河南省开封市五校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省开封市五校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=−i9−8i的虚部为(

)A.−8 B.8 C.−9 D.92.已知向量a=m+1,2,b=3,−m，若A.−3 B.0 C.3 D.43.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB=3AF，则EF=(

)A.16AB−AD B.−164.下列说法正确的是(

)A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥

B.直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π4，cosC=137，A.723 B.12276.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′//O′B′，A′C′⊥B′C′,A′C′=1,O′B′=2，则以原四边形AOBC的边AO为轴旋转一周得到的几何体的体积为(

)

A.723π B.1427.任何一个复数z=a+bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z=rcosθ+isinθ(其中r≥0，θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现rcosθ+isinθnA.4 B.6 C.8 D.108.在▵ABC中，AC⋅AB−CB=2BAA.−23 B.−13 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B，C是三个不同的点，m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论错误的是(

)A.若m⊄α，A∈m，则A∉α

B.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB

C.若m⊂α，n⊂β，则m与n为异面直线

D.若A，B，C是平面α内不共线的三点，A∈β，B∈β，则C∉β10.已知复数z1，z2，z1为z1A.z1+z1为实数 B.|z1|=|z111.数学家欧拉曾提出欧拉线定理：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上(重心在外心与垂心之间)，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被称为三角形的欧拉线.已知▵ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，若AB=23，AC=5，BC=3，则(

)A.AO⋅AB=6 B.CG⋅AB=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b的夹角为23π，且a=2，b=5，则a在13.如图，在正三棱锥A−BCD中，∠BAD=40∘，从C点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱AB，AD回到C点，若细绳的最短长度为26，则该三棱锥的侧棱长为

．

14.如图，某湖泊沿岸有A,B,C,D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3km，A镇与C镇之间的距离为6km，测得∠DAC=120∘，∠BCD=90∘，∠BDC=30∘，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=(2m2(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围;(2)当m=1时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q16.(本小题15分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3a(1)求a2(2)若B=2π3，▵ABC的面积为1517.(本小题15分)如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为3cm，高为5cm，内部挖去一个高(1)当a=10(2)当a为何值时，该艺术品的表面积最大？18.(本小题17分)如图，在▵ABC中，CA=2，CB=3，D,E分别是边AB,CB上的点，CD与AE交于点O，且AD=13(1)若∠ACB=π3，(i)求AE⋅(ii)求COCD(2)若存在实数λ∈14,13，使得19.(本小题17分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m=(sinA−sinB,c+(1)求角B的大小;(2)若b=7，点D是AC的中点，且BD=12(3)已知△ABC的面积为3，且△ABC所在平面内的点P满足∠BPA=∠BPC=12∠APC=π参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.A

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.−13.214.515.解：(1)因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限，

则2m2−3m−2>0m2−m−2<0,

解得−1<m<−12，

即m的取值范围是(−1,−12).

(2)当m=1时，z=−3−2i，

因为z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，

所以z16.解：(1)由a=3acos可得：a=3a×化简得2c(a−3c)=0，则得a=3c，故a2(2)由S▵ABC=由(1)已得a=3c，解得a=3由余弦定理，b=(35设AC边上的高边上的高为h，则由S▵ABC=故AC边上的高为3

17.解：(1)当a=103时，设圆柱的半径为r，则3−r3=1035，解得r=1．

此时该艺术品的体积为V=13×π×32×5−π×12×103=35π3cm3；

18.解：(1)(i)∵AD=1∵AE∴AE(ii)∵BE=1设COCD=μ，则∵A,E,O三点共线，∴2μ3+μ2(2)∵BE=λBC∴AE∵AE⊥CD，∴31−λ∴cos∵λ∈14,13∴cos∠ACB∈512,1

19.解：(1)因为m=(sinA−sinB,c+3a)，n=(a+b,sinC)，m⊥n，

所以m⋅n=(sinA−sinB)(a+b)+(c+3a)sinC=0，

由正弦定理得(a−b) (a+b)+(c+3a)c=0，即a2+c2−b2=−3ac，

所以cosB=a2+c2−b22ac=−3ac2ac=−32，

又B∈(0,π)，所以B=5π6；

(2)因为点D是AC的中点，所以BD=12(BA+