的概率是．因此，正确选项为：A。5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A.B.C.1D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选C．6.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：．故选：C7.如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】该题目重点考察全等三角形的判定条件与相关性质、等边三角形的判定与特征，以及三角形内角和定理。解题的核心在于对上述知识点的熟练掌握及其在具体问题中的灵活应用。连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，连接，由作图可得，，为等边三角形，，，，，，，正确选项为：B。8.如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：与的面积一定相等；与的面积可能相等；一定是锐角三角形；可能是等边三角形．在上述得出的结论里，所有正确的序号为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断，即可求解．【详解】解：四边形是矩形，又是反比例函数图象上的动点，轴，轴，，即与的面积一定相等；故正确，由可得当与的面积相等时，如图，连接，在直线上，则重合，与的面积不可能相等，故不正确，等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故正确,如图当在的同侧时，可能是钝角三角形，故错误总而言之，判断正误。因此，正确选项为：B。第二板块：非选择题部分二、填空题（总分16分，每小题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】【解析】【解析】本题的核心考点在于二次根式的定义域条件以及一元一次不等式的求解方法。解题的关键在于能够熟练运用二次根式有意义的判定条件。本题可通过分析二次根式成立的条件（即被开方数必须大于或等于0）来列出不等式并求解。【详解】解：在实数范围内有意义，，解得：，故答案为：．10.分解因式：_______．【答案】【解析】【解析】本题旨在考察对提取公因式法及公式法的综合应用能力，能否熟练运用相关的因式分解技巧是顺利解题的核心。先从原式中提取公因数7，随后运用平方差公式进行因式分解。【详解】解：，故答案为：．11.方程的解为_______．【答案】【解析】【解析】此题的核心在于求解分式方程。解题步骤为：首先通过去分母将原方程转化为相应的整式方程，随后求解该方程，最后经过检验即可得出最终结果。【详解】解：去分母得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，是原方程的解，故答案为：．12.某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：等级低体重正常超重肥胖人数675154根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键．【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常人数是人，故答案为：．13.能说明命题若，则是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______．【答案】.（答案不唯一）.1（答案不唯一）【解析】【解析】本题的核心考点在于命题与定理的相关概念以及反证法的运用。解题的关键在于理解：若要证明一个命题为假，只需通过举出反例即可实现。根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答．【详解】解：当，时，，但是．故答案为：，1（答案不唯一）．14.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______．【结果】43【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，设与交于点K，，，在中，，，，，，故答案为：．15.如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______．【答案】##0.375【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解．【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，四边形为正方形，，，，，,，，垂足为F，，，，，，，，故答案为：．16.某公司研发并制造了一款新型设备，拟将其分发给A、B、C、D四个经销商进行销售。若某家经销商将其获配的n台设备全部卖出，则该公司从中获取的利润（单位：万元）与销售数量n的函数关系如下：…A4060B30557590100105C204060708090…D14386286110134…（1）若企业计划将5台设备分发给这四家经销商进行销售，且要求每家经销商均需获得至少1台设备。为了在所有设备售罄时实现企业总利润的最大化，应当向经销商_______分配2台设备（请填入A、B、C或D）；（2）若企业将6台设备分给这四家经销商中的一家或数家进行销售，在所有设备全部售完的情况下，企业所能获取的最大总利润为_______万元。【答案】..【解析】【解析】本题旨在考察如何列举所有等可能出现的结果。解题的核心在于通过分析表格，准确列出增长量的所有可能变化情况。（1）通过分别核算每位经销商在销售第二台产品时较第一台所增加的利润额，并进行对比，即可得出结论；（2）通过依次计算在一家、四家、三家以及两家进行分配时的最高利润，并将这些结果进行对比，即可得出最终结论。【详解】解：（1）当时，经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），经销商的利润为，比时增加（万元），，应向经销商分配2台设备．（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元，若将任务分派给多个销售人员时：当分配四家时，最大利润为（万元），当分配给三家时，最大利润为（万元），当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元），综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元．故答案为：，三、综合解答题（总分68分。