《数字信号处理》期末考试原题

<〈数字信号处理01级试卷>>A卷附参考答案

一.(26分，题(1)每空2分，其他每空3分)填空题.

⑴系统N〃)=x(〃)sin[生〃+。翼线性的,不是时不变的;系统地)=£x⑹坯是稳定的，漫因果的・

36

⑵设X(e"')=歹『[«〃)],则Re[x(n)]的FT为””“，)+X・化；±X(*)的IFT为-jnxM.

2dco

(3)设因果性序列x(〃)的Z变换为X(z}=______!_______,则以0)二X(8)=N_;

1-1.5ZT+0.5Z-2

(4)设卜(〃)}：=o={3,1,2-1},但(〃)匕={123,1},则王(〃)与公(〃)线性卷积为{371395.—卜1}]。,4点循环卷

积为依6.12.9}：“

(8分)设一个因果的线性时不变系统的网络结构如下：求系统的单位取样响应

解：由网络结构得差分方程为：y(/?)=A(„)+1A(„.1)+1y(n-1)令》(〃)=久〃)，得刀(〃)=演〃)+$(〃_1)+"(〃_])

由于系统是因果的，故h(n)=0,〃<0,那么就有A(o)=^(0)+1^(-1)+1/,(_1)=1A(1)=(y(i)+1^(o)+-h(0)=1

2222

h(2)=5(2)+-J(l)+-h(\)=-〃(〃)=6(/7)+(:尸

2222

三.(8分)利用DFT对实数序列作谱分析，要求分辨率F<50Hz，信号最高频率为IKHz,求以下参

数：(1)最小记录时间Tpmm；Q)最大采样间隔［皿；(3)最小采样点数乂而；

(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值.

解：因为所以

r>l=-L=0.025r,min=0.0252分

o厂50

又要求£22,所以7mL，=_^=0.5'10-3广,2分必加=岂=^2^=40

max2.42x10070.5x10-3

为使频率分辨率提高一倍，则/=5Hz,那么N,=4=

min13=：。

四.(10分)一个线性时不变系统的单位脉冲响应为___1_

h(fj)=a"u(n)(0<a<1),当输入为71=0\-pe

x(n)=flnu(n)(0</?<1),y(")V)PP"铝一抑"

1

(1)输出M〃)，并将结果写成形Ma-Pa-fl

nn1,aP

式:y(n)=(k1a-k2p)〃(〃);)

a-p\-ae

(2)分别计算/?(〃)/(〃)和y(n)的傅里叶变换"Be*

由于।，)=------------------------------

Hd),x(*)和y(/&)并验证a-fi\-ae-f,aI-fie-^(1一。。-小)(|一£。-小)

y(*)=X(ea)•，(/).故y(*)=X(e*")・〃(").

解:⑴y(〃)=x(〃)*/?(〃)五.(8分)设x(〃)=(0.5)”〃(〃)，I)求出其偶函数五(〃)

PCoo

=Zx(k)h(n-k)=aku(k)pnku(n-A)和奇函数乙(〃)的傅里叶变换；

X--x>

2)求其")的2变换及收敛域.

=夕£(37)*=夕||一(步严］

x解：1)

ho\-aP-

¥(*)=£x(〃)e-a”=£(0.5)夕加1

\_ap-'«>01-0.5".

I-a/7口/!=0

或、(〃)=』"-十")"(”)“优⑺]=Re|%(^)|=Re|\_J=寄竺色

(2)X@")=£x(n)e-jMn=£ane-jMn=1尸“儿(叫=j\m\X(en\=jlm|1J=岩浊丝

jM1-0.5e71.25-cosfw

n=-^n=0\-ae-

所以.

2)X(z)=£x(〃)z-"=£(0.5)“Z-”二1八二

"-f"・o।—U・3Z七.(12分)对于长度为8的序列，试问如何利用长度

为，的计算的点写出表达式,并画出

—3,一11FFT8DFT?

