物理二轮复习跟踪练习：微专题19 带电粒子在磁场中的临界、极值、多解问题

微专题19带电粒子在磁场中的临界、极值、多解问题跟踪练习基础过关一．选择题：1.如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为()A．eq\f(2mv,qB)eq\f(2mv,qB)B．eq\f(mv,qB)eq\f(2mv,qB)C．eq\f(2mv,qB)eq\f(mv,qB)D．eq\f(mv,qB)eq\f(mv,qB)2.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力和粒子间的相互作用力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为()A．eq\f(π,kB)B．eq\f(π,2kB)C．eq\f(π,3kB)D．eq\f(π,4kB)3.（2025·江西模拟预测）如图所示，在半径为R、圆心为O的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为－q、质量为m的粒子（不计所受重力）从O点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是()A．粒子射入磁场时的最大速度为eq\f(qBR,m)B．粒子射入磁场时的最大速度为eq\f(2qBR,m)C．粒子在磁场中运动的最长时间为eq\f(πm,qB)D．粒子在磁场中运动的最长时间为eq\f(2πm,qB)4.如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是()A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍5.如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v＝eq\f(qBd,m)、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则()A．粒子能打到板上的区域长度为2dB．打到板上的粒子数为eq\f(5,12)NC．从粒子源出发到板的最短时间eq\f(πm,2Bq)D．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为eq\f(7πm,6Bq)6.（多选）如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25T，一群质量m＝1×10-7kg、电荷量q＝－2×10-3C的带电粒子以速度v＝5×103m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则()A．在AC边界上有粒子射出的长度为（eq\r(2)－1）mB．C点有粒子射出C．在AB边界上有粒子射出的长度为1mD．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点（eq\r(2)－1）m处入射7.（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域内存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝eq\f(qBL,2m)的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是()A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为eq\f(L,2)B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq\f(πm,qB)C．所有粒子运动的区域面积为eq\f(3,8)πL2D．所有粒子运动的区域面积为eq\f((π＋1)L2,4)8.（多选）如图所示，坐标原点O处有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点A（2R，eq\f(3,2)R），已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴正方向，则()A．初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点B．初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点C．经过A点的粒子在磁场中运动的时间为eq\f(2πm,3qB)D．经过A点的粒子在磁场中运动的时间为eq\f(3πm,4qB)能力提升选择题：9.（多选）如图所示，P、Q为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子（重力不计），以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0大小可能为()A．eq\f(qBd,8m)B．eq\f(3qBd,4m)C．eq\f(qBd,m)D．eq\f(3qBd,2m)10.（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计，忽略离子间的相互作用。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为eq\f(q,m)，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是()A．B>eq\f(mv,3qs)，垂直纸面向里B．B>eq\f(mv,qs)，垂直纸面向里C．B>eq\f(mv,qs)，垂直纸面向外D．B>eq\f(3mv,qs)，垂直纸面向外11.（多选）（2025·山西晋中质检）如图所示，有以O为圆心，半径分别为R1、R2的同心圆，R1＝2R0，R2＝R0，在圆环区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一电荷量为＋q、质量为m的粒子从内圆上的A点以速度v0垂直磁场进入该区域，之后从OA的延长线与外圆的交点C射出，方向与OA延长线成30°角，不计粒子重力，下列说法正确的是()A．环形区域磁场的磁感应强度大小为eq\f(mv0,qR0)B．粒子在磁场中运动的时间为eq\f(πR0,6v0)C．若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度大小需小于eq\f(2mv,R0q)D．若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度大小需小于eq\f(2mv,3R0q)计算题：12.电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：(1)荧光屏上光斑的长度；(2)所加磁场范围的最小面积。培优训练一．计算题：13.如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E，屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？参考答案：1.A解析若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动（如图所示），不难得出离y轴最远为|x|＝2r＝eq\f(2mv,qB)，离x轴最远为y＝2r＝eq\f(2mv,qB)，所以A项正确。2.C解析粒子在磁场中运动的半径为R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(2kBr,Bk)＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，最大值为圆磁场的直径，则圆心角最大为eq\f(π,3)，故粒子在磁场中运动的最长时间t＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3qB)＝eq\f(π,3kB)，故选项C正确。