其中：第17至19题每题5分；第20题6分；第21题5分；第22题6分；第23题5分；第24题6分；第25题5分；第26题6分；第27与28题每题7分）。在作答时，请务必提供详细的文字描述、计算步骤或完整的证明逻辑。17.计算：．【答案】【解析】【解析】本道题目主要测试对特殊角三角函数值混合计算的掌握程度，解题的核心在于灵活运用相关的运算定律与法则。分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．【详解】解：．18.解不等式组：【答案】【解析】【解析】本题的核心在于求解一元一次不等式组。解题步骤为：首先分别计算出组内每个不等式的解集，随后利用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的原则，确定该不等式组的最终解集。【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为．19.已知，求代数式的值．【答案】【解析】【解析】本道题目重点考察分式的简化与数值计算，能否灵活运用相关的运算定律是顺利解题的核心。先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值．【详解】解：原式，，，原式．20.如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，求和的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【解析】本题的核心考点在于矩形的判定方法、三角形中位线定理以及勾股定理。通过综合运用上述知识并解直角三角形，即可顺利得出答案。（1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；（2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长．【第一小问详细解析】证明：D，E分别为的中点，是的中位线，，即，，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形；【第二小问详细解析】解：，；，，在中，，，，；点D为的中点，；如图所示，过点A作于H，在中，，，在中，由勾股定理得．21.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．（1）计算k与b的具体数值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【解析】本题的核心考点在于利用待定系数法确定一次函数的表达式，以及探讨一次函数与不等式之间的内在联系。掌握一次函数的性质与相关知识是顺利解题的前提。（1）可以直接采用待定系数法进行求解；（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．【第一小问详细解析】解：在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，，解得；【第二小问详细解析】解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，，且，，当，时，和恒成立，故符合题意；当时，则且，当时，则，解不等式得，解不等式，；当时，则，解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；综上所述，．22.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．【答案】【解析】【解析】本题的核心在于考察一元一次方程的实际应用。解题的关键在于准确分析各项数量之间的逻辑关系，并据此构建一元一次方程。设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可．【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，由，可得：，解得：；所以这只风筝的骨架的总高．答：这只风筝的骨架的总高．23.学校田径队的教练组挑选了甲、乙、丙、丁四位运动员参与100米短跑项目。针对这四名选手在近期10次100米测试中记录的成绩（单位：s），教练员对其数据进行了整理、描述与分析。相关部分信息如下所示。a．关于运动员甲与乙在10次测试中成绩变化的折线图如下：b．运动员丙在10次测试中取得的成绩分别为：12.4,12.4,12.5,12.7,12.8,12.8,12.8,12.8,12.9,12.9c．关于四位运动员在10次测试中所获成绩的平均值、中位数以及方差：

甲乙丙丁平均数12.512.5p12.5中位数m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056（1）请写出表中m所对应的数值为_______；（2）根据表格数据，n_______0.056（请填入“$\ge$”或“$<$”）；（3）教练员基于这10次测试的成绩，采用以下标准来评定四位运动员的实力高低：首先对比平均数，平均数越小则表示实力越强；在平均数相同的情况下，对比方差，方差越小则实力越强；若平均数与方差均相同，则成绩低于平均数的次数越多者，其实力被判定为更强。评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次_______．【答案】（1）（2）（3）乙$\rightarrow$丁$\rightarrow$甲$\rightarrow$丙【解析】【解析】本题旨在考察对折线统计图的分析能力，以及方差、中位数和平均数等相关概念的计算与应用。准确把握题目含义是顺利解题的核心。（1）根据中位数定义即可求解；（2）通过方差的计算公式得出结果，随后进行对比分析即可；（3）可以通过对平均数、中位数以及方差进行综合分析，并结合具体题意得出结论。【第一小问详细解析】解：甲的10次测试成绩排列为：，中位数，故答案为：；【第二小问详细解析】解：乙的10次测试成绩平均数为：，方差为：，故答案为：；【第三小问详细解析】解：丙的平均数，若丙的平均分最高，则其综合实力最低，方差，在乙的实力最为强劲的情况下，丁的测试成绩中位数为，第次成绩和为，前五次测验的得分均低于平均分，在甲的测试成绩中，低于平均值12.5的次数共计2次。丁的实力强于甲，这四位运动员的实力排名由高到低依次是：乙、丁、甲、丙。故答案：乙、丁、甲、丙．24.如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．（1）求证：；（2）延长交的延长线于点E．若，，求的长．【答案】（1）请参考解析部分；（2）长为44．【解析】【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．