量子力学教学探讨

量子力学教学探讨摘要：在量子力学教学中，注意合理安排教学过程，把握量子力学教学的基本框架，重视基本概念的教学，提出把态叠加原理和本征函数系的正交归一性作为教学主线，指出在量子力学教学中要重视力学量用线性厄米算符表示的。关键词：教学过程；基本框架；基本概念；态叠加原理；正交归一性量子力学的对象是难以直接感知的微观客体，而它的运动、变化规律又如此地与我们所熟悉的常识相悖。如何使学生顺利地、自然地了解它、接受它，认识到‘微观世界中客体的运动理当如此’，那是一件非常困难的事。本文介绍笔者在量子力学教学过程中运用的一些措施和方法，以求抛砖引玉。一、从学生实际出发，合理安排教学过程的三阶段第一阶段是学生课前预习阶段。以学生为主，教师的辅助作用是发给学生教学指导意见，主要包括该章节需掌握的重点难点等知识点内容，这样能充分发挥学生学习的主动性，为第二阶段中课堂教学打下基础。第二阶段是课堂教学阶段。这一阶段老师为主，也充分发挥学生的辅助作用。这个阶段主要是把量子力学的知识结构、应用结构和方法讲授给学生，使他们对该章节内容有一个总体的认识，并且重点讲授基本概念、基本理论和思考问题的方法，为第三阶段中独立完成该章的作业打下基础。第三阶段是复习巩固阶段。每学完一章要求学生独立完成该章作业及补充题，老师通过批改作业及时与学生交流，再根据学生的实际水平适当辅导答疑。量子力学给出了一套全新的思维模式和解决问题的方法，为了完成从经典理论到量子理论思维模式的转变，只是死记硬背概念和公式是不够的，必须通过自己动手完成相当数量的习题才能学好这门课程。二、理解量子力学的基本框架一般量子力学的教科书包括了三个基本部分：第一部分是关于粒子的波粒二象性。这部分主要分析人类是如何认识到微观粒子具有波粒二象性，从而让初学者弄清楚微观粒子为什么有不同于宏观物体的运动规律。第二部分是关于量子力学的基本原理。这是全书的核心内容，学习这一部分内容要注意把握原理的表述形式及原理的内容两方面。原理的内容包括有：关于微观状态的原理，关于力学量的原理，关于运动方程的原理，以及全同性原理。原理的表述形式是指上述原理可以采用不同的表象和绘景来描述。主要弄清什么是表象以及为什么会有不同表象等问题。第三部分是关于运用基本原理解决的基本物理实际问题及其方法。一般地说量子力学解决的有两类问题，即粒子在有限空间的运动和在无限空间的运动，前者是束缚态问题，主要是定态问题；后者是散射问题。非物理专业学生主要讨论前者。三、量子力学教学主线的初步探讨（一）重视基本概念的教学由于量子力学课程内容抽象，难以理解，因此加强基本概念教学是学生学好量子力学的关键。量子力学中有不少的基本概念，例如定态、简并、基态、激发态、叠加态、表象、微扰等。但我们认为，较为突出的或学生难以接受的主要有量子化概念和波粒二象性及不确定关系。1.学习量子力学，应使学生明确“量子”的含义“量子”英文为“quantum”，其意义是“一份一份的”。量子化是微观世界物质运动的一个特点，表明描述微观粒子体系的物理量呈现不连续性或是某一个最小单元的整数倍。例如在黑体辐射问题中，电谐振子的能量En是能量子(最小能量单元)ε=hv的整数倍(En=nε，n=1，2，3，…)。量子化概念，学生从学习经典物理学的困难时开始接触，经过对谐振子、一维无限深势阱、氢原子问题的讨论，量子化成为解薛定谔方程的必然结果，再由表示力学量的算符的性质，得到分立的本征值就是该力学量所有可能的测量值这样一个量子力学的基本假设，学生对概念的认识逐步理解和掌握。