3.D解析如图所示，当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有rm＝eq\f(R,2)，由洛伦兹力提供向心力可得qvmB＝meq\f(veq\o\al(2,m),rm)，可得粒子射入磁场时的最大速度为vm＝eq\f(qBR,2m)，粒子在磁场中运动的最长时间为tm＝T＝eq\f(2πm,Bq)，故A、B、C错误，D正确。4.C解析由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，如图所示，则有Bqv＝meq\f(v2,r)，r＝eq\f(mv,qB)，T＝eq\f(2πm,qB)，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增大为原来的2倍，由图可知，粒子不会从b点射出，A错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝eq\f(2πm,qB)，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子的半径将增大为原来的2倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，B错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子的运动半径将减小为原来的eq\f(1,2)，将从a点射出，C正确；结合C选项，由T＝eq\f(2πm,qB)可知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的2倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝eq\f(πm,qB)，在磁场中运动时间t＝eq\f(πm,2qB)，与从N点射出时的运动时间相同，即时间将不变，D错误。5.D解析根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，粒子运动半径R＝eq\f(mv,Bq)＝d，粒子运动到荧光板的两种临界情况如图所示，SC垂直于MN，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A与C的距离为eq\r(3)d，右侧最远处B与C的距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是（eq\r(3)＋1）d，故A错误；粒子在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹如图所示，粒子做完整圆周运动的周期T＝eq\f(2πd,v)，由几何关系可知最短时间t2＝eq\f(1,6)T＝eq\f(πd,3v)＝eq\f(πm,3qB)，故C错误；粒子在磁场中运动的最长时间t1＝eq\f(3,4)T＝eq\f(3πd,2v)＝eq\f(3πm,2qB)，则Δt＝t1－t2＝eq\f(7πd,6v)＝eq\f(7πm,6qB)，故D正确；当向垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发射时，打不到板上，所以打到板上的粒子数为eq\f(1,2)N，故B错误。6.ACD解析粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(10-7×5×103,2×10-3×0.25)m＝1m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC边射出的粒子长度为DE＝eq\r(2)R－R＝（eq\r(2)－1）m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；由图可知，在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝R＝1m，故C正确；磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点（eq\r(2)－1）m处入射，故D正确。7.AC解析由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝meq\f(veq\o\al(2,0),r)，解得r＝eq\f(L,2)，A正确；粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝eq\f(2πm,qB)，B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系有S＝eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,4)π(2r)2＝eq\f(3,8)πL2，C正确，D错误。8.AC解析初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴正方向，则粒子的轨迹半径r＝R，由qvB＝eq\f(mv2,r)，可得粒子轨迹半径均为R，结合题意和几何关系可知，平面第一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x轴正方向，经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有R＋Rsin(α－90°)＝eq\f(3,2)R，解得α＝120°，故A正确，B错误；该粒子在磁场中的运动的时间为t＝eq\f(120°,360°)×eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2πm,3qB)，故C正确，D错误。9.BC解析设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受洛伦兹力向上，由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，由题意知粒子在偏转以后打在板上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端射出，由几何关系知半径r1＝eq\f(d,4)，速度v1＝eq\f(qBd,4m)；若粒子恰好从极板右端飞出，由几何关系知半径r2与d之间关系为req\o\al(2,2)＝d2＋（r2－eq\f(d,2)）2，解得r2＝eq\f(5,4)d，速度v2＝eq\f(5qBd,4m)，粒子要打在极板上，则初速度v0应满足的条件为eq\f(qBd,4m)<v0<eq\f(5qBd,4m)，故A、D错误，B、C正确。10.BD解析当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin30°＝eq\f(r1,s＋r1)，可得r1＝s，由r1＝eq\f(mv,B1q)可得B1＝eq\f(mv,qs)；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝eq\f(r2,sin30°)＋r2，得r2＝eq\f(s,3)，又r2＝eq\f(mv,qB2)，所以B2＝eq\f(3mv,qs)，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。11.AD解析如图1，由几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝R0，则由Bqv＝meq\f(v2,R)可得B＝eq\f(mv0,qR0)，A正确；A到C运动的时间t＝eq\f(T,6)，T＝eq\f(2πm,Bq)，可得t＝eq\f(πR0,3v0)，B错误；磁感应强度越大，轨道半径越小，如图2，由临界关系可得r1＝eq\f(1,2)R0，则B1＝eq\f(2mv,qR0)，r2＝eq\f(3,2)R0，则B2＝eq\f(2mv,3qR0)，则磁感应强度的最大值为B2＝eq\f(2mv,3qR0)，所以C错误，D正确。12.答案(1)eq\f(mv0,eB)(2)eq\f(π＋2,2)（eq\f(mv0,eB)）2(