《数值分析》第五章

习题5

1.导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。

(1)左矩形公式:bf(x)dxf(a)(ba)

a

(2)右矩形公式:bf(x)dxf(b)(ba)

a

bf(x)dxf(^2)(ba)

(3)中矩形公式:

a2

解：⑴f(x)f(a),bf(x)dxbf(a)dxf(a)(ba)

aa

bf(x)dxf(a)(ba)bf(xyixbf(a)dxb(f(x)f(a))dx

aaaa

bb12

af()(xa)dxf()(xa)dx一(ba)f(),,(a,b)

a2

(2)f(x)f(b),bf(x)dxbf(b)dxf(a)(ba)

aa

bf(x)dxf(b)(ba)bf(x)dxbf(b)dxb[f(x)f(b)]dx

aaaa

bf()(xb)dxf()b(xb)dx由a)2f(),,(a,b)

aa2

ab

(3)法1f(x)f(2),

:f(x)dx4(a^L)dx"时看

ba—Lbbab

af(X)dxf(2曲,f(戮”)dx

a~~5

bf(x)f()dx

a2_

abab1ab

bf()(x_)_f()(x产dx

a2~~T22

ab匕ab1ab2

f(2)dxf()U)dx

22a2

%f()(ba)3

法2可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式H(x)

ab4babQb

满足

H/\/\//\有

(7(!H(T1)

\22\/2\一2\-/

H(x)f(^)f(pK)

f(x)H(x)2f()(x(a,b)

bH(x)dxH(L2)(b

a2

于是

babbb

af(x)dxf()(ba)f(x)dxH(x)dx

2aa

f(x)H(x)dxblI)(xaU)2dx

b-----------------

aa2!2

口~^b(x4L()(ba)3

2a224

2.考察下列求积公式具有几次代数精度：

(1)"(x)dxf(0)》⑴：

02

<2)\f(x)dxf(玄)唁)。

解:(1)当f(x)1时，左=1,右=1+0=1,左二右;

11

当f(x)X时，左,右=0左二右;

222

1

当f(X)X2时，左二右=1,左右,代数精度为1。

O

(2)当f(x)1时,左=2,右=2,左=右:

当f(x)X时，左=0,右=(

2

当f(x)X2时，左右

当f(x)X3时，左0，右

2

当f(x)X，时，左一右

5

精度为3。

3.确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次

数。

1)\f(x)dxif(1)2f()3f()]；

2

(2)；f(x)dx^(f(a)f(b)]a(ba)[f(a)f(b)];

⑶；f(x)dxaof(1)a1f(0)a2f⑴。

1

解：(1)当f(x)1时，左2,右干23)2,左二右；

当f(x)x时，左0,右4123),

21

当f(x)x2时，左幻右耳(12232);

要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当、满足

g[(12232)

r231

彳2321

1

3(12)

22：(12产1

6242413

102420

52210

1并1前1212q厂

-1一(13

12而5L1,2

35515

求积公式(1)：

111'612<6

(A)

f(x)dxf(1)2f()3f(515)

135

求积公式(2)：J-

1T1-^6-

T2T(B)

f(x)dxf(1)2f()3f(_

135

当f(x)x3时，(A)的左端为1。1

1161263

(A)的右端12◎1

3%亚：)

116a126

(B)的右端12()3(51

35

(A)和(B)的代数精度均为2。

hA

(2)bf(x)dxf(a)f(b)_(ba)2[f(a)f(b)]

a2

当f(x)1时，左b-a：右202a(力劣ba—2

当f(x)x时，左之々a),右2gb]2伽a)

1

当f(x)x2时，左(b3a3),

。d22

右丁(ab)(ba)(a2b)

1

(ba)[^a2)2(ba)2]

要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当

11

(b创典*a2)2(ba)2]Jb3a3)

i(b2a2)2(ba)2Jb2abaj

2

a)2：仔2aba2):

2(b

bf(x)dxZ_4f(x)f(b)]%a)[fla)f(b)]

当f(x)x3时，左bx3d>:*a^),

a

右_。[4a3b3.]a)[3a%]2

―力22ab2b2(ba)j

l(b2a2)(a2

abb2)-(b2a2)(ba)2

22

i(ba)[2a22ab2b2(b22aba力

4

；(b4a4)

1555।

当f(x)x4时，左bX4d)<_(ba),b°的系数

a55

ua

a4b4]令a)(4a),3

右丁4；

1111

其中b5的系数—下因而代数精度为3。

2t65

5.设函数f(x)由下表给出:

X1.61.82.02.22.42.6

f(x)4.9536.0507.3899.02511.02313.464

X2.83.03.23.43.63.8

f(x)16.44520.08624.53329.96436.59844.701

解：x1.82.02.22.42.62.83.03.23.4

f(x)6.0507.3899.02511.02313.46416.44520.08624.53329.964

X1.8ih,i0,1,2,,8

(1)复化梯形公式h0.2,1

17

T8h[A(f(x0)f%))f(x)]

0.2[；(6.05029.964)7.3899.02511.023

13.46416.44520.08624.533]