六.(8分)设X(z)=------,-<|z|<2,求其逆简略流程图.

2-5z-'+2z-72211

解：

Z变换》(〃).

X(£)=£x(〃)瞰=£x(2「M哦+£x(2r+1)吧2川)*

3-1

解：什T_44w=0r=0

A\Z)---------------------7十~=i>°⑺乙+%吆为⑺9

(l-2z-')(l--z-')[~2z

r=0r=0

4=(1-2ZT)X(Z)L=T，=X0G)+%"M(A),&=0,1,2,3①

]X(k+4)=

A2=(\~Z-)X(Z)=1

£x。")X”)HV(…)

-11r=Or=O

*(z)=*

l-2z-'=tx0(〃)忆“-%收

2r=Or=O

又g<*2=X°⑻-畋X(Z),攵=0,123

②按照式①和式②可画出其流程图如下:

八.(8分)设二序列：&(砚0={1,13,1}及k(〃)}：-0={2,122},利用一次FFT系算诵7®与X式k).

解：令x(〃)=»(〃)+吃(〃),X(k)=OfT[x(〃)],则X、(k)=g[X(Q+X"(4-4)|,①

x(万)

占⑻=上[、(幻-『(4-%)],②X(k)

2./A(0)=%(0)=6+7；

*2)=%(1)=-3

X(2)=2+./

X(3)=-l

由式①和式②,可得：分别画出系统的直接型.级联型和并联型结构.

乂伏)={6厂2,2,-2},起优)=亿儿-/}解：(1)因为

九.(12分)设一因果线性时不变系统的系统函数为:

所以，直接型为:

或

x(n)C一~)o>•(«)

所以并联型为:

M〃)a—<卜

所以级联型为:

信号处3S»（B卷）01级附参考答案

1.一、判断题（正确的打“J”，错误的打“X”，每小题2分，共10分）。

2.反因果信号只在时间零点之前有值。

3.抽样信号的频率不会超过抽样频率的一半。

4.nx（n）的Z变换结果是-zX（z）。

5.实信号的傅里叶变换的相位频谱是偶函数。（X）

6.信号在频域中压缩等效于在时域中扩展。（V）

1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）。

2.下列关于傅里叶变换特性的公式不正确的是（B）

3.A.B.C.D.

