北师大版必修第二册51直线与平面垂直作业

【优编】5.1直线与平面垂直-1作业练习

一.填空题

1.已知四面体ABCD的所有顶点在球。的表面上，481平面BCD,AB=CD=26,NCBD=45。,

则球。的表面积为.

2.如图，已知正四面体0一480的棱长为2,动点M在四面体侧面"C上运动，并且总保持

MB1PA,则动点M的轨迹的长度为.

3.如图，正方形BCDE的边长为a,已知AB=6BC,将△48E沿8E边折起，折起后4点在平

面BCOE上的射影为。点，则翻折后的几何体中有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是V2.

②CE.

③TTCE是3；

④平面48c_L平面ADC.

⑤直线E4与平面ADB所成角为30°.

其中正确的有.（填写你认为正确的序号）

4.己知.a,b,c是三条不同的直线，夕是一个平面，给出下列命题：①若a上b,b//c,则a'c；

11

②若c/16/_Lc,则a//c；③若a>b,b]〃,则。上夕；④若aL/3、b/甲,则。_L6.其中所有

真命题的序号是.

5.己知三棱锥〃一力4c中，侧面P4C_L底面/8/C=90。，AB=AC=4fPA=PC=273,

则三棱锥P-44c外接球的半径为.

6.已知三棱锥〃_4夕0,VA=VC=M,AB=BC=1,AC=41t二面角【/一—5的余弦值

为则该三棱锥的外接球的体积为.

7.在正方体"38-44GA中，点片，4分别为4G的中点，则下列说法正确的是.

①阳〃平面AF\C②DF\〃平面gc

③CE]1平面ABF.④4c1平面"4

8.在矩形"BCD中，ABvBC,现将△力8。沿矩形的对角线8。进行翻折，在翻折的过程中，给出

下列结论：

①存在某个位置，使得直线力°与直线2D垂直；

②存在某个位置，使得直线48与直线CQ垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

其中正确结论的序号是.

9.如图，已知正三棱柱"8C-44G的各条棱长都相等，用是侧棱℃的中点，则异面直线

所成的角的大小是_________________

io.已知正方体的棱长为。，异面直线8D与4用的距离为

11.下列命题中，正确的为(正确序号全部填上)

(1)空间中，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；

(2)一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角相等或互补;

(3)直线。，5为异面直线，所成角的大小为40。，过空间一点夕作直线0使1与直线。及直线。

都成相等的角7()°,这样的直线可作3条；

(4)直线。与平面°相交，过直线。可作唯一的平面与平面0垂直.

12.如图，正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为2及，则/G与面488/所成的角为

13.已知底面是正方形的直四棱柱一48£"的外接球的表面积为40万，且48=&，则4G

与底面ABCD所成角的正切值为.

14.如图，在正方体中，点尸在线段“0上移动，有下列判断：①平面8QP//平

面BQC；②平面尸平心AJ③三棱锥尸一与瓦的体积不变；④PGL平面40c.其

中，正确的是.（把所有正确的判断的序号都填上）

15.在三棱柱'8C44G中，侧棱"4,平面"4G,"4=1,底面△ABC是边长为4的正三角形,

则此三棱柱的体积为.

4V.

参考答案与试题解析

1.【答案】24乃

【解析】将四面体补成直三棱柱'GA-8CQ,根据题意画出图象，设△8CD的外心分

别为尸，°,则点。为线段产。的中点，求出在△8°°根据正弦定理，求出忸根据勾

股定理和球的表面积公式，即可求得答案.

详解：丁四面体AB。。的所有顶点在球。的表面上，且“8J_平面BC。，

・二将四面体补成直三棱柱"GA-88,

设△/GA,△8CO的外心分别为/>,0,则点。为线段尸。的中点，

根据直棱柱特征可得：•面8co

根据题意画出图象，如图：

\CD\

—!——!—=2R

在根据正弦定理：sin/CBO（〃为三角形外接圆半径）

根据。为"CQ的外心，可得忸。|为△88外接圆半径

\BQ\=-x―—=2

即।।2sinACBD,

•.・00,面8。0,BQu面BCD

:.PQiBQ

故AB°Q为直角三角形

在七△B。。中，根据勾股定理可得：Q却2=|。°『+忸°『=6

4。=44x|o*=24万

故答案为：247r.

【点睛】

本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的

方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.

2.【答案】百

【解析】取PA的中点E,连接EB,EC,推出PA_L平面BCE,故点M的轨迹为线段CE,解出即可.