2.准确理解“不确定关系”的概念⑴不确定关系是统计规律的定量结果不确定关系是描写微观粒子统计性规律的定量反映。统计性是量子力学描述的一个基本特点，统计或概率概念是量子理论的基本概念，是理解量子力学的关键所在。各种诠释的主要分歧也在于此。按照互补性诠释，统计性是量子性的必然结果，或者说统计性是逻辑地包含在量子概念之中的。⑵不确定关系带来的是微观世界的精确性有的学生会认为，不确定关系给物理学带来了不精确性。其实恰恰相反，不确定关系带来的正是微观世界的精确性，因为它反映的是微观粒子的客观规律，这种精确性与经典物理的“精确性”的概念有本质的区别。例如，电子的单缝衍射实验，电子在某一时刻落在何处虽然不能确定，但是，从统计观点看来，电子落入中区的概率是完全确定的，其概率为75%。（二）把态叠加原理作为主线之一进行教学态叠加原理在量子力学中占有重要的地位，由它可以预言系统中各力学量的取值，也限定了薛定谔方程和表示力学量的算符是线性的要求，同时也是态的表象的理论基础。围绕态叠加原理的教学，可以将相关知识点串成一条线索，有助于学生对量子力学的基本概念形成整体理解。⒈纯态、混合态与量子测量微观粒子状态是用波函数来描述的。所谓纯态就是系统可以用概率振幅来描写，因而有干涉性或迭加原理。混合态是纯态的线性叠加，混合态与纯态不同，它不能用概率振幅来描述，仅能用在某个态中的概率来确定系统的状态，这时迭加原理或干涉性消失。所谓量子测量，就是让测量仪器和被测系统产生某种相互作用，以便能够从测量仪器的状态去“读出”被测系统的状态。量子力学的测量假说指出，量子体系在经历测量之后，就跃迁到相应算符的本征态上。更具体地说，如果对某一量子体系的物理量L进行测量，那么在测量后，此体系必定进入由该物理量所对应的线性厄密算符所决定的本征态之中。2.态叠加原理与薛定谔方程的关系态叠加原理的数学依据是波函数所满足的薛定谔方程是线性方程，它使得若追1、追2是方程的解，则其线性叠加追=c1追1+c2追2也是方程的解。3.态叠加原理与测量结果的不确定性态叠加原理导致叠加态的测量结果的不确定性，所以态叠加原理的一种理解是，当粒子处于态追1和态追2的线性叠加态时，粒子是既处于态追1又处于态追2，按确定的概率处于其中某一态。4.量子叠加与微观粒子波粒二象性的关系学者们都认为量子叠加是由微观粒子波粒二象性引起的(或量子叠加反映了微观粒子的波粒二象性)，这种叠加可以解释微观粒子的干涉现象。（三）深刻理解用算符表示微观粒子力学量的一般教科书上的叙述是：由于微观粒子的波粒二象性，使得坐标和动量不能同时有确定值。这种差别的存在，使我们不得不用和经典力学不同的方式，即用算符来表示微观粒子的力学量。显然这样的说明反而使学生不知所云。实际上，力学量用算符表示是一个基本假设。其出发点是，力学量必须是可观察量。由量子力学描述的是一种统计规律，得出态函数必须满足归一化条件，导致量子力学的态空间是一个完备的线性内积空间—希尔伯特空间。即在量子力学中，微观物理系统的状态可用希尔伯特空间的矢量描写。一般来说，量子力学中的算符定义为在希尔伯特空间中的某种运算，它对任何一个态函数作用的结果，按照指定的规则成为另外的态函数，即ψ=φ。当体系处于力学量的本征态时，该力学量有确定值，它就是代表力学量的算符作用在其本征态上所得到的本征值。（四）以正交归一性为主线突破表象理论的教学量子力学之所以选择希尔伯特空间作为描述微观系统状态的函数空间，是由态函数的性质决定的。任何非空的希尔伯特空间具有