4.用计算机对信号进行处理时要涉及下列步骤（C）。

5.A.编码、传输、解码B.采样、量化、计算C.模数转换、数字信号处理、数模转换D.平移、反褶、相

乘

6.等丁•（C）oA.2^B.nC.1D.不存在

7.下列说法正确的是（A）。

A.单位冲击函数的频谱等于常数B.直流信号的频谱是阶跃函数

C.信号时移会使其幅度谱发生变化D.可以同时压缩，言号的等效脉宽和等效带宽。

卷积不满足的特性是（D）。A.交换律B.结合律C.分配律D.互补律

三、填空题（每小题3分，共18分）。

■纪

1.DFT的变换核外二2.奇周期函数的傅里叶级数中不包含余弦项。

3.利用阶跃函数t）来表示符号函数的公式为次〃⑺=2〃⑺-1。

4.f（t）^6（t-t0）=f（t-tO）o5.Z变换的收敛域通常以极点为边界。

1.6.己知正弦信号，其角频率为2兀3„

四、证明题（每小题4分，共8分）。

2.设序列x（n）的双边Z变换为，则序列在左移的双边Z变换等于。

证明：根据双边Z变换得定义，可得：

若，则。

证明：因为所以

五、计算题（共49分）。

1.（6分）已知，求F[f（t）]o解：

（8分）设g（t）的频谱为G（3）,求信号的傅里叶变换。

解：因为所以

2.根据频移特性，可得f（t）的频谱F（s）为

3.（8分）用部分分式法求X（z）=r----------的逆变换x（〃）（|z|>l）o

z2-1.5z+0.5

解:利用部分分式展开法可以展开为

4.因为|z|>1,所以x（n）是因果序列，于是

（12分）设，

（1）利用矩阵列表法计算线性卷积士（〃）*与（〃）；⑵计算循环卷积MS）%。?）；

解：（1）令列表如下：

那么》5）={3,7,13,9,5,-b1}：=0312T312

（2）循环卷积列表如下：--------------------------------------------

4_1321

所以王（〃）*工2（〃）=[8,6,12,9]o

（15分）已知序如，用时间抽取算法求的点o请写出推导过程，画出完整的流程图，并算出结果。

解：X（A）=力=2*（3，）吧戊+2汹31+1）匕3川）*+Zx（3，+2M3r如=£x（3「）呼+方之式3广+1）叱+叱之x（3r+2）W

/i=or=0r=0r=0r=0r=0r=0

=G.（k^GSk）^W~kGSk）

按照上式，画出其流程图如下：

<<数字信号处理>>02级试寇A卷

8.单项选择题（每小题4分，共20分）.

9.设下列系统X（〃）是输入，M〃）是输出•为韭时空系统的是（B）.

10.A.B.C.D.

设，的傅里叶变换分别是，则的傅里叶变换为（D）.

11.A.B.C.D.

12.设线性时不变系统的系统函数.若系统是因果稳定的,则参数的取值范围是（C）.A.B.

D.

13.设x（〃）的N点DFT为X（k）.则/（〃）的N点DFT为（A）.

14.A.B.C.D..

二.基-2的DIT-FFT复数乘法为（D）.A.B.C.D.

15.填空题（每空4分，共24分）.

16.线性时不变系统是稳定的充要条件是，单位采样响应满足.

17・设»（〃）={1,2,2,-1}晨-2（〃）={321、1}二，则演00与工2（〃）线性卷积为38,11.421-斗黑，4点循环卷积为15.9」（）.4}：“

18.设因果性序列x（〃）的Z变换为x（z）,3：2J则x（8）=z3_；

-j3（t）

19.设x（〃）=6（〃—3）,则xS）的傅里叶变换为£.

20.设x（n）=RAn）,则x（〃）的8点DFT为如配勺＞

2/8

5.计算题（共56分）.

6.（8分）利用DFT对实数序列作谱分析,要求分辨率尸工20〃z,信号最高频率为1K法，求以卜.参数:最小记录

时间70mM；最大采样间隔Znax；最小采样点数；在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的"值・

7..解：因为所以又要求所以为使频率分辨率提高一倍，则，那么.

（8分）已知，求其逆Z变换.

解：X(z)=——_=4户-jt-4=(1-0.5z-')X(z)1M=3,4=(1-2zT)X(z)L=2

(l-0.5z-')(l-2z-')1-0.5Z-'\-2z-'

3

所以X(z)=+=3£(0・5/y-z-A—=3X(0.5z-')"一z£(0.5z)“

1-0.5z1-2z；f=o1-0.5z/r=on=o

=£3(0.5)"-"—®22z-"所以M〃)=3(0.5)"〃(〃)-2・2"〃(-〃-1)

n=O

(12分)设二序列：及，利用一次计算出计算出它们的

与•请写出推导过程，画出流程图，并算出结果。X,(%)==TX(Z)-X*(4-Q],②

2J

解:令x(n)=项(〃)+jx2(n),X(k)=DFT[x(w)],

由式①和式②，可得:Xx(k)={7,-1+4-4；),

则X⑹=乂⑻+四2⑹

玛(%)={6,1-7,4,1+/}

乂(%)=夕Xa')+X*(4-%)],①

8.（12分）已知序列x（n）={1,1,1,-1,-1,-1},用时间抽取FFT算法求x（〃）的6点DFT.请写出推

导过程,画出完整的FFT流程图，并算出结果.