23.9149

(2)h0.4

04Y-II£X4LI«•勺”I«.中I

66

QAQA

[f(2.6)4f(2.8)f(3.0)][f(3.0)4f(3.2)f(3.4)]

o6

DA

{f(1.8)f(3.4)2[f(2.2)f(2.6)f(3.0)]

6

4[f(2.0)f(2.4)f(2.8)f(3.2)]}

04

£{6.05029.9642[9.02513.46420.086]

6

4[7.38911.02316.44524.533]}

23.9149

(3)Romberg算法

T[s1qR1

T2S2C2

T4S4

T8

3,418

T1[f(18)f(3.4)]28.8112

1LI1.0IQ.i/oo

2

'4U.O[Il/々I44.404。

1

18”45—U।.刃~

2

23.9944

411

。112I4O.RUO

33

乙。IOI

023

03

101

C1IS

1515

1H04JL°2

C2

1515

a.y1-09

才2

R1

6363

彳］上这一段的弧长，取

7.试用复化梯开公式计算曲线f(x)tanx在区间［0,

210，

1

解：f(x)tanx,f(x)

COS12X

Sf(x)2dx4；11dx

o'o\cos4x

g(x)Jig(O)&g(-)y/5

\cos4x4

T4°

T1-^-[g(o)g(1]1.43346

1

g（8）J2.372555831.54032

COS4

2I.“OOHUI.UHUOZ.JI.OZ.Iu

养49k)1

8J4

357

3737茁3Z

I

3

0

168■w4

g(而)1.442461.75848

4i「2BIUk3))\

28而

1

-[1.32161-(1.442461.75848)]1.28931

28

1

如4T2|001077

T357

T8-T4-g(-)g(—)g(—)g(—)

21632323232

1

1.28931-(1.421091.480711.628811.94953)

216

1.28084

TJ0.00282

384

-

TTTz—/1'/丁、厂、

T16T8g()g()g()g()

23264646464

g(9)g(1Jg(7g(1?

_64646464

1

[1,280841.415921.429861.459251.50746

232

1.580331.687471.844622.07792

4.匆8鬲“

13

3.

T1357

32Tg(J_g(J_g(Lg(L

16

264128128128128

128128128128

1.278691.414641.418071.425011.43566

264

1.450311.469361.493381.52307

1.559351.603411.656751.72128

1.799461.894462.010432.15281

1

-(1.278691.27762)1.27816

；吃>16|u."，w；

所求弧长为T1278

9.利用积分81dxIn4计算In4时，若采用复化梯形公式

，问应取多少节

2X

5

点才能使其误差绝对值不超过_10

2

1

解：a2,b8,f(x)f(x)

2'X2X3

u;a

2

bf(x)dxT(f)()h,(2,8)

~T2

要使

82—/、1

廿21f()|Lio5

2

只要

1h2N21I105

223-2

h222105

_2210

n

2103Q

n7

n3103//300jIU948.68

n949

取1

I1f(x)dxT1

答：取950个等距节点，则有12

12111

方法2l(f)

工⑴-f(a)f(b)h---------

1212s222

TTT2T

l(f)「（f）h10

12J64-2

115h2

105

12642

h2464106

一h28103

6a

W3

n08103.3125375

S115

10.用Romberg方法求?dx,要求误差不超过?10。从所取节点个数与

上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。

823

解：将区间［2,16等分，枳o

168

3^

189-2528

2+888

f

404346495255586164

X9

888888888

—8-88.,&—88888

f(x)

4043'46'49*52'55158'61，64

82618

f(2)f⑻21.875

22

T十----1---6-8

2T6f(5)--------1.8751.5375

2i240

T132%产)

4T

22

188

21.5375323-1.428090659

1）［（8）1（8）

T151.397126249

82L88

1f（?）f（：）

TT0.75

168专嚏

-Q--O-

4955

f(f(）

1.38903085

T1.8751.4251.389395604R1.38643748

1

T1.5375s1.391620879c1.386483701R1.38629799

2222

T1.428090659S1.386804775c1.386300892

44

T1.397126246s1.386332385

88

T1.38903085

16

412P(64CC)

R21

S12F3V

11

107105

255.2

I1.38630

实际上

In41.3862943611.38630

1

用点公式求(feX

12.3Gauss-LegendreIdxo

1x1

解：,x(1t)

oedx2

三点Gauss公式

15853

g(t)dtgg(9g(。)9gq5

15(

1158fJ5f1\5

；f(x)dx-gNg--------2

9-2

1苕

1,3

忸15X

1X15.8

edx-e2_e2-e2

o2999

1J—0.6

1、破

e-2628-

5e

18

0.632120255

21.根据下列f(x)tanx的数值表:

x1.201.241.281.321.36

f(x)2.572152.911933.341353.903354.67344

1

解：f(x)tanxf(x)1tan2x

COS2X

f(x)2tanx(tanx)2tanx(1tan2x)2tanx2tan3x

f(X°h)f(xh)

D(x0,h)0

2h

1o0

1

(X)D(x,h)产(),(X0h.x