详解：取PA的中点E,连接EB,EC,因为几何体是正四面体P-ABC,所以BEJ_PA,EC±PA,EBCIEC

・・.，A_L平面BCE,且动点必在正四面体侧面尸"C上运动，总保持.••点M的轨迹为线段

CE,

•••正四面体P-ABC的棱长为2,在等边三角形PAC，催得CE=冬2=百

故答案为：退

【点睛】

本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题.

3.【答案】®@®®

【解析】由BC//QE可得43c为48与OE所成角，计算出长度后即可判断①：由线面垂直的判

定可得CEJ_平面力8。，再由线面垂直的性质即可判断②；由三棱锥体积公式即可判断③；由面面垂

直的判定即可判断④；由线面角的求解方法即可判断⑤；即可得解.

详解：由题意，AB=y5BC=>5a,AE=6a,平面8CQE,

•AD=aAC=\[2a

••，，

由于BC//DE,.../ABC为AB与DE所成角,

•:AB=y/ia,BC=a,AC=亚a,：.BC上AC,：.tan/ABC=6,故①正确;

连接CE交BD于F,由CELB。，4DJ_平面BCOE,CEu平面BCDE,

：.4DLCE,，CE1平面力BD,1.CE14B,故②正确；

VB-ACE=VA-BCE=1S^BCEX=[X/

3326,故③错误;

・.・2。_1_平面8。。石，3。匚平面8。。£,：tADA.BCf

•/BC_LCD,.・.BC_L平面ADC,

•・・4Cu平面48C,.・.平面力8CJ•平面"OC,故④正确;

由②知七尸_L平面力8。，连接力少，

则Z.EAF即为直线AE与平面ABD所成角，

H卜=ar-

在A4FE中,2,AE=<2a,

.EF1

sinZ-EAb=----=—…「“c

・•.4E2,KijZEAF=30,故⑤正确.

故答案为：①②®@.

【点睛】

本题综合考查了线线.线面.面面关系的求解，考查了三楼线体积的求解，属于中档题.

4.【答案】①④

【解析】根据线线，线面的位置关系分别判断选项，①显然成立；②将线线的位置关系放在正方体中

研究问题；③不满足线面垂直的判断定理；④根据线面垂直的性质定理判断选项.

详解：因为b//c,alb,所以所以①是真命题.如图，在正方体中，令

5"=仇5£=。m4=',平面/4他为平面£,满足。_L”)_Lc,但此时a与c相交,所以②

是假命题.满足〃"也力，但直线所以③是假命题.”力，若过直终b隼一个平面a与

£相交，且交线为1,则〃/〃，因为夕Ju夕，所以又bill,所以。_L/),故④是真命

题.综上可知，所有真命题的序号是①④.

故答案为：①④

【点睛】

本蕨考查线线，线面的位置关系的判断，属于基础题型.

5.【答案】叵

2

【解析】设三棱锥夕-44c外接球球心为0,半径为R,如图所示作辅助线，设。«=”,则

R?=(PD-hg+OH2

R2=/+CO：,解得答案.

详解：设三棱锥尸一力8c外接球球心为°,半径为“，

Q

ZBAC=90f故。在平面“3C的投影为8c中点3,D为4C中点,

PA=PC,故W4C,侧面4c,底面"AC,故PO_L底面48c

连接作。于，，易知为矩形，设0°叫

R2=(PD-h)2+OH2734

则R=h+C°「PD=26,OH=DO1=2,CO1=2^2解得我2

V34

F

故答案为:

【点睹】

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.【答案】屈九

［解析］取40中点为〃，连结物，BM,・.,VA=VC=非，AB=BC=\

；VM1AC,8MJ.4C,.・.N匕08就是二面角P-ZC-B的平面角，

a1

AM=—VM2=5—=—BM2=1—=—

222,22

•.•ra=V6，

所以射+452=0，rc2+5C2=ra2,/以5与/PCB都是直角,

V^-71=乖沉

所以该三棱锥的外接球球心是电的中点，

7.【答案】④

【解析】①②③错误，采用反证，假设正确，再根据线面垂直，线面平行的性质推出矛盾；④先证明

4。,4月，再对称考虑有4cd•4G,最后通过线面垂直的判定推出结论.

详解：①连接80,4°,有BD1AC,故80J.平面力6。.假设^石〃平面力々C,则

有BD上BE、而BD上BBj故8O_L平面84片,于是BD工AB,矛盾，所以此命题错误.

②设BD与4c交于°,则B\F"DO,B\F\=DO,故四边形BROD是平行四边形，所以有DFJ/B.O

假设。片〃平面"E。，因。在平面“片。上，故片也在平面月片,上，而直线片片直线和"C为异面

直线，矛盾，所以此命题错误.