【第一小问详细解析】证明：，分别切于A点，B点，平分，，又，，．【第二小问详细解析】延长交于点F，连接，则，，分别切于A点，B点，C为的中点，，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．【解析】本题的核心考点涵盖了切线长定理、圆周角定理及其相关推论、勾股定理、三角函数以及相似三角形的判定与性质。解题的关键在于熟练掌握切线长定理与圆周角定理，并能结合具体题意绘制恰当的辅助线。25.工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：x0123456789时y的值07810121620232526时y的值0263743m4850515253时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．（1）观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；（3）新入职的小云与小腾在结束理论知识的学习后，准备开展模拟操作与试制工作。如果一名新员工在单日内制成的合格产品数量达到或超过45个，即可被授予优秀学员证书。依照前述函数关系计算，小云在结束理论学习后，最快在第_______天能够拿到该证书；为了使小腾在理论学习结束后的4天内，所生产的合格产品总数达到最大值，结合前述函数关系可知，在这4天的时间里，应当先安排小腾进行_______天的模拟练习。【答案】（1）6（2）；画图见解析（3）7：1【解析】【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值；（2）已知从第2天起，新员工每日增加的合格品数量呈递减或持平趋势。由于第5天比第3天多试制了5个合格品，可以推断出第4天比第3天多试制了3个合格品。据此，利用表格中的数据在平面直角坐标系中描点，并绘制出相应的函数图像；（3）根据单日制成不少于45个合格品的只有与，：时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得优秀学员证书；分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．【第一小问详细解析】解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35因此，最终结果是：6【第2小问详细解析】解：日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个相差（个），把5分成两个接近的数，，在第4天时增加了3个，而第5天则增加了2个，，画出时的曲线：【小问3详解】解：单日制成不少于45个合格品的只有与，：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，；：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，，，因此，小云在结束理论学习之后，最快在第7天就能拿到优秀学员证书；因此，得出的结果是：7；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，在4号这一天，合格产品的数量依次为7，8，10，12，合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，这三天的合格产品数量依次为12，19，26。合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，在2日这两天中，合格产品的数量依次为20和30。合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，1日合格产品是26；，为了使小腾在结束理论学习后的4天内所生产的合格产品总数达到最大值，基于上述函数关系，在这4天的时间里，应当安排小腾先开展为期1天的模拟练习。因此，最终结果是：1．【核心解析】本题旨在考察如何利用表格法和图象法来描述函数。解题的关键在于熟练运用这两种表示方法，能够根据表格中的数据绘制出相应的函数图象，并深入理解函数的图象特征、基本性质及其单调性，从而准确地求解函数值或自变量的值。26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点．（1）计算c的数值，并写出b关于a的表达式；（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．若，，求的长；已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围．【答案】（1）0，（2）4；且【解析】【解析】本题的核心考点涵盖了利用待定系数法确定二次函数的表达式、二次函数的图象特征及其性质，以及二次函数与一次函数的综合运用。解题的关键在于通过数形结合的方式并采取分类讨论的思想来深入分析。（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案；（2）结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；首先确定，再分和两种情况分析求解即可．【第一小问详细解析】解：将点代入，抛物线，可得，该抛物线解析式为，将点代入，抛物线，可得，解得；【第二小问详细解析】若，则该抛物线及直线解析分别为，，当时，可有点，如下图，轴，，将代入，可得，即，将代入，可得，即，；当点P从点O运动到点的过程中，轴，，，将代入，可得，即，将代入，可得，即，，令，即，解得或，若，可有，即点在轴右侧，如下图，当时，可有，其图像开口向下，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大，则，解得，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意；若，可有，即点在轴左侧，如下图，当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大，则，解得，．综上所述，a的取值范围为且．27.在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．（1）如图1，，点与点重合，求证：；（2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）【解析】【解析】该题旨在考察旋转变换的特性、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的相关结论，以及三角形内角和定理和平行四边形的判定与性质。解题的核心在于对旋转性质的熟练运用。（1）根据，得出，根据旋转可得，，进