2025四川省自贡市中考数学试题(解析版)

自贡市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本套试卷由两部分组成：第I卷（选择题）与第II卷（非选择题），总页数为6页，总分150分。在开始作答前，请考生确保已在答题卡上正确填写姓名及准考证号。所有答案必须填写在答题卡中，直接写在试卷或草稿纸上的答案将不予计分。考试完毕后，请将本试卷与答题卡一同上交。第一卷单项选择题温馨提示：请务必使用2B铅笔，将所选答案的编号填涂在答题卡相应题号的区域内。若需修改答案，请先用橡皮擦除干净，然后再涂写新的选项编号。一、单项选择题（本部分共12题，每题4分，合计48分。每题仅有一个选项正确，请在四个选项中选出最符合题意的一项）1.若，则内的数字是（）A.B.2C.4D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案.【详解】解：，则内的数字是，故选：A2.围棋这一源自中国的传统棋类游戏在青少年群体中非常流行。在下列由黑白棋子组成的图案中，属于中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；故选：．3.如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案.【详细解析】解答如下：参照图示，，，，，，；故选：D4.中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到万辆．12866000用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可．【详解】解：；正确选项为：C。5.观察下图，两块砖头分别横向与纵向摆放在水平面上，请问其主视图是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【解析】此题的核心在于考察简单组合体的三视图绘制。解题的关键在于准确把握主视图的定义，即从正前方观察所得的投影图形。通过确定主视图的形状，即可推导出最终结果。【解析】解答如下：由题目已知条件可知，该物体的主视图为正确选项为：D。6.在某学校开展的红歌歌咏比赛中，甲、乙、丙三名选手的各项得分情况见下表。已知三项评分指标所占的权重比例见下图，请问在这三位选手中，综合平均分最高的是（）选手专家组评分教师组评分学生组评分甲779乙878丙788A.甲

B.乙

C.丙

D.三者的平均分一致【答案】B【解析】【解析】此题旨在考察对加权平均数概念的理解。可以通过分别计算甲、乙、丙三者的平均数，进而通过对比得出结论。【详解】解：甲的平均分为：（分），乙的平均分为：（分），丙的平均分为：（分），乙的平均分数在所有人中排名第一；故选：B7.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案.【详解】解：正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．，在轴上，，，，，，故选：A8.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．【详细解析】解答如下：观察图示，一个正六边形与一个正方形相邻的边发生了交叠，，，，，，，，正确选项为：B。9.某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（）A.7cmB.8C.9D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：2个长个长4个宽，一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设每块小平行四边形地砖长为，宽为，由题意得：，解得：，则每块小平行四边形地砖的短边长为，因此，正确选项为：B。10.分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接，，分别与相切于两点，，，，，，故选：D11.如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形判定和性质，坐标与图形变换平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可．【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：，，，，，，，平移，，，将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，；故选B．12.如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（）A.6B.6C.3D.4【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为．【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则，正方形边长为6，，，，，，，点B、E、A、D在上，，，，，，即，，，，，，点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动，，，，，，，当点F在上时，取得最小值，．因此，正确选项为：D。【解析】本题旨在考察正方形与三角形的综合应用。解题的核心在于熟练运用正方形的特性、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的相关结论。第二卷（非选择题部分，总分102分）考生须知：请务必使用0.5mm黑色水性签字笔在答题卡指定区域内填写答案。若涉及作图，建议先以铅笔起草，核对无误后再用0.5mm黑色水性签字笔清晰勾勒。所有写在试卷上的答案均不予计分。二、填空题（共5题，每题4分，总分20分）13.计算：___________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可.【详解】解：；故答案为：．14.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为．【详解】解：，故答案为：．15.若，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：，，，故选：．16.如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心重复以上操作．则的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得出，求出，，同理可得，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．【详解】解：在中，，于点，．，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．，，以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，，过点作，交于点；，，，即，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，，，以的长为半径画弧，交于点，，过点作，交于点；，，，，即，，同理可得：，，的长为，故答案为：．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：在中，，，．，为等边三角形，，，如图，取的中点，连接、，作交的延长线于，，则，，，，，，根据三角形三边关系可得：，，的最大值为，故答案为：．三、综合解答题（共8道，总分82分）18.解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】，见解析【解析】【解析】本题旨在考查一元一次不等式组的求解方法以及解集在数轴上的表示。具体步骤为：首先分别求出不等式组中每个不等式的解，随后在数轴上标出这两个解集的交集（公共部分）即可。【详解】解：，由得：，由得：，请将该不等式的解集在数轴上标出：不等式组的解集为：．19.如图，，．求证：．【答案】请参考解析部分【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可.【详解】证明：，，，，，.20.去年暑假期间，小张和小李两名同学自愿帮助刘大爷收割玉米。其中，小张共掰了36筐，小李共掰了30筐。已知两人的工作时长一致，且小张的平均每小时掰玉米数量比小李多2筐。请计算小李平均每小时掰玉米的数量是多少筐？【结果】10筐【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：，再解方程即可.【详解】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．方程两边同乘得：，展开并化简：，移项：，解得：，经检验：是原方程的根且符合题意；因此，小李每小时平均能够掰10筐玉米。21.某学校计划为七年级学生开设球类课外活动兴趣小组。为了掌握学生的报名意向，学生会开展了一次随机问卷调查，参与者需在足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四个项目中选择一项。目前，相关统计图表正在根据调查结果绘制中，请结合已知信息回答以下问题：请选取能够反映球类兴趣班人数分布情况的条形统计图。球类兴趣班参与人数比例统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球B篮球