解:刀/）=＞（〃）叱=春（3〃）叱+.M3「+1）吃3"1H+t（3「+2）嗽*伉⑹+匕心⑹+右匕式左）

n=Or=Or=Or=6

按照上式;，画出其流程图如上：所以.

0

2(l-j^)

0

2

0

2(l+j百)

10.(8分)求下图所示系统的状态方程、输出方程和系统

函数.又因为[z/-4]=

.解：系统的状态方程和输出方程如下：

1

wi(n+1)0-0.1%(〃)1

+》(〃)z-OAz+O.lz

吗(〃+1)10.1J[_叱(〃)2

H(z)=C+d=1+24+z-

y(n)=[0.51.05]+x(〃)l-0.1z-l+0.Iz-2

尸2(9

11.(8分)设一系统的系统函数为：分别画出系统的直接型和并联型网络结构.

解:直接型为：

⑵}

,,,、c11+2z-

”(z)=2十--------：---------十---------:---------

1--z~11+-z''

22

并联型为

〈＜数字信号处理＞＞02级试题B卷

1.单项选择题(每小题4分，共20分).

2.设下列系统，x(〃)是输入，y(〃)是输出.则系统是线性的是(A).

A.B.C.D.

2.设，的傅里叶变换分别是，则的傅里叶变换为(B).

A.B.C.D.

3.设线性时不变系统的系统函数.若系统是因果稳定的,则参数的取值范围是(C).A.B.C.

D.

4.设的点为.则的点为(B).

A.B.C.D..

1.5.基-4的DIT-FFT复数乘法量为(D).A.B.C.D.

2.填空题(每小题4分，共20分).

3.线性时不变系统的单位采样响应为久〃)，输入x(〃)，则输出y(〃)=x(〃)*〃(〃).

4.线性时不变系统是因果的充要条件是，单位采样响应满足.

5.设因果性序列x(n)的Z变换为x(z)=-------J-------,则x(0)=_1_;x(8)=_____2_.

l-1.5z_,+0.5z-2

—J3co

6.设x(〃)=b(〃一3),则x(〃)的傅里叶变换为g______.

7.设x(〃)=R4(n),则x(〃)的8点DFT为；孔呜/呜”.

1.计算题(共60分).J,=(1-2Z-,)%(Z)|..=-1,

2A=(i--z-')y(z),=1

2.(7分)设X(z)=一31，/＜目＜2,求其逆Z

2-5z-'+2z-2211_1I

变换X(〃).x(z)=Y^7r+—^

111—z-

解：一，T2

—「b+工又，即序列为双边序列

所以x(n)=2一"〃(〃)+Tu(-n-1)=少.2）计算4点循环卷积阳（〃）*12（〃）；

解:（1）令列表如下:

2.（8分）设x（〃）=（0.5）”〃（〃），

01o—1

1）求出其偶函数升（〃）和奇函数七,（“）的傅里叶变换;

1X./1/2-1

2）求汹〃）的Z变换及收敛域.

2■■■/2/4-2

/y

/J

.解：1)X(e，")=£x(〃wS(0.5)W=————3/3/6-3

//

1-3-i2-1

ET[x,(〃)|=Re|^(e-)|=R[—^—]=；片。-

c1-0.5<?J1.25-cos。

那么y(«)={3,7,13,9,5-1-l}to

FT\xSn}\=；lm(%(e>)|=jhn[:"抽①（2）循环卷积列表如下:

1-().5eJ1.25-cosfy

n

2)X(N)=£x(n)z-=£(0.5)"z-"1-0.152-151忖1〉51

«=-<cn=0

（10分）设,

1）计算线性卷积内（〃）*工2。。；所以须(〃)*/(〃)=区6J2,9].

4.（8分）利用DFT对实数序列作谱分析，要求分辨率F<20Hz.信号最高频率为1K%，求以下参数:最小记录

时间々min；最大采样间隔Max；最小采样点数；在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值.

解：因为r>—=—=0.05^所以Jun=0♦°5s

PF20

又要求£22/.所以T=_!_