北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第11章 概率 高考解答题专项六 概率与统计

高考解答题专项六概率与统计

L（全国III,文18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质

量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位:天）:

空气质量等锻炼人次

级[0,200](200,400](400,600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污

678

染）

4（中度污

720

染）

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的

空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成

下面的2X2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到

该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

空气质量情况人次《400人次＞400

好

不好

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值

如下表:

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

击(100X20+300X35+500X45)=350.

⑶根据所给数据，可得2义2列联表:

空气质量情况人次W400人次＞400

好3337

不好228

100x(33x8-22x37)

根据列联表得x2：心5.820.

55x45x70x30

由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该

市当天的空气质量有关.

2.（江苏无锡下学期2月模拟）已知某班有50位学生,现对该班关于举办辩

论赛的态度进行调查，他们综合评价成绩（单位:分）的频数分布以及对举

办辩论赛的赞成人数如下表：

综合评

价[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

成绩

频数510151055

赞成人

4812431

数

⑴请根据以上统计数据填写下面2X2列联表，并回答:是否有90%的把握

认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关？

对举办辩论赛的综合评价成绩小于80分综合评价成绩不小于80合

态度的人数分的人数计

赞成

不赞成

合计

（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在［60,70）,［70,80）的学生中随机抽

取5人进行追踪调查,并选其中2人担任辩论赛主持人,求担任主持人的2

人中至少有1人在［60,70）的概率.

2

n(ad-bc)

•x一二_______________________________________

(a+b)(c+d)(a+ci(b+d)'

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：（1）2X2列联表为

对举办辩

综合评价成绩小于80分的综合评价成绩不小于80分的

论合计

人数人数

赛的态度

赞成28432

不赞成12618

合计401050

则1鼠鼠黑-3/25>2.706,

所以有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的

态度有关.

（2）采用分层抽样,会在［60,70）里抽3人，用A,B,C表示，［70,80）里抽2

人，用D,E表示，设M为事件“担任主持人的2人中没有人在［60,70）内”，

则基本事件包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,事件M包含

DE,只有1个,则所求事件的概率即为P=1-P（A）=1-^=叫

3.（山西太原二模）国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方

案》，规定46个城市在底实施生活垃圾强制分类.某市在实施垃圾分类之

前,对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位:吨）进行了调

查.已知该市这样的社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所

产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称

为“超标”社区.

（1）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值立精确到整

数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）若以上述样本的频率近似代替总体的概率,请估计这200个社区中

“超标”社区的个数；

_L

0.12................................

淄二二千一

0.06.................................................

0.05...................

0.04--1.................................................

0

461012141618垃圾量/吨

解：(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为

［4,6),［6,8),［8,10),［10,12),［12,14),［14,16),［16,18］的频率分别为

0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,所以估计当天这50个社区垃圾量

的平均值为

x=5X0.08+7X0.10+9X0.20+1IX0.24+13X0.18+15X0.12+17X0.08=1

1.04-11.

(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,所以这200

个社区中“超标”社区的概率为0.2,所以这200个社区中“超标”社区

的个数为200X0.2=40.

(3)由题意知按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为［14,16)的

社区有3个,分别记为a,b,c,按垃圾量为［16,18］的社区有2个,分别记为

d,e,从中任选2个的基本事件有

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共

10个,其中所求事件“至少有1个垃圾量为［16,18］的社区”为

(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个.所以重点监控社

区中至少有1个垃圾量为［16,18］的社区的概率为P系0.7.

4.(江苏南京二模)某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统

计数据表:

项目A投资金额

12345

x/百万元

所获利润y/百万元0.30.30.50.91

⑴请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；

(2)该公司计划用7百万元对A,B两个项目进行投资.若公司对项目B投资

x(lWxW6)百万元所获得的利润y近似满足:y=0.16x-W+0.49,求A,B

X+1

两个项目投资金额分别为多少时,获得的总利润最大？

附:①对于一组数据区,力)，(X2,yJ,…，(Xn,y)其回归直线y=bx+a的斜

n

EXiVi-nxy

率和截距的最小二乘估计分别为bT——a=y-bx.

£Lxf2-nx—2,

i=l1

n

…EXiyrnxy

②线性相关系数r=n/一般地,相关系数r的绝对值在

/(£xf-nx2)(£y?-ny2)

Ni=i1i=i'

0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.

参考数据:对项目A投资的统计数据表中

55____

SXiyi=ll,Zy?=2.24,V4.4^2.1.

i=li=l1

解：(1)由题意可得元=1+2+：+4+5=3,

—0.3+0.3+0.5+0.9+1八「

y=------------；----------=°・6,

代入公式可得

222

Zxiyi-5xy-ll-5X3X0.6=2,Exf-5x=55-5X3=10,I：y^-5y=2.24-5

i=li=li=l

X0.62=0.44,

Ex；yi-nxy

所以b-......=4?0.2,a=y-bx=O.6-0.2X3=0,

£xf-nx210

i=i1

所以y=bx+a=O.2x,

^xiycnxy