C乒乓球

D羽毛球

（1）请将前述的条形统计图与占比统计表填写完整。若采用扇形统计图来表示选择球类活动兴趣班的人数比例，那么篮球兴趣班所对应的扇形圆心角应为___________度；（2）请推测该校七年级共400名学生中，报名参加乒乓球兴趣班的学生人数大约是多少；（3）假设通过计算机随机抽取A、B、C、D这四种兴趣班，请利用列表法或树状图法，计算该校七年级甲、乙两名学生均选修乒乓球兴趣班的概率。【答案】（1）补全上述条形统计图和占比统计表见解析，（2）人（3）【解析】【解析】本题旨在考察对条形统计图、统计表格、样本推断总体以及利用列表法或树状图计算概率等知识点的掌握程度。能够灵活且熟练地运用上述相关知识是顺利完成本题的核心。（1）先求出本次调查的总人数，即可计算出组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出组、组、组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；（2）将400与选择乒乓球兴趣班人数的占比相乘，即可算出结果；（3）首先通过列举法确定所有等可能结果的总数，随后筛选出满足特定条件的样本数，最后利用概率计算公式得出结果。【第一小题详细解析】解：由题意可得，本次调查的总人数为：（人），故组的人数为（人），请根据图示，将该条形统计图补充完整：；组人数占调查总人数百分比为，组人数占调查总人数百分比为，组人数占调查总人数百分比为，请完善关于球类兴趣班人数占比的统计表格。组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球B篮球C乒乓球D羽毛球若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为；因此，最终结果是：90；【第二小问详细解析】解：（人），故估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数为人；【第三小问详细解析】解析：通过列表分析如下：甲乙由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有种，该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为．22.如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．（1）___________度；（2）求证：为的切线；（3）若，求上的长．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论；（2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可；（3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可.【第一小问详细解析】解：如图，连接，，，和相交于两点，且经过的圆心，，，四边形是菱形，，是等边三角形，，．【第二小问详细解析】证明：如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，，为半径，为的切线；【第三小问详细解析】解：，，，，，上的长.【解析】本题旨在考查等边三角形、菱形以及等腰三角形的判定与性质，同时涉及切线的判定、锐角三角函数的实际应用以及弧长的计算。解题的核心在于能够准确地绘制必要的辅助线。23.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．（1）求的值；（2）若，求点坐标；（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．【答案】（1）（2）（3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或.【解析】【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可；（2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可；（3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案.【第一小问详细解析】解：点在反比例函数上，，即，将代入正比例函数中，得，解得：；【第二小问详细解析】解：在直线上，设，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．，，，整理得：，解得：或（不符合题意舍去），；【第三小问详细解析】解：双曲线关于轴对称的图象为，，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，，，，，，，，当时，，在的图象上；由反比例函数是中心对称图形可得：，射线绕点旋转后与交点坐标为或.【解析】本题旨在考察如何通过待定系数法确定函数的解析式，以及一元二次方程的求解技巧。同时，涉及轴对称与中心对称的特性，以及全等三角形的判定与性质。解题的关键在于能够熟练地绘制图形，并灵活运用函数的相关性质进行推导。24.观察图1可知，自贡彩灯公园中有一座见证了灯会盛况的高塔。小蕊参与了一次测量该塔高度的课外实践，在小组共同商定测量方案后，具体操作步骤如下。（1）所使用的工具如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：因为始终垂直于水平面，满足就行．求证：．（2）数据的采集如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________，___________，___________（结果保留小数点后两位）．（3）求出塔的高度请利用小蕊所记录的数据，求出这座塔的高度（计算结果请取整）。（4）总结与优化在小蕊的测量过程中，结果与塔的真实高度相差2米。为了降低误差，请你为该小组提供两项切实可行的改进方案（字数控制在50字以内）。【答案】（1）见解析（2），，（3）50m（4）详见解析部分【解析】【解析】本题旨在考察学生对矩形判定定理与性质的理解，以及解直角三角形的实际运用能力。能否灵活且熟练地运用上述知识点是顺利完成本题的核心。（1）可以通过运用矩形的定义及其相关性质，结合平行线的判定或性质进行证明。（2）直接利用正切函数的定义进行计算，即可求得结果；（3）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解；（4）请根据题目所给的实际情况，给出相应的合理建议。【第一小问详细解析】证明：四边形为矩形，，，，又，，；【第二小问详细解析】解：在中，，，，，；，，，，，，在中，，，，，；，，，，在中，，，，，；【第三小问详细解析】解：如图，延长