③假设1平面”姐，则必有M,月〃，而乂有_L48,故AB1平面BC%于是有4BLBE、,

矛盾，所以此命题错误.

cotZJJ,C=4^=—tanAA.AF,=^4-=^

④连接,则有CA2,又因为4月2,所以有

444。+4/6=90°,故'"4°.6是4G的中点，由正方形性质，Bl九片三点共线.

所以平面凹。即是平面您%同理设4。的中点为G,则用G_L4C,于是有4cl平面阴气

故4c，平面加

故本题的答案为：④

【点睛】

此题考查空间线面平行，线面垂直等知识，属于较难题.

8.【答案】②

【解析】如下图，若/C1"。，已知W8O，那么BO,平面4C/7,则BO_L力/，这与3。1月七

矛盾，点民厂不会重合，所以①不正确：若力8J_CO,已知中CO_L8C,则CD_L平面ABC,

点彳在平面8CQ内的射影落在线段8c上，并且为C=x/402一℃2,所以存在某个位置使

力B_LCO；所以②成立；若40,40,已知8C_LCO,所以8CJ_平面/CO,即4C_L4C,那

AB>BC,这与已知矛盾，所以③不正确.

9.【答案】90°

【解析】取"用的中点H,因为正三棱柱"8C-45c的各条棱长都相等，”是侧棱CG的中点，

易证MCM邕A8£M,因为N是/々的中点，所以J_MN,又/4J.48,所以

期1平面48M,所以叫18%所以异面直线阳和8M所成的角的大小是go二.

考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.

点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角.

10.【答案】a

【解析】根据线面垂直性质可得8用上8°,又可知所求距离为从而得到结果.

•；BBJ平面4BCD,BDu平面4BCQ：

又叫1...异面直线3Q与4片之间距离为四=a

故答案为。

【点睛】

本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.

11.【答案】（1）（3）

【解析】（1）利用等角定理，即可判断正误；

（2）列举反例，即可得出结论；

（3）利用异面直线所成角，即可判断正误；

（4）列举反例，即可得出结论.

详解：（1）空间中，若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

则由等角定理知，这两个角相等或互补，所以（1）正确；

（2）如图，平面6,/两两垂直，=m，且〃uy,〃_La,

过直线〃作平面8,此时夕,乙aL（p,

二面角二一加一£为90°,而满足条件的平面。有无穷多个，所以二面角7一〃一。无法确定，

所以（2）错误；

（3）直线。，b为异面直线，所成角的大小为40。，过空间一点尸作直线乙

设直线1与直线。及直线人都成相等的角a,

若0。＜〃＜20。，可作o条；

若a=20。，可作1条；

若20。＜0＜70。，可作2条；

若a=70。，可作3条；

若70。＜。＜90。，可作4条；

若a=9（）。，可作1条，

所以（3）正确；

（1）若直线。与平面a垂直，过直线。可作无数个平面与平面0垂直，所以（4）错误.

故答案为：（1）（3）.

【点睛】

本题考查等角定理的应用.二面角的概念.平面与平面垂直的判定定理及异面直线所成角，属于中档

题,

12.【答案】7

0

【解析】取"S的中点小,连接.AD,证明出J■平面,可得出直线"G与面”88/

所成的角为/C/O,计算出和G0,进而可求得/c/3.

详解：如下图所示，取44的E点0,连接G0.ADt

"MG为等边三角形，。为4玛的中点,则CS44,

44J■平面44GCQu平面48£C!£).LAAX

又"4仆4々=4,.•.G。'平面...直线与面”8片4所成的角为/c/°,

易得AC】=。AC2+CC；=2为ciD=4cismy=^

cD1

sinN0

在处"GD中,ZC}AD=4—G^—=2-,••44。为锐角，则“川AD=—6.

It

因此，直线"G与平面""片4所成的角为7

H

故答案为：Z.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角的计算，考查计算能力，属于中等题.

13.【答案】3

【解析】求出直四棱柱"8。°一48£2的外接球半径〃历，从而"4=6,由℃,平面N8CQ,

得NC/C是与底面44co所成角，由此能求出“G与底面48CO所成角的正切值

详解：解：:底面是正方形的直四棱柱"88-44GR的外接球的表面积为40",

且AB=近,

所以直四棱柱48GA的外接球的半径47r

2

—=A/10J4_z

2，解得"4=6

AC=yjAB2+BC2=12+2=2

•••eg_L平面/BCD,

・•.NG/。是4G与底面4BCD所成角,

tanZC,JC=^-=-=3

1AC2

.."G与底面"BCO所成角的正切值为3

故答案为:3

【点睛】

